Allgemeine Lösungen < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Sa 15.11.2008 | | Autor: | AndreasG |
| Aufgabe | Bestimmen sie möglichst allgemeine Lösungen der Differentialgleichung
[mm] 2u_x+3u_y=0
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Wir sind nun zu den partiellen Differentialgleichungen gekommen. Ich finde mich allerdings nicht wirklich zurecht und weiss auch nicht so ganz wie ich diese Lernen soll. Das Skriptum hilft mir eigentlich garnicht weiter. Hier mal so weit wie ich komme.
Die obige Rumpfdifferentialgleichung kann ich ja durch die Methode der Charakteristiken Lösen.
Charakteristiken:
x'=2 , x=2t
y'=3 , y=3t
Die Charakteristiken der Rumpfdifferentialgleichung sind die Kurven, die dem Differentialgleichungssystem genügen.
Wie geht es nun hier weiter?
Kann mir jemand bestimmt Online- Seiten empfehlen wo man sich ein bisschen besser in die Materie einlesen kann?
Danke für die Hilfe
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Hallo AndreasG,
> Bestimmen sie möglichst allgemeine Lösungen der
> Differentialgleichung
> [mm]2u_x+3u_y=0[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Wir sind nun zu den partiellen Differentialgleichungen
> gekommen. Ich finde mich allerdings nicht wirklich zurecht
> und weiss auch nicht so ganz wie ich diese Lernen soll. Das
> Skriptum hilft mir eigentlich garnicht weiter. Hier mal so
> weit wie ich komme.
>
> Die obige Rumpfdifferentialgleichung kann ich ja durch die
> Methode der Charakteristiken Lösen.
>
> Charakteristiken:
> x'=2 , x=2t
> y'=3 , y=3t
>
> Die Charakteristiken der Rumpfdifferentialgleichung sind
> die Kurven, die dem Differentialgleichungssystem genügen.
>
> Wie geht es nun hier weiter?
> Kann mir jemand bestimmt Online- Seiten empfehlen wo man
> sich ein bisschen besser in die Materie einlesen kann?
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Charakteristikenmethode
Da wird erlaeutert wie man vorgehen muss.
>
> Danke für die Hilfe
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 16.11.2008 | | Autor: | AndreasG |
Danke für den Link. Das hat schon einmal etwas Licht ins Dunkle gebracht.
[mm] 2\bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] + [mm] 3\bruch{\partial u}{\partial y} [/mm] = 0
nun werde ich die gesuchte Funktion nach einer neuen variablen ableiten (nach s)
[mm] \bruch{\partial u}{\partial s}=\bruch{\partial x}{\partial s}\bruch{\partial u}{\partial x}+\bruch{\partial y}{\partial s}\bruch{\partial u}{\partial y}
[/mm]
Durch Vergleichen gilt also:
[mm] (I)\bruch{d}{ds}x=2
[/mm]
[mm] (II)\bruch{d}{ds}y=3
[/mm]
[mm] (III)\bruch{d}{ds}u=0
[/mm]
Und wie geht es nun weiter?
(I) [mm] \bruch{dx}{2}=ds [/mm] in (III)
[mm] \bruch{du}{dx}=0.5
[/mm]
u=0,5x
Genau so kann ich auch mit (II) rechnen:
(II) [mm] \bruch{dy}{3}=ds [/mm] in (III)
[mm] \bruch{du}{dy}=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] u=\bruch{1}{3}y
[/mm]
und nun? so ganz hat es noch nicht gerattert :)
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Hallo AndreasG,
> Danke für den Link. Das hat schon einmal etwas Licht ins
> Dunkle gebracht.
>
> [mm]2\bruch{\partial u}{\partial x}[/mm] + [mm]3\bruch{\partial u}{\partial y}[/mm]
> = 0
>
> nun werde ich die gesuchte Funktion nach einer neuen
> variablen ableiten (nach s)
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial s}=\bruch{\partial x}{\partial s}\bruch{\partial u}{\partial x}+\bruch{\partial y}{\partial s}\bruch{\partial u}{\partial y}[/mm]
>
> Durch Vergleichen gilt also:
> [mm](I)\bruch{d}{ds}x=2[/mm]
> [mm](II)\bruch{d}{ds}y=3[/mm]
> [mm](III)\bruch{d}{ds}u=0[/mm]
>
> Und wie geht es nun weiter?
> (I) [mm]\bruch{dx}{2}=ds[/mm] in (III)
> [mm]\bruch{du}{dx}=0.5[/mm]
> u=0,5x
Hier hast Du eine Integrationskonstante vergessen:
[mm]u=\bruch{1}{2}x+C_{1}[/mm]
>
> Genau so kann ich auch mit (II) rechnen:
> (II) [mm]\bruch{dy}{3}=ds[/mm] in (III)
> [mm]\bruch{du}{dy}=\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]u=\bruch{1}{3}y[/mm]
Hier genauso:
[mm]u=\bruch{1}{3}y+C_{2}[/mm]
>
> und nun? so ganz hat es noch nicht gerattert :)
Nun hast Du
[mm]a\left(x,y,u\right)=C_{1}[/mm]
[mm]b\left(x,y,u\right)=C_{2}[/mm]
Daraus ergibt sich dann die allgemeine Lösung der partiellen DGL:
[mm]w\left(a,b\right)=0[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 16.11.2008 | | Autor: | AndreasG |
Die Integrationskonstanten kann ich noch nachvollziehen aber bei dem Rest verstehe ich nur Bahnhof :)
Kannst du mir das evtl. noch irgendwie anders plausibel machen bzw. es einfach mal vormachen, sodass ich es evtl. an diesem Beispiel nachvollziehen kann?
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Hallo AndreasG,
> Die Integrationskonstanten kann ich noch nachvollziehen
> aber bei dem Rest verstehe ich nur Bahnhof :)
> Kannst du mir das evtl. noch irgendwie anders plausibel
> machen bzw. es einfach mal vormachen, sodass ich es evtl.
> an diesem Beispiel nachvollziehen kann?
Das charakteristische System lautet
[mm]\left(I\right) \bruch{dx}{ds}=2[/mm]
[mm]\left(II\right) \bruch{dy}{ds}=3[/mm]
[mm]\left(III\right) \bruch{du}{ds}=0[/mm]
Daraus ergeben sich:
[mm]x\left(s\right)=2*s+C_{1}[/mm]
[mm]y\left(s\right)=3*s+C_{2}[/mm]
[mm]u\left(s\right)=C_{3}[/mm]
Demnach ergibt sich die Lösung zu
[mm]u\left(x\left(s\right),y\left(s\right)\right)=u\left(2*s+C_{1},3*s+C_{2}\right)=C_{3}[/mm]
Aus den charakteristischen Kurven ergibt sich die Beziehung:
[mm]s=\bruch{1}{2}*\left(x-C_{1}\right)=\bruch{1}{3}*\left(y-C_{2}\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow 3*x-2*y=3*C_{1}-2*C_{2}=:C \in \IR[/mm]
Das heißt, die Konstante C definiert den Wert von u entlang der charakteristischen Kurven.
Daraus folgt die Lösungsdarstellung: [mm]u\left(x,y\right)=\psi\left(3*x-2*y\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Di 18.11.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo AndreasG,
zur Übung kannst Du Dich einmal an folgender partiellen DGL versuchen:
[mm]2xy*u_{x}+4y^{2}*u_{y}=x^{2}*y[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Di 18.11.2008 | | Autor: | AndreasG |
Hallo Mathepower,
dein Angebot nehme ich gerne und dankend an. Ich habe es noch nicht verstanden
2xy [mm] u_x [/mm] + [mm] 4y^2 u_y=x^2y
[/mm]
(I) [mm] \bruch{dx}{ds}=2xy
[/mm]
(II) [mm] \bruch{dy}{ds}=4y^2
[/mm]
(III) [mm] \bruch{du}{ds}=x^2y
[/mm]
(I) in (III) ergibt:
[mm] \bruch{du}{dx}=0.5x
[/mm]
-> [mm] u=x^2+C_1
[/mm]
(II) in (III) ergibt:
[mm] \bruch{du}{dy}=\bruch{x^2}{4y}
[/mm]
-> [mm] u=\bruch{1}{4}x^2lny+C_2
[/mm]
[mm] x(s)=2xys+C_1
[/mm]
[mm] y(s)=4y^2s+C_2
[/mm]
[mm] u(s)=x^2ys+C_3
[/mm]
Also bekomme ich dir Lösungen durch
[mm] u(x(s),y(s))=u(2xys+C_1,4y^2s+C_2)=C_3+x^2ys
[/mm]
[mm] s=\bruch{x-C_1}{2xy}=\bruch{y-C_2}{4y^2}=\bruch{u-C_3}{x^2y}
[/mm]
Doch was fang ich damit nun an? Für was habe ich denn oben die u ausgerechnet?
EDIT:
Mir ist gerade aufgefallen, dass ich ja zuerst die Rumpfdifferentialgleichung durch die Methode der Charakteristiken lösen muss und dann durch diese Lösungen dann die Lösungen der partiellen DGL bestimme!
Die Lösung der Rumpfdifferentialgleichung kann ich dann annähernd von oben übernehmen:
2xy [mm] u_x [/mm] + [mm] 4y^2 u_y=0
[/mm]
I) [mm] \bruch{dx}{ds}=2xy
[/mm]
(II) [mm] \bruch{dy}{ds}=4y^2
[/mm]
(III) [mm] \bruch{du}{ds}=0
[/mm]
(I) in (III) ergibt:
[mm] \bruch{du}{dx}=0.5x
[/mm]
-> [mm] u=x^2+C_1
[/mm]
(II) in (III) ergibt:
[mm] \bruch{du}{dy}=\bruch{x^2}{4y}
[/mm]
-> [mm] u=\bruch{1}{4}x^2lny+C_2
[/mm]
[mm] x(s)=2xys+C_1
[/mm]
[mm] y(s)=4y^2s+C_2
[/mm]
[mm] u(s)=C_3
[/mm]
Also bekomme ich dir Lösungen durch
[mm] u(x(s),y(s))=u(2xys+C_1,4y^2s+C_2)=C_3
[/mm]
[mm] s=\bruch{x-C_1}{2xy}=\bruch{y-C_2}{4y^2}
[/mm]
Doch auch hier scheitere ich wieder !
Ich verstehe nicht, warum ich die Schritte alle mache :)
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Hallo AndreasG,
> Hallo Mathepower,
>
> dein Angebot nehme ich gerne und dankend an. Ich habe es
> noch nicht verstanden
>
> 2xy [mm]u_x[/mm] + [mm]4y^2 u_y=x^2y[/mm]
>
> (I) [mm]\bruch{dx}{ds}=2xy[/mm]
> (II) [mm]\bruch{dy}{ds}=4y^2[/mm]
> (III) [mm]\bruch{du}{ds}=x^2y[/mm]
Zunächst mußt Du die Lösungen des obigen DGL-Systems bestimmen:
[mm]\left(II\right) \bruch{dy}{ds}=4*y^{2} \Rightarrow y=-\bruch{1}{4s+C_{1}}[/mm]
Dies in (I) eingesetzt liefert:
[mm]\bruch{dx}{ds}=2xy=-\bruch{2}{4t+C_{1}}*x \Rightarrow x=\bruch{C_{2}}{\wurzel{C_{1}+4s}}[/mm]
Das alles in die verbliebene Gleichung eingesetzt:
[mm]\bruch{du}{ds}=x^{2}*y=-\bruch{C_{2}^{2}}{\left(C_{1}+4s\right)^{2}} \Rightarrow u=\bruch{C_{2}^{2}}{4*\left(C_{1}+4s\right)}+C_{3}[/mm]
>
> (I) in (III) ergibt:
> [mm]\bruch{du}{dx}=0.5x[/mm]
> -> [mm]u=x^2+C_1[/mm]
>
> (II) in (III) ergibt:
> [mm]\bruch{du}{dy}=\bruch{x^2}{4y}[/mm]
> -> [mm]u=\bruch{1}{4}x^2lny+C_2[/mm]
>
> [mm]x(s)=2xys+C_1[/mm]
> [mm]y(s)=4y^2s+C_2[/mm]
> [mm]u(s)=x^2ys+C_3[/mm]
>
> Also bekomme ich dir Lösungen durch
> [mm]u(x(s),y(s))=u(2xys+C_1,4y^2s+C_2)=C_3+x^2ys[/mm]
>
> [mm]s=\bruch{x-C_1}{2xy}=\bruch{y-C_2}{4y^2}=\bruch{u-C_3}{x^2y}[/mm]
>
> Doch was fang ich damit nun an? Für was habe ich denn oben
> die u ausgerechnet?
Halten wir fest:
[mm]x\left(s\right)=\bruch{C_{2}}{\wurzel{C_{1}+4s}}[/mm]
[mm]y\left(s\right)=-\bruch{1}{4s+C_{1}}[/mm]
[mm]u\left(s\right)=\bruch{C_{2}^{2}}{4*\left(C_{1}+4s\right)}+C_{3}[/mm]
Aufgelöst ergibt:
[mm]y\left(s\right)=-\bruch{1}{4s+C_{1}}\Rightarrow 4s+C_{1}=-\bruch{1}{y}[/mm]
[mm]x=\bruch{C_{2}}{\wurzel{C_{1}+4s}}} \Rightarrow x^{2}=\bruch{C_{2}^{2}}{4s+C_{1}} \gdw x^{2}=-\bruch{C_{2}^{2}}{y} \Rightarrow -C_{2}^{2}=\bruch{x^{2}}{y}[/mm]
[mm]u=\bruch{C_{2}^{2}}{4*\left(C_{1}+4s\right)}+C_{3} \Righarrow C_{3}=u-\bruch{C_{2}^{2}}{4*\left(C_{1}+4s\right)} = u-\bruch{x^{2}}{4}[/mm]
Demnach ergibt sich die Lösung der partiellen DGL zu:
[mm]\psi\left(\tilde{C}_{2}, C_{3}\right)=\psi\left(-C_{2}^{2}, C_{3}\right)=\psi\left(\bruch{x^{2}}{y},u-\bruch{
x^{2}}{4}\right)=0[/mm]
Zu der obigen partiellen DGL gibt also eine implizite Lösungsdarstellung:
[mm]\psi\left(\bruch{x^{2}}{y},u-\bruch{x^{2}}{4}\right)=0[/mm]
Und noch was zum Nachlesen:
Charakteristikenmethode im Beispiel - HTML Version
Charakteristikenmethode im Beispiel - PDF Version
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Di 18.11.2008 | | Autor: | AndreasG |
Wow, Danke Mathepower!
Ich werde mich mal damit befassen und morgen dann hoffentlich mehr dazu sagen können! Gerade die PDF datei wo gut erklärt wird dürfte mich voran bringen.
Lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Mi 19.11.2008 | | Autor: | AndreasG |
Zunächst mußt Du die Lösungen des obigen DGL-Systems bestimmen:
$ [mm] \left(II\right) \bruch{dy}{ds}=4\cdot{}y^{2} \Rightarrow y=-\bruch{1}{4s+C_{1}} [/mm] $
bereits dieser Schritt bereitet mir Probleme
[mm] y'=4y^2 [/mm] ; [mm] y=4y^2s+C_1 [/mm] ; [mm] \bruch{1}{y}=4s+C_1 [/mm] ; [mm] y=\bruch{1}{4s+C_1}
[/mm]
passt das so?
Dies in (I) eingesetzt liefert:
$ [mm] \bruch{dx}{ds}=2xy=-\bruch{2}{4t+C_{1}}\cdot{}x \Rightarrow x=\bruch{C_{2}}{\wurzel{C_{1}+4s}} [/mm] $
Hier komme ich garnicht mit. Woher kommt das t?
Das alles in die verbliebene Gleichung eingesetzt:
$ [mm] \bruch{du}{ds}=x^{2}\cdot{}y=-\bruch{C_{2}^{2}}{\left(C_{1}+4s\right)^{2}} \Rightarrow u=\bruch{C_{2}^{2}}{4\cdot{}\left(C_{1}+4s\right)}+C_{3} [/mm] $
und hier ebenfalls nicht
Langsam wird es echt peinlich. Ich finde mich garnicht zurecht. Wäre toll wenn du mir das obige etwas ausfürhlicher rechnen könntest :(
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EDIT:
Ich glaube gerade hat es ein bisschen weiter gerattert!
Ich versuche mich einfach noch einmal an einer anderen Aufgabe:
[mm] u_x-e^x u_y=0
[/mm]
(I)x'=1
[mm] (II)y'=-e^x
[/mm]
(III)u'=0
[mm] x(s)=s+C_1 [/mm] in (II)
[mm] y'=-e^{s+C_1}
[/mm]
[mm] y(s)=-e^{s+C_1}+C_2
[/mm]
[mm] u(s)=C_3
[/mm]
[mm] u(x(s);y(s))=u(s+C_1;-C_1e^s+C_2)=C_3
[/mm]
[mm] x(s)=s+C_1 [/mm] -> [mm] s=x-C_1
[/mm]
[mm] y(s)=-e^{s+C_1}+C_2 [/mm] -> [mm] -y+C_2=e^{s+C_1} [/mm] -> [mm] ln|-y+C_2|=s+C_1 [/mm] -> [mm] s=ln|-y+C_2|-C_1
[/mm]
[mm] s=x-C_1=ln|-y+C_2|-C_1
[/mm]
[mm] e^x+y=C_2
[/mm]
-> [mm] u(x,y)=f(e^x+y)
[/mm]
ist da ein fünkchen wahrheit dran?
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Danke falls jemand noch lust hat sich die Mühe mit mir zu machen!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Mi 19.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zunächst mußt Du die Lösungen des obigen DGL-Systems
> bestimmen:
>
> [mm]\left(II\right) \bruch{dy}{ds}=4\cdot{}y^{2} \Rightarrow y=-\bruch{1}{4s+C_{1}}[/mm]
>
> bereits dieser Schritt bereitet mir Probleme
> [mm]y'=4y^2[/mm] ; [mm]y=4y^2s+C_1[/mm] ; [mm]\bruch{1}{y}=4s+C_1[/mm] ;
Hier gehst du so vor als sei [mm] y^2 [/mm] eine Konstante! aber es ist doch y=y(s)
dann musst du die Dgl wirklich loesen mit Separation der Konstanten.
kannst du denn mit gewoehnlichen Dgl umgehen?
hier [mm] y'=4y^2
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{y^2}=4 [/mm] jetzt beide Seiten integrieren ergibt:
[mm] y^{-1}=4s+C1
[/mm]
daraus y=..
eingesetzt in x'=2xy ergibt
[mm] x'=\bruch{2x}{4s+C1} [/mm] (das t war ein Tippfehler )
damit wieder ne Dgl die man mit Trennung der Variablen loesen kann:
[mm] \bruch{dx}{2x}=\bruch{ds}{4s+C1}
[/mm]
wieder beide Seiten integrieren fuehrt zum angegebenen Ergebnis.
Ein grosser Teil deiner Schwierigkeiten liegt anscheinend bei der Behandlung der einfachen gewoehnlichen Dgl.
Darum solltest du dich kuemmern.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Mi 19.11.2008 | | Autor: | AndreasG |
Danke Leduart und Mathepower!
Ich komme immer ein Stückchen weiter! Ich werde mit den ganzen verschachtelten funktionen und abhägigkeiten verrückt! Die obige aufgabe konnte ich nun die ersten Schritte nachvollziehen!
Wie schaut es denn mit der von mir "gelösten" DGl aus? kommt das so hin wie ich es gemacht habe? An welcher Stelle habe ich denn einen Fehler gemacht? ich versuche ihn dann selber auszubesser.
$ [mm] u_x-e^x u_y=0 [/mm] $
(I)x'=1
$ [mm] (II)y'=-e^x [/mm] $
(III)u'=0
$ [mm] x(s)=s+C_1 [/mm] $ in (II)
$ [mm] y'=-e^{s+C_1} [/mm] $
$ [mm] y(s)=-e^{s+C_1}- C_2 [/mm] $ (das minus habe ich vorher verplant!)
$ [mm] u(s)=C_3 [/mm] $
$ [mm] u(x(s);y(s))=u(s+C_1;-C_1e^s+C_2)=C_3 [/mm] $
$ [mm] x(s)=s+C_1 [/mm] $ -> $ [mm] s=x-C_1 [/mm] $
$ [mm] y(s)=-e^{s+C_1}-C_2 [/mm] $ -> $ [mm] -y-C_2=e^{s+C_1} [/mm] $ -> $ [mm] ln|-y-C_2|=s+C_1 [/mm] $ -> $ [mm] s=ln|-y-C_2|-C_1 [/mm] $
$ [mm] s=x-C_1=ln|-y-C_2|-C_1 [/mm] $
$ [mm] e^x+y=-C_2 [/mm] $
-> $ [mm] u(x,y)=f(e^x+y) [/mm] $
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Hallo AndreasG,
> Danke Leduart und Mathepower!
> Ich komme immer ein Stückchen weiter! Ich werde mit den
> ganzen verschachtelten funktionen und abhägigkeiten
> verrückt! Die obige aufgabe konnte ich nun die ersten
> Schritte nachvollziehen!
>
> Wie schaut es denn mit der von mir "gelösten" DGl aus?
> kommt das so hin wie ich es gemacht habe? An welcher Stelle
> habe ich denn einen Fehler gemacht? ich versuche ihn dann
> selber auszubesser.
>
> [mm]u_x-e^x u_y=0[/mm]
>
> (I)x'=1
> [mm](II)y'=-e^x[/mm]
> (III)u'=0
>
> [mm]x(s)=s+C_1[/mm] in (II)
> [mm]y'=-e^{s+C_1}[/mm]
> [mm]y(s)=-e^{s+C_1}- C_2[/mm] (das minus habe ich vorher verplant!)
> [mm]u(s)=C_3[/mm]
>
> [mm]u(x(s);y(s))=u(s+C_1;-C_1e^s+C_2)=C_3[/mm]
>
> [mm]x(s)=s+C_1[/mm] -> [mm]s=x-C_1[/mm]
> [mm]y(s)=-e^{s+C_1}-C_2[/mm] -> [mm]-y-C_2=e^{s+C_1}[/mm] ->
> [mm]ln|-y-C_2|=s+C_1[/mm] -> [mm]s=ln|-y-C_2|-C_1[/mm]
>
> [mm]s=x-C_1=ln|-y-C_2|-C_1[/mm]
> [mm]e^x+y=-C_2[/mm]
>
> -> [mm]u(x,y)=f(e^x+y)[/mm]
>
Das stimmt alles. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:53 Fr 21.11.2008 | | Autor: | AndreasG |
| Aufgabe | | [mm] yu_x-3xu_y=0 [/mm] |
Ich habe mich hier noch einmal an eine Aufgabe gemacht und bin wieder auf ein "Problem" gestoßen. Ich hoffe es ist nicht so schlimm dass ich euch schon wieder nerve.
(I)x'(s)=y
(II)y'(s)=-3x
(III)u'(s)=0
Wenn ich Gleichung (I) auflöse erhalte ich:
[mm] x=ys-C_1
[/mm]
Liege ich hier noch richtig oder bin ich wirklich zu doof um gewöhnliche DGLs zu lösen?
Eingesetzt in (II) ergibt:
[mm] y'=-3(ys-C_1)
[/mm]
Hier habe ich mich nun Schwer getan. Ich werde sie mal ausführlicher behandeln und dann wird euch schon auffallen wo mein fehler liegt.
Das ist ja eine DGL der Form y'=f(s)g(y)
Die Lösung ergibt sich durch F(s)=G(y) wobei [mm] F(s)=\integral [/mm] f(s) und [mm] G(y)=\integral \bruch{1}{g(y)}
[/mm]
In meinem Fall habe ich ja -3=f(s) -> F(s)=-3s und [mm] g(y)=ys-C_1 [/mm] -> [mm] G(y)=\integral \bruch{1}{ys-C_1}
[/mm]
Und genau hier ist mein Problem (glaube ich). Ich kann dieses Integral nicht lösen :(
Oder ist eh alles bis hier Schmarrn und das Probem liegt schon viel weiter oben?
Noch einmal vielen lieben Dank!
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Hallo AndreasG,
> [mm]yu_x-3xu_y=0[/mm]
> Ich habe mich hier noch einmal an eine Aufgabe gemacht und
> bin wieder auf ein "Problem" gestoßen. Ich hoffe es ist
> nicht so schlimm dass ich euch schon wieder nerve.
>
> (I)x'(s)=y
> (II)y'(s)=-3x
> (III)u'(s)=0
>
> Wenn ich Gleichung (I) auflöse erhalte ich:
> [mm]x=ys-C_1[/mm]
>
> Liege ich hier noch richtig oder bin ich wirklich zu doof
> um gewöhnliche DGLs zu lösen?
Hier liegt ein DGL-System vor:
[mm]\pmat{x \\ y}'=\pmat{0 & 1 \\ -3 & 0}\pmat{x \\ y}[/mm]
Dieses DGL-System kannst Du aber leicht lösen, in dem Du ein Gleichung differnzierst und in die andere einsetzt:
[mm]x'=y \Rightarrow x'' = y'[/mm]
[mm]\Rightarrow x''=-3x \gdw x''+3x=0[/mm]
Demnach ist die DGL [mm]x''+3x=0[/mm] zu lösen.
>
> Eingesetzt in (II) ergibt:
> [mm]y'=-3(ys-C_1)[/mm]
>
> Hier habe ich mich nun Schwer getan. Ich werde sie mal
> ausführlicher behandeln und dann wird euch schon auffallen
> wo mein fehler liegt.
>
> Das ist ja eine DGL der Form y'=f(s)g(y)
> Die Lösung ergibt sich durch F(s)=G(y) wobei
> [mm]F(s)=\integral[/mm] f(s) und [mm]G(y)=\integral \bruch{1}{g(y)}[/mm]
>
> In meinem Fall habe ich ja -3=f(s) -> F(s)=-3s und
> [mm]g(y)=ys-C_1[/mm] -> [mm]G(y)=\integral \bruch{1}{ys-C_1}[/mm]
>
> Und genau hier ist mein Problem (glaube ich). Ich kann
> dieses Integral nicht lösen :(
> Oder ist eh alles bis hier Schmarrn und das Probem liegt
> schon viel weiter oben?
Jo, das Problem liegt viel weiter oben.
>
> Noch einmal vielen lieben Dank!
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Fr 21.11.2008 | | Autor: | AndreasG |
ok, dann bekomme ich folgendes:
[mm] x=C_1cos(\wurzel{3}s)+C_2sin(\wurzel{3}s)
[/mm]
[mm] x'=-C_1sin(\wurzel{3}s)\wurzel{3}+C_2cos(\wurzel{3}s)\wurzel{3}=y
[/mm]
Also:
[mm] x(s)=C_1cos(\wurzel{3}s)+C_2sin(\wurzel{3}s)
[/mm]
[mm] y(s)=-C_1sin(\wurzel{3}s)\wurzel{3}+C_2cos(\wurzel{3}s)\wurzel{3}
[/mm]
[mm] u(s)=C_3
[/mm]
Und hier hört es schon wieder auf. Wenn ich x nach etwas auflöse und in y einsetze kommt bei mir nie was vernünftiges raus. auch wenn ich eine gleichung erst einmal quadriere und dann irgendwie hin und her einsetze komme ich zu nix vernünftigen. Langsam aber sicher verzweifel ich :(
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Hallo AndreasG,
> ok, dann bekomme ich folgendes:
> [mm]x=C_1cos(\wurzel{3}s)+C_2sin(\wurzel{3}s)[/mm]
>
> [mm]x'=-C_1sin(\wurzel{3}s)\wurzel{3}+C_2cos(\wurzel{3}s)\wurzel{3}=y[/mm]
>
> Also:
> [mm]x(s)=C_1cos(\wurzel{3}s)+C_2sin(\wurzel{3}s)[/mm]
>
> [mm]y(s)=-C_1sin(\wurzel{3}s)\wurzel{3}+C_2cos(\wurzel{3}s)\wurzel{3}[/mm]
> [mm]u(s)=C_3[/mm]
>
> Und hier hört es schon wieder auf. Wenn ich x nach etwas
> auflöse und in y einsetze kommt bei mir nie was
> vernünftiges raus. auch wenn ich eine gleichung erst einmal
> quadriere und dann irgendwie hin und her einsetze komme ich
> zu nix vernünftigen. Langsam aber sicher verzweifel ich :(
Die Idee mit dem Quadrieren ist hervorragend.
Ein Tip dazu: Addiere ein Vielfaches von [mm]x^{2}[/mm] zu [mm]y^{2}[/mm],
so daß Du den trigonometrischen Pythagoras anwenden kannst.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Fr 21.11.2008 | | Autor: | AndreasG |
Mann, das habe ich doch vorher schon versucht :)
Jetzt hat es aber endlich geklappt (ausser ich habe irgendwo geschummelt) :)
[mm] 3x^2=3C_1^2cos^2(...) [/mm] + [mm] 3C_2^2sin^2(...)+6C_1C_2sin(...)cos(...)
[/mm]
[mm] y^2=C_2^2cos^2(...)3+C_1^2sin^2(...)3-6C_1C_2sin(...)cos(...)
[/mm]
Das obere in das untere eingesetzt:
[mm] y^2=C_2^2cos^2(...)3+C_1^2sin^2(...)3+3C_1^2cos^2(...)+3C_2^2sin^2(...)-3x^2
[/mm]
[mm] y^2+3x^2=3C_2^2[cos^2(...)+sin^2(...)]+3C_1^2[cos^2(...)+sin^2(...)]
[/mm]
[mm] y^2+3x^2=3C_2^2+3C_1^2
[/mm]
Soooooooooooooo
[mm] u(x,y)=f(y^2+3x^2) [/mm] stimmt das nun so? Wenn ja, kannst du mir nochmal erklären was ich eigentlich alles gemacht habe? *kopfschüttel*
Ich habe die gesuchte Funktion nach einer neuen Variablen s abgeleitet. Dadurch habe ich ein Differentialgleichungssystem erhalten und dieses gelöst. Die Lösungen habe ich dann irgendwie vereinigt aber wie komme ich nun davon darauf, dass die Lösung genau diese Funktionschaar ist?
Daaaaaaanke danke danke danke
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Hallo AndreasG,
> Mann, das habe ich doch vorher schon versucht :)
> Jetzt hat es aber endlich geklappt (ausser ich habe
> irgendwo geschummelt) :)
>
> [mm]3x^2=3C_1^2cos^2(...)[/mm] +
> [mm]3C_2^2sin^2(...)+6C_1C_2sin(...)cos(...)[/mm]
>
> [mm]y^2=C_2^2cos^2(...)3+C_1^2sin^2(...)3-6C_1C_2sin(...)cos(...)[/mm]
>
> Das obere in das untere eingesetzt:
>
> [mm]y^2=C_2^2cos^2(...)3+C_1^2sin^2(...)3+3C_1^2cos^2(...)+3C_2^2sin^2(...)-3x^2[/mm]
>
> [mm]y^2+3x^2=3C_2^2[cos^2(...)+sin^2(...)]+3C_1^2[cos^2(...)+sin^2(...)][/mm]
> [mm]y^2+3x^2=3C_2^2+3C_1^2[/mm]
>
> Soooooooooooooo
> [mm]u(x,y)=f(y^2+3x^2)[/mm] stimmt das nun so? Wenn ja, kannst du
> mir nochmal erklären was ich eigentlich alles gemacht habe?
> *kopfschüttel*
Ja, das stimmt jetzt.
>
> Ich habe die gesuchte Funktion nach einer neuen Variablen s
> abgeleitet. Dadurch habe ich ein
> Differentialgleichungssystem erhalten und dieses gelöst.
> Die Lösungen habe ich dann irgendwie vereinigt aber wie
> komme ich nun davon darauf, dass die Lösung genau diese
> Funktionschaar ist?
Weil die Konstante [mm]3*C_{1}^{2}+3*C_{2}^{2}[/mm] die Lösung allein definiert.
>
> Daaaaaaanke danke danke danke
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mo 24.11.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | | [mm] xu_x+2yu_x=0 [/mm] |
Hallo,
ich habe die Fragen mitgelesen weil ich mich gerade ebenfalls mit partiellen DGL beschäftige. Ich habe mich hier auch einmal an einer Aufgabe versucht und fände es klasse wenn jemand korrektur lesen könnte.
Das Charakteristische System:
x'=x -> [mm] x(s)=C_1e^s
[/mm]
y'=2y -> [mm] y(s)=C_2e^{2s}
[/mm]
u'=0 -> [mm] u(s)=C_3
[/mm]
Die Lösungen ergeben sich zu:
[mm] u(x(s),y(s))=u(C_1e^s;C_2e^2s)=C_3
[/mm]
Aus der Charakterisitken ergibt sich:
[mm] s=ln|\bruch{x}{C_1}|=0.5ln|\bruch{y}{C_2}
[/mm]
[mm] 2ln|\bruch{x}{C_1}|=ln|\bruch{y}{C_2} [/mm] |e^
[mm] \bruch{x^2}{C_1^2}=\bruch{y}{C_2}
[/mm]
[mm] \bruch{x^2}{y}=\bruch{C_1^2}{C_2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow u(x,y)=f(\bruch{x^2}{y})
[/mm]
Ist das so richtig?
Mfg
Tobias
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Hallo tobe,
> [mm]xu_x+2yu_x=0[/mm]
> Hallo,
> ich habe die Fragen mitgelesen weil ich mich gerade
> ebenfalls mit partiellen DGL beschäftige. Ich habe mich
> hier auch einmal an einer Aufgabe versucht und fände es
> klasse wenn jemand korrektur lesen könnte.
>
> Das Charakteristische System:
> x'=x -> [mm]x(s)=C_1e^s[/mm]
> y'=2y -> [mm]y(s)=C_2e^{2s}[/mm]
> u'=0 -> [mm]u(s)=C_3[/mm]
>
> Die Lösungen ergeben sich zu:
> [mm]u(x(s),y(s))=u(C_1e^s;C_2e^2s)=C_3[/mm]
>
> Aus der Charakterisitken ergibt sich:
> [mm]s=ln|\bruch{x}{C_1}|=0.5ln|\bruch{y}{C_2}[/mm]
> [mm]2ln|\bruch{x}{C_1}|=ln|\bruch{y}{C_2}[/mm] |e^
> [mm]\bruch{x^2}{C_1^2}=\bruch{y}{C_2}[/mm]
> [mm]\bruch{x^2}{y}=\bruch{C_1^2}{C_2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow u(x,y)=f(\bruch{x^2}{y})[/mm]
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> Ist das so richtig?
Ja, das ist so richtig.
>
> Mfg
> Tobias
>
Gruß
MathePower
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