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| Aufgabe | Hallo, ich schreibe morgen eine Mathe-Klausur. Hier habe ich eine Übungsaufgabe, die ich nicht ganz verstehe.
In der Grafik (die kann ich nicht anfügen, ist aber eigentl. auch zu vernachlässigen) ist die Bevölkerungsentwicklung einer ostdeutschen Kleinstadt dargestellt. Die Einheiten auf der x-Achse sind mit dem Faktor 10, auf der y-Achse mit dem Faktor 10.000 zu versehen. Als "Jahr Null" der Grafik gilt das Jahr 2000. Zur Beschreibung der Entwicklung dienen zwei Funktionen (f1 bis zur Mitte des Jahres 1998, f2 für folgende Jahre):
f1(x)=6-e^(4x+1) +e^(x+0,25)
für - unendlich (zeichen hab ich net) <x<-0,15
f2(x)=5+e^(-4x) - e^(-x)
für -0,15<x< unendlich zeichen.
a) Zeige, dass der Übergang von f1 zu f2 an der Stelle x=-0,15 nicht "sauber" ist.
Diese Aufgabe verstehe ich leider überhaut nicht.
b) In welchem Jahr war die Einwohnerzahl am größten, wann war sie am kleinsten? Gib die Werte für das Maximum und Minimum an und berechnen den prozentualen Verlust bezogen auf die beiden Extremwerte.
c) Berechne mit Hilfe der Integralrechnung die durchschnittliche Einwohnerzahl für die Zeit von 1980 - 1995 einerseits und für die Zeit von 2000 - 2015 (Prognose) andererseits. Bestimme auch für die beiden Durchschnittswerte den Verlust in %. |
f1(x)=6-e^(4x+1) +e^(x+0,25)
für - unendlich (zeichen hab ich net) <x<-0,15
f2(x)=5+e^(-4x) - e^(-x)
für -0,15<x< unendlich zeichen.
a) Zeige, dass der Übergang von f1 zu f2 an der Stelle x=-0,15 nicht "sauber" ist.
Diese Aufgabe verstehe ich leider überhaut nicht.
b) In welchem Jahr war die Einwohnerzahl am größten, wann war sie am kleinsten? Gib die Werte für das Maximum und Minimum an und berechnen den prozentualen Verlust bezogen auf die beiden Extremwerte.
c) Berechne mit Hilfe der Integralrechnung die durchschnittliche Einwohnerzahl für die Zeit von 1980 - 1995 einerseits und für die Zeit von 2000 - 2015 (Prognose) andererseits. Bestimme auch für die beiden Durchschnittswerte den Verlust in %.
SO, BEI b) muss ich ja die 1 und 2. Ableitung bilden, diese sehen bei mir so aus, ich weiß nicht ob es richtig ist.
f´(1)=6-4e^(4x+1) + xe^(x+0,25) ? richtig ?
f´´ (x)= brauche ich die auch?
f´ (2)=5+(-4)e^(-4x) - (-x)^(-x) ? richtig ?
und wie kann ich weiter vorgehen? welche ableitung =0 setzen? ich habe ja 2 Funktionen. ich weiß net weiter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Mo 18.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo, ich schreibe morgen eine Mathe-Klausur. Hier habe
> ich eine Übungsaufgabe, die ich nicht ganz verstehe.
>
> In der Grafik (die kann ich nicht anfügen, ist aber
> eigentl. auch zu vernachlässigen) ist die
> Bevölkerungsentwicklung einer ostdeutschen Kleinstadt
> dargestellt. Die Einheiten auf der x-Achse sind mit dem
> Faktor 10, auf der y-Achse mit dem Faktor 10.000 zu
> versehen. Als "Jahr Null" der Grafik gilt das Jahr 2000.
> Zur Beschreibung der Entwicklung dienen zwei Funktionen (f1
> bis zur Mitte des Jahres 1998, f2 für folgende Jahre):
>
> f1(x)=6-e^(4x+1) +e^(x+0,25)
> für - unendlich (zeichen hab ich net) <x><-0,15
Unendlich schreibt man hier mit \infty
>
> f2(x)=5+e^(-4x) - e^(-x)
> für -0,15<x>< unendlich zeichen.
>
> a) Zeige, dass der Übergang von f1 zu f2 an der Stelle
> x=-0,15 nicht "sauber" ist.
>
> Diese Aufgabe verstehe ich leider überhaut nicht.
Su sollst zeigen, dass die Steigung an der "Schnittstelle" x=0,15 nicht gleich ist.
>
> b) In welchem Jahr war die Einwohnerzahl am größten, wann
> war sie am kleinsten? Gib die Werte für das Maximum und
> Minimum an und berechnen den prozentualen Verlust bezogen
> auf die beiden Extremwerte.
>
> c) Berechne mit Hilfe der Integralrechnung die
> durchschnittliche Einwohnerzahl für die Zeit von 1980 -
> 1995 einerseits und für die Zeit von 2000 - 2015
> (Prognose) andererseits. Bestimme auch für die beiden
> Durchschnittswerte den Verlust in %.
> f1(x)=6-e^(4x+1) +e^(x+0,25)
> für - unendlich (zeichen hab ich net) <x><-0,15
>
> f2(x)=5+e^(-4x) - e^(-x)
> für -0,15<x>< unendlich zeichen.
>
> a) Zeige, dass der Übergang von f1 zu f2 an der Stelle
> x=-0,15 nicht "sauber" ist.
>
> Diese Aufgabe verstehe ich leider überhaut nicht.
>
> b) In welchem Jahr war die Einwohnerzahl am größten, wann
> war sie am kleinsten? Gib die Werte für das Maximum und
> Minimum an und berechnen den prozentualen Verlust bezogen
> auf die beiden Extremwerte.
>
> c) Berechne mit Hilfe der Integralrechnung die
> durchschnittliche Einwohnerzahl für die Zeit von 1980 -
> 1995 einerseits und für die Zeit von 2000 - 2015
> (Prognose) andererseits. Bestimme auch für die beiden
> Durchschnittswerte den Verlust in %.
>
> SO, BEI b) muss ich ja die 1 und 2. Ableitung bilden, diese
> sehen bei mir so aus, ich weiß nicht ob es richtig ist.
>
> f´(1)=6-4e^(4x+1) + xe^(x+0,25) ? richtig ?
Nein.
[mm] f_{1}(x)=6-e^{(4x+1)}+e^{(x+0,25)}
[/mm]
Leite diese Summandenweise ab, für die Summanden mit der e-Funktion brauchst du auch noch die Kettenregel.
> f´´ (x)= brauche ich die auch?
Es macht Sinn, um die hinreichende Bedingung für Extrema zu prüfen, und um die Art der Extrema zu bestimmen.
>
> f´ (2)=5+(-4)e^(-4x) - (-x)^(-x) ? richtig ?
Bein, denn f'(x) war ja auch schon falsch.
>
> und wie kann ich weiter vorgehen? welche ableitung =0
> setzen?
Beide. Und bei beiden betrachte dann nur die Extrema im jeweiligen Def-Bereich.
> ich habe ja 2 Funktionen. ich weiß net weiter
Marius
</x></x></x></x>
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ok jetzt hab ich glaube die richtige
f´1 (x) = 24 - e^(4x+1) + e ^(x + 0,25) Hier weiß ich nicht wie ich das x ableiten muss / Überhaupt? oder 1 schreiben??
f´´1(x = 96 - e^(4x+1) +e^(x+0,25)
f´ 2(x) = -20+e^(-4x) - e^(-x)
f´´2(x) = 80+e^(-4x)- e^(-x)
und dann f´1 (x) = 0
24-e^(4x+1) + e^(x+0,25) = 0 | - e^ (x+0,25)??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Mo 18.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ok jetzt hab ich glaube die richtige
>
> f´1 (x) = 24 - e^(4x+1) + e ^(x + 0,25)
Das stimmt so nicht. Ich hatte doch oben geschrieben, dass due die Summanden einzeln ableuten musst, und z.T die KEttenregel brauchst.
[mm] f_{1}(x)=\red{6}+\green{(-e^{4x+1})}+\blue{e^{x+0,25}}
[/mm]
[mm] f_{1}'(x)=\red{0}+\green{(-(e^{4x+1}*4))}+\blue{e^{x+0,25}*1}
[/mm]
[mm] =-4e^{4x+1}+e^{x+0,25}
[/mm]
Aus f'(x)=0 folgt also:
[mm] 0=-4e^{4x+1}+e^{x+0,25}
[/mm]
[mm] \gdw 4e^{4x+1}=e^{x+0,25}
[/mm]
Jetzt auf beiden Seiten den passenden Logarithmus anwenden.
> Hier weiß ich
> nicht wie ich das x ableiten muss / Überhaupt? oder 1
> schreiben??
Wie oben. Die Summanden einzeln ableiten. Und die Innere Ableitung (des "e-Exponeneten" ) nicht vergessen.
Marius
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:12 Mo 18.10.2010 | | Autor: | bjoern777 |
ich habe jetzt gerechnet
ln4:lne = 1,38..
1,38 : 0,25 =5,545..
allerdings weiß ich die korrekte schreibweise nicht. und das muss dann ja das maximum sein oder?
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> ich habe jetzt gerechnet
Hallo,
vielleicht sagst Du nochmal im Klartext, was Du gerade ausrechnen möchtest.
Poste Deine Rechnung nachvollziehbar: kontrollieren tun wir gern, aber wir wollen ja nicht raten, was Du getan hast - Hellsehen klappt heut' auch nicht, weil die Kristallkugel unters Klavier gerollt ist, der Kaffeesatz auf dem Kompost liegt und der Rabe seinen freien Tag hat.
Lösen wolltest Du [mm] $4e^{4x+1}=e^{x+0,25} [/mm] $.
Was tust Du jetzt mit dieser Gleichung?
Schritt für Schritt hinschreiben!
Gruß v. Angela
>
> ln4:lne = 1,38..
>
> 1,38 : 0,25 =5,545..
>
> allerdings weiß ich die korrekte schreibweise nicht. und
> das muss dann ja das maximum sein oder?
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so und dann hab ich noch f2 (x) = 16e^-4x - e^-x
--> 16 e^-4x = -e^-x | log
loge16 = -1
ln16:lne = 2,77
2,77: -1 = -2.77 maximum
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> so und dann hab ich noch f2 (x) = 16e^-4x - e^-x
Hallo,
und nun willst Du doch wohl herausfinden, für welche x gilt:
[mm] f_2(x)=0
[/mm]
<==>
>
> --> 16 e^-4x = -e^-x | log
> loge16 = -1
Du hast hier jetzt stehen, daß ln(16)=-1 ist.
Daß das Kokolores ist, solltest Du selbst erkennen.
EDIT: aus [mm] f_2(x)=0 [/mm] erhältst Du aber, wenn Du es richtig machst
[mm] \green{16 e^-4x} [/mm] = [mm] \red{+}\green{e^-x}.
[/mm]
Wie man diese Gleichung löst, mache ich Dir nun vor..
Ich mache Dir jetzt aber mal völlig unabhängig vo ndieser Aufgabe vor, wie man hätte 16 [mm] e^{-4x} [/mm] = [mm] e^{-x} [/mm] lösen können:
Logarithmieren liefert
ln(16 [mm] e^{-4x}) [/mm] = [mm] ln(e^{-x})
[/mm]
Mit den  Logarithmusgesetzen ergibt sich
[mm] ln(16)+ln(e^{-4x})= ln(e^{-x})
[/mm]
<==>
ln(16) -4x=-x
<==>
ln(16)=3x
<==>
[mm] x=\bruch{ln(16)}{3}.
[/mm]
Oder so:
16 [mm] e^{-4x} [/mm] = [mm] e^{-x}
[/mm]
Division durch [mm] e^{-4x} [/mm] liefert
[mm] 16=e^{3x},
[/mm]
jetzt logarithmieren und zu Ende rechnen.
Wenn Du das kapiert hast, kannst Du mal die in der anderen Frage zur Debatte stehende Gleichung schrittweise lösen.
Gruß v. Angela
>
> ln16:lne = 2,77
> 2,77: -1 = -2.77 maximum
>
>
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ähh? keine lösung?? naja verstehe ich jetzt nicht, aber bei der 2. Funktion:
f´2(x)= 16e^-4x - e^-x
das jetzt umformen etc..
Für das max. Wachstum f´´ (x) = 0 setzen.
oder?
16e^-4x-e^-x = 0
16e^-4x = e^-x
e^-x:e^-x = 16 :4
[mm] e^x [/mm] = 4 | ln
ln 4 : e?? = 0,50
hmmmmm.....ob das richtig ist. kp.
und das minimum kann man dann nicht ausrechnen wenn der erste log. der 1. Fkt. nicht geht? kannst du mir das noch mal erklären? dankeschööööön
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ohh mein gott!!!!!!!! DAS wars !!! ICH NIX MEHR VERSTEHE;)
Fkt.1 :
f´(x) = 0
f´1(x) = -4e^-4x+1 +e ^x+0,25
-4e^-4x+1 = [mm] e^x+0,25
[/mm]
e^-4:e^ ICH VERSTEHE ES NICHT
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> ohh mein gott!!!!!!!! DAS wars !!! ICH NIX MEHR VERSTEHE;)
>
> Fkt.1 :
>
> f´(x) = 0
> f´1(x) = -4e^-4x+1 +e ^x+0,25
> -4e^-4x+1 = [mm]e^x+0,25[/mm]
> e^-4:e^ ICH VERSTEHE ES NICHT
Und ich kann es nur mit Mühe lesen!
Wie wär's wenn Du mal die Eingabehilfen unter dem Eingabefenster anschaust. Da findest Du heraus, wie man Exponenten und vieles mehr schreibt. Oder klick bei meiner Antwort mal auf Quelltext, dann siehst Du auch, wie es geht.
Du möchtest jetzt anscheinend
[mm] -4e^{-4x+1} [/mm] +e ^{x+0,25 }=0
lösen.
Addition von [mm] 4e^{-4x+1} [/mm] ergibt
[mm] e^{x+0.25}=4*e^{-4x+1},
[/mm]
und nicht etwa das, was Du schriebst.
Klar bis hier?
Dividiere nun durch [mm] e^{-4x+1}.
[/mm]
Links hast Du dann [mm] e^{irgendwas}, [/mm] rechts die 4.
Was bekommst Du? Potenzgesetze beachten.
Danach sehen wir weiter.
Gruß v. Angela
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> ähh? keine lösung??
Lies Dir hierzu bitte die soeben editierte Fassung meiner entsprechenden Antwort durch.
> naja verstehe ich jetzt nicht, aber
> bei der 2. Funktion:
> f´2(x)= 16e^-4x - e^-x
>
> das jetzt umformen etc..
> Für das max. Wachstum f´´ (x) = 0 setzen.
Ja, aber ich sehe in der Aufgabenstellung gar nicht, daß das gefragt ist.
> oder?
> 16e^-4x-e^-x = 0
> 16e^-4x = e^-x
Soweit richtig.
> e^-x:e^-x = 16 :4
Was soll denn das hier jetzt?
Du hattest
[mm] 16e^{-4x} [/mm] = [mm] e^{-x}.
[/mm]
Was mußt Du tun, damit die 16 links allein steht?
Was bekommst Du, wenn Du es getan hast?
Gruß v. Angela
P.S.: Auf Posts von Dir in diesem Thread, in denen Du Dir nicht die Mühe machst, leserliche Exponenten zu schreiben, werde ich nicht mehr antworten. Dies nur, damit Du Dich ggf. niht wunderst.
>
> [mm]e^x[/mm] = 4 | ln
> ln 4 : e?? = 0,50
> hmmmmm.....ob das richtig ist. kp.
> und das minimum kann man dann nicht ausrechnen wenn der
> erste log. der 1. Fkt. nicht geht? kannst du mir das noch
> mal erklären? dankeschööööön
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Hallo,
beachte bitte die Forenregeln.
Diese besagen u.a., daß Du mitteilen sollst, wenn Du Deine Frage auch in anderen Foren gepostet hast.
Gruß v. Angela
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