Analyse eines Argumentes < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Di 18.01.2005 | | Autor: | Olek |
Diesmal komm ich nicht ganz soweit, weil ich leider nicht genau weiß, was die Aufgabe verlangt, die da lautet:
Analysieren sie das folgende Argument: Aus [mm] a^{t} [/mm] = -a folgt det a = 0, denn det a = det [mm] (a^{t}) [/mm] = det (-a) = -det a.
det a = det [mm] (a^{t}) [/mm] = det (-a) = -det a sollte richtig sein, so wie ich es nachgerechnet habe, aber was soll man denn dann machen? Soll man zeigen, dass immer wenn [mm] a^{t} [/mm] = -a ist, det a = 0 ist, aber wozu dann der Rest?? Wäre schön wenn ihr mir nochmal helfen könntet, es geht immerhin um die Klausurzulassung ;)
Schönen Dank,
Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Di 18.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Olek,
> Diesmal komm ich nicht ganz soweit, weil ich leider nicht
> genau weiß, was die Aufgabe verlangt, die da lautet:
> Analysieren sie das folgende Argument: Aus [mm]a^{t}[/mm] = -a
> folgt det a = 0, denn det a = det [mm](a^{t})[/mm] = det (-a) = -det
> a.
> det a = det [mm](a^{t})[/mm] = det (-a) = -det a sollte richtig
> sein, so wie ich es nachgerechnet habe, aber was soll man
> denn dann machen? Soll man zeigen, dass immer wenn [mm]a^{t}[/mm] =
> -a ist, det a = 0 ist, aber wozu dann der Rest?? Wäre schön
> wenn ihr mir nochmal helfen könntet, es geht immerhin um
> die Klausurzulassung ;)
Ich hoffe, dass $a$ eine Matrix sein soll? Ich bevorzuge dafür den großen Buchstaben, also dein $a$ ist bei mir dann ein $A$.
Falls es um Matrizen geht (was anderes fällt mir auch gerade nicht ein, um was es sonst gehen könnte?):
Betrachte mal die $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix [m]A:=\left(\begin{matrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{matrix}\right) \in \IR^{2 \times 2}[/m].
Dann gilt offenbar:
[m]A^t=\left(\begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix}\right)=-A[/m]
Aber wie sieht es nun mit [m]\mbox{det}(-A)[/m] aus? Gilt tatsächlich:
[mm]\mbox{det}(-A)=-\mbox{det}(A)[/mm]?
PS: Falls [mm] $a^t=-a$, [/mm] dann stimmt (mit deinen Bezeichnungen) jedenfalls [m]\mbox{det}(a)=\mbox{det}(a^t)=\mbox{det}(-a)[/m].
Nur die Gleichheit [m]\mbox{det}(-a)=-\mbox{det}(a)[/m] ist/war in der Argumentation fraglich!
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Di 18.01.2005 | | Autor: | Olek |
Vielen Dank!
War das dann schon eine Analyse, wenn ic einfach ein Gegenbeispiel bringe, oder muß ich das dann noch besonders erläutern? Das Wort Analyse lese ich jetzt nämlich zum ersten Mal in einer Aufgabe und ich weiß nicht ganz genau wie umfangreich meine Ausführungen dann sein müßen.
MfG,
Olek
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Di 18.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Olek!
> Vielen Dank!
> War das dann schon eine Analyse, wenn ic einfach ein
> Gegenbeispiel bringe, oder muß ich das dann noch besonders
> erläutern? Das Wort Analyse lese ich jetzt nämlich zum
> ersten Mal in einer Aufgabe und ich weiß nicht ganz genau
> wie umfangreich meine Ausführungen dann sein müßen.
Ich denke, dass du die Argumentationskette auf Richtigkeit prüfen solltest. Da du nun ja eine Matrix kennst, die [m]A^t=-A[/m] erfüllt, obwohl [m]\mbox{det}(-A)\not=-\mbox{det}(A)[/m] gilt, ist die Argumentation an der Stelle, wo [m]\mbox{det}(-A)=-\mbox{det}(A)[/m] steht, fehlerhaft.
Somit folgt aus [m]A^t=-A[/m] i.A. nicht [m]\mbox{det}(A)=0[/m], wie man auch an dem Gegenbeispiel erkennt.
Fazit: Das Gegenbeispiel sollte (meiner Meinung nach) genügen. Übrigens, so als kleiner Hinweis, wie ich diese Matrix [mm] ($\in \IR^{2 \times 2}$) [/mm] "konstruiert" habe:
Überlege dir, dass aus [m]A^t=-A[/m] dann folgt, dass die Diagonalelemente von $A$ alle $=0$ sein müssen. Der Rest dürfte klar sein!
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Di 18.01.2005 | | Autor: | Olek |
Cool, jetzt ist das glaub ich alles soweit klar. Vielen Dank, Olek
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Olek,
> Cool, jetzt ist das glaub ich alles soweit klar. Vielen
> Dank, Olek
Das freut mich. Viel Erfolg bei der Klausur! 
Viele Grüße,
Marcel
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