Alternierende Reihe mit Sinus < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:25 So 06.12.2009 | | Autor: | oli_k |
| Aufgabe | [mm] \summe_{i=k}^{\infty}(-1)^k*\bruch{sin(x^{5k})}{\wurzel{k}+x^{4k}}
[/mm]
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Hallo,
dass die Folge für alle x außer -1 konvergent ist, habe ich schon raus. Bei manchen Teilbereichen hapert es aber noch etwas mit dem Nachweis.
Vor allem bei |x|>1:
Nach Leibniz muss ich ja Monotonie und Grenzwert von [mm] \bruch{sin(x^{5k})}{\wurzel{k}+x^{4k}} [/mm] zeigen.
Grenzwert ist leicht: Den Zähler schätze ich kleiner gleich 1 ab, der Nenner ist größer gleich [mm] x^{4k}, [/mm] also ist alles kleiner gleich [mm] (\bruch{1}{k})^{4k}, [/mm] das geht zweifellos gegen 0.
Bei der Monotonie habe ich Probleme. Ich weiß nicht, wie ich zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder vergleichen soll, da ja der Sinus prinzipiell unendlich nah an 0 gehen kann - wer sagt mir dann, dass es nicht ab und zu Ausreißer gibt, bei denen ein neues Folgenglied mal größer ist als das davor? Z.B. kann ja x^5k mal genau Pi ergeben - dann ist jedes x^(5k+1) größer.
Wie geht man hier vor?
Danke!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 So 06.12.2009 | | Autor: | oli_k |
Ich sehe gerade - reicht es nicht, an der Stelle direkt mit Majorantenkriterium zu argumentieren? Ist das bei alternierenden Reihen zulässig? Also einfach Betrag von ak kleiner gleich [mm] 1/x^k [/mm] -> Reihe konvergiert?
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Hallo Oli,
das ist eine gute Idee.
> Ich sehe gerade - reicht es nicht, an der Stelle direkt mit
> Majorantenkriterium zu argumentieren? Ist das bei
> alternierenden Reihen zulässig?
Ja, bei der Untersuchung auf absolute Konvergenz. Hattet Ihr das?
> Also einfach Betrag von ak
> kleiner gleich [mm]1/x^k[/mm] -> Reihe konvergiert?
Geschickter fände ich [mm] |a_k| \le \bruch{1}{x^{\blue{4}k}}
[/mm]
- denn das gilt sicher für alle |x|>1, und Du brauchst keine separate Untersuchung für negative x mehr.
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:13 Mo 07.12.2009 | | Autor: | oli_k |
Ach, natürlich - dort hätte auch eigentlich |x| stehen sollen, dann ist es ja im Endeffekt das gleiche.
Zwischen absoluter und 'normaler' Konvergenz haben wir nie so genau differenziert, aber da aus absoluter die normale folgert, ist ja alles ok, oder?
Vielen Dank!
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