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| Aufgabe | Wo sind folgende Funktionen analytisch?
[mm] f_1(z)=2*\cos [/mm] z
[mm] f_2(z)=z^* [/mm] (komplex konjugiert)
[mm] f_3(z)=\bruch{exp(z)}{z}
[/mm]
[mm] f_4(z)=\bruch{\tan(z-1)}{z-1}
[/mm]
Lösen Sie [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] mit Cauchy und [mm] f_3 [/mm] und [mm] f_4 [/mm] informell. |
Hallo :)
wie ich mit Cauchy löse ist mir bewusst nur wie schreibe ich das z um?
als: [mm] \cos x+i\sin [/mm] y ? wenn das stimmt,
Dann könnte ich Cauchy anwenden mit:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\parial v}{\partial y}, \bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}
[/mm]
?
und wie löse ich denn [mm] f_3 [/mm] und [mm] f_4 [/mm] informell?
ich finde diese Formulierung leider sehr schwammig und weiß nichts damit anzufangen... Vielleicht habt ihr ja eine Idee :)
Vielen lieben Dank für eure Hilfe und einen schönen Sonntag wünsch ich euch :)
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[mm] f_2(z)=z^* [/mm] (konjugiert)
[mm] f_2(z)=x-iy
[/mm]
u(x,y)=x
v(x,y)=-y
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}=1
[/mm]
[mm] \bruch{\partial v}{\partial y}=-1
[/mm]
[mm] \bruch{\partial u}{\partial y}=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial y}{\partial x}=0
[/mm]
f ist nirgends differenzierbar stimmt das?
[mm] f_1(z)=2 \cos(x+iy)
[/mm]
u(x,y)= 2 [mm] \cos(x)
[/mm]
v(x,y)= 2 [mm] \cos(y)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}=-2 \sin(x)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial v}{\partial y}=-2 \sin(y)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial u}{\partial y}=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial y}{\partial x}=0
[/mm]
diese Funktion ist nun diffbar oder?
wie finde ich nun die Stellen an der sie auch analytisch ist?
danke für eure Hilfe :)
[mm] f_3(z)
[/mm]
die Funktion ist in allen Punkten außer z=0 analytisch.
stimmt das?
[mm] f_4(z)
[/mm]
diese Funktion ist in allen Punkten außer z=1 analytisch.
Stimmt das?
Vielen lieben Dank für eure Hilfe :)
liebe grüße
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Hallo Alaizabel,
> [mm]f_2(z)=z^*[/mm] (konjugiert)
>
> [mm]f_2(z)=x-iy[/mm]
>
> u(x,y)=x
> v(x,y)=-y
>
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}=1[/mm]
> [mm]\bruch{\partial v}{\partial y}=-1[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}=0[/mm]
> [mm]\bruch{\partial y}{\partial x}=0[/mm]
>
> f ist nirgends differenzierbar stimmt das?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]f_1(z)=2 \cos(x+iy)[/mm]
>
> u(x,y)= 2 [mm]\cos(x)[/mm]
> v(x,y)= 2 [mm]\cos(y)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}=-2 \sin(x)[/mm]
> [mm]\bruch{\partial v}{\partial y}=-2 \sin(y)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}=0[/mm]
> [mm]\bruch{\partial y}{\partial x}=0[/mm]
>
> diese Funktion ist nun diffbar oder?
Siehe hierzu diesen Post von mir.
> wie finde ich nun die Stellen an der sie auch analytisch
> ist?
Nun, da mußt Du die Cauchy-Riemann-DGLn hernehmen,
und schauen für welche z=x+i*y die gleich sind.
>
> danke für eure Hilfe :)
>
> [mm]f_3(z)[/mm]
>
> die Funktion ist in allen Punkten außer z=0 analytisch.
>
> stimmt das?
Zunächst einmal stimmt das.
Der interessante Punkt ist z=0.
Ist die Funktion auch dort analytisch?
>
> [mm]f_4(z)[/mm]
>
> diese Funktion ist in allen Punkten außer z=1 analytisch.
>
> Stimmt das?
Die Aussage stimmt für [mm]z \not= 1[/mm].
Dieselbe Frage wie vorher: Ist die Funktion in z=1 auch analytisch?
>
> Vielen lieben Dank für eure Hilfe :)
>
> liebe grüße
Gruss
MathePower
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[mm] f_3 [/mm] und [mm] f_4
[/mm]
also ich denke das bei z=0 bei [mm] f_3 [/mm] eine Polstelle vorliegt damit ist die Funktion dort nicht holomorph und kann dann nicht analytisch sein oder?
genau das gleiche dachte ich zu [mm] f_4 [/mm] bei z=1...
danke für deine tolle hilfe :)
liebe grüße
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Hallo Alaizabel,
> [mm]f_3[/mm] und [mm]f_4[/mm]
>
> also ich denke das bei z=0 bei [mm]f_3[/mm] eine Polstelle vorliegt
> damit ist die Funktion dort nicht holomorph und kann dann
> nicht analytisch sein oder?
Es ist richtig, daß Bei z=0 ein Pol vorliegt.
An dieser Stelle ist, wie Du richtig erkannt hast,
die Funktion nicht analytisch.
>
> genau das gleiche dachte ich zu [mm]f_4[/mm] bei z=1...
Hier nehmen sowohl Zähler als auch Nenner für z=1 den Wert "0" an.
Hier ist also noch genauer zu prüfen,
ob die Funktion an dieser Stelle analytisch ist.
>
> danke für deine tolle hilfe :)
> liebe grüße
Gruss
MathePower
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oh ja, du hast recht, das hatte ich gar nicht beachtet.
ja, hmmm, aber wie schaue ich mir das genauer an?
da war irgendwas mit dem limes oder?
ich hab keine idee :(
vielleicht hast du noch einen denkanstoß für mich das wäre toll :)
nochmals ein riesiges DANKE :)
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Hallo Alaizabel,
> oh ja, du hast recht, das hatte ich gar nicht beachtet.
>
> ja, hmmm, aber wie schaue ich mir das genauer an?
> da war irgendwas mit dem limes oder?
> ich hab keine idee :(
>
> vielleicht hast du noch einen denkanstoß für mich das
> wäre toll :)
>
Nun, entwickle [mm]\tan\left(z-1\right)[/mm] in eine Potenzreihe.
> nochmals ein riesiges DANKE :)
Gruss
MathePower
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[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n*(z-1)^n
[/mm]
[mm] a_n=\bruch{f^{(n)}}{n!}
[/mm]
das hat mit meine formelsammlung gerade gesagt als ich nachgeschlagen habe. das hat sie mir heute mittag auch schon gesagt aber mit dem [mm] f^{(n)} [/mm] konnte ich nichts anfangen....
ich habe nun für [mm] a_n=\bruch{\bruch{(\tan(z-1)}{z-1})^n}{n!}
[/mm]
das jetzt in die Summe eingesetzt ergibt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{\bruch{(\tan(z-1)}{z-1})^n}{n!}*(z-1)^n
[/mm]
aber da muss ein fehler sein....
das kann so nicht stimmen...
kannst du mir sagen wo?
vielen lieben dank :)
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Hallo Alaizabel,
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n*(z-1)^n[/mm]
>
> [mm]a_n=\bruch{f^{(n)}}{n!}[/mm]
>
> das hat mit meine formelsammlung gerade gesagt als ich
> nachgeschlagen habe. das hat sie mir heute mittag auch
> schon gesagt aber mit dem [mm]f^{(n)}[/mm] konnte ich nichts
> anfangen....
>
> ich habe nun für
> [mm]a_n=\bruch{\bruch{(\tan(z-1)}{z-1})^n}{n!}[/mm]
>
> das jetzt in die Summe eingesetzt ergibt:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{\bruch{(\tan(z-1)}{z-1})^n}{n!}*(z-1)^n[/mm]
>
> aber da muss ein fehler sein....
> das kann so nicht stimmen...
>
> kannst du mir sagen wo?
Es ist nicht [mm]\bruch{\tan\left(z-1\right)}{z-1}[/mm]
in eine Potenzreihe zu entwickeln
Vielmehr ist [mm]\tan\left(z-1\right)[/mm] in eine Potenzreihe zu entwickeln.
Dazu gibt es in Deiner Formelsammmlung bestimmt auch
eine Potenzreihe für [mm]\tan\left(x\right)[/mm].
>
> vielen lieben dank :)
>
Gruss
MathePower
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achso ist das.
ja hier steht eine Potenzreihe für tanx.
und zwar:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n-1}*2^{2n}*(2^(2n)-1)}{(2n)!}*B_{2n}*x^{2n-1}
[/mm]
=
[mm] x+\bruch{1}{3}x^3+\bruch{2}{15}x^5+\bruch{17}{315}x^7+.... |x|<\bruch{\pi}{2}
[/mm]
aber wirklich klar sehe ich dadurch immernoch nicht ;(
kannst du mir noch einen tipp geben?
vielen lieben dank und liebe grüße :)
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Hallo Alaizabel,
> achso ist das.
>
> ja hier steht eine Potenzreihe für tanx.
>
> und zwar:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n-1}*2^{2n}*(2^(2n)-1)}{(2n)!}*B_{2n}*x^{2n-1}[/mm]
> =
> [mm]x+\bruch{1}{3}x^3+\bruch{2}{15}x^5+\bruch{17}{315}x^7+.... |x|<\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> aber wirklich klar sehe ich dadurch immernoch nicht ;(
>
> kannst du mir noch einen tipp geben?
Setze jetzt für x=z-1 ein.
Die erhaltene Potenzreihe setzt Du jetzt für
[mm]\tan\left(z-1\right)[/mm] in [mm]\bruch{\tan\left(z-1\right)}{z-1}[/mm] ein.
Solange [mm]z \not= 1[/mm] ist, kannst Du durch [mm]z-1[/mm] dividieren.
Nach der Division bildest Du den Grenzwert für z gegen 1.
>
> vielen lieben dank und liebe grüße :)
Gruss
MathePower
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[mm] (z-1)+\bruch{1}{3}(z-1)^3+\bruch{2}{15}(z-1)^5+\bruch{17}{315}(z-1)^7
[/mm]
wenn ich das nun durch (z-1) dividiere und dann den limes gegen 1 laufen lassen geht der ganze term gegen 1.
das sagt mir nun das dort keine polstelle ist denn bei polstellen wäre die funktion doch nicht definiert oder?
was bedeutet das für analytisch oder nicht?
vielen, vielen, vielen dank :)
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Hallo Alaizabel,
>
>
> [mm](z-1)+\bruch{1}{3}(z-1)^3+\bruch{2}{15}(z-1)^5+\bruch{17}{315}(z-1)^7[/mm]
>
> wenn ich das nun durch (z-1) dividiere und dann den limes
> gegen 1 laufen lassen geht der ganze term gegen 1.
> das sagt mir nun das dort keine polstelle ist denn bei
> polstellen wäre die funktion doch nicht definiert oder?
> was bedeutet das für analytisch oder nicht?
Nun, die Funktion ist analytisch fortsetzbar in z=1.
>
> vielen, vielen, vielen dank :)
Gruss
MathePower
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Hallo Alaizabel,
> Wo sind folgende Funktionen analytisch?
>
> [mm]f_1(z)=2*\cos[/mm] z
> [mm]f_2(z)=z^*[/mm] (komplex konjugiert)
> [mm]f_3(z)=\bruch{exp(z)}{z}[/mm]
> [mm]f_4(z)=\bruch{\tan(z-1)}{z-1}[/mm]
>
> Lösen Sie [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm] mit Cauchy und [mm]f_3[/mm] und [mm]f_4[/mm]
> informell.
> Hallo :)
>
> wie ich mit Cauchy löse ist mir bewusst nur wie schreibe
> ich das z um?
> als: [mm]\cos x+i\sin[/mm] y ? wenn das stimmt,
Zunächst ist gemäß der Eulerschen Identität
[mm]\cos\left(z\right)=\bruch{e^{i*z}+e^{-i*z}}{2}[/mm]
Setze dann hier [mm]z=x+i*y[/mm] und forme dann
diesen Ausdruck soweit um, daß Du Real- und Imaginärteil
angeben kannst.
>
> Dann könnte ich Cauchy anwenden mit:
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\parial v}{\partial y}, \bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}[/mm]
>
> ?
>
> und wie löse ich denn [mm]f_3[/mm] und [mm]f_4[/mm] informell?
> ich finde diese Formulierung leider sehr schwammig und
> weiß nichts damit anzufangen... Vielleicht habt ihr ja
> eine Idee :)
>
>
> Vielen lieben Dank für eure Hilfe und einen schönen
> Sonntag wünsch ich euch :)
Gruss
MathePower
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Hallo,
vielen lieben Dank für Deine Hilfe, das ist wirklich toll!
ich habe jetzt eingesetzt und komme auf:
[mm] \bruch{e^{ix-y}+e^{-ix+y}}{2}
[/mm]
also
[mm] \bruch{e^{ix}*e^{-y}+e^{-ix}*e^{y}}{2}
[/mm]
realteil:
[mm] \bruch{e^{-y}+e^{y}}{2}
[/mm]
imaginärteil:
[mm] \bruch{e^{ix}+e^{ix}}{2}
[/mm]
stimmt das soweit?
vielen lieben dank für deine hilfe :)
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Hallo Alaizabel,
> Hallo,
>
> vielen lieben Dank für Deine Hilfe, das ist wirklich
> toll!
>
> ich habe jetzt eingesetzt und komme auf:
>
> [mm]\bruch{e^{ix-y}+e^{-ix+y}}{2}[/mm]
>
> also
>
> [mm]\bruch{e^{ix}*e^{-y}+e^{-ix}*e^{y}}{2}[/mm]
>
> realteil:
>
> [mm]\bruch{e^{-y}+e^{y}}{2}[/mm]
>
> imaginärteil:
>
> [mm]\bruch{e^{ix}+e^{ix}}{2}[/mm]
>
> stimmt das soweit?
>
Bis hierher stimmt das:
[mm]\bruch{e^{ix}*e^{-y}+e^{-ix}*e^{y}}{2}[/mm]
Jetzt weisst Du, daß
[mm]e^{ix}=\cos\left(x\right)+i*\sin\left(x\right)[/mm]
bzw.
[mm]e^{-ix}=\cos\left(x\right)-i*\sin\left(x\right)[/mm]
Das setzt Du jetzt in die obige Gleichung ein:
[mm]\bruch{\left( \ \cos\left(x\right)+i*\sin\left(x\right) \ \right)*e^{-y}+\left( \ \cos\left(x\right)-i*\sin\left(x\right) \ \right)*e^{y}}{2}[/mm]
Diesen Ausdruck trennst Du jetzt nach Real- und Imaginärteil.
> vielen lieben dank für deine hilfe :)
Gruss
MathePower
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der Realteil ist dann:
[mm] \bruch{\cos x *e^{-y}+\cos x*e^{y}}{2}
[/mm]
und der Imaginärteil:
[mm] \bruch{i* \sin x*e^{-y}-i*\sin x*e^{y}}{2}
[/mm]
jetzt müsste es stimmen oder?
und da ich ja [mm] 2*\cos [/mm] z hab fällt das geteilt durch 2 weg :)
und dann leite ich nach cauchy ab?
vielen, vielen dank für deine echt verständliche hilfe :)
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ich hab jetzt einfach mal gerechnet :)
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{\partial v}{\partial y}
[/mm]
[mm] -2\sin [/mm] x* [mm] \cosh [/mm] y = -2 [mm] \cosh [/mm] y [mm] *\sin [/mm] x *i
nur das i verwirrt mich... kannst du mir das erkären wie ich das interpretieren muss?
[mm] \bruch{\partial u}{\partial y} [/mm] = [mm] -\bruch{\partial v}{\partial x}
[/mm]
[mm] 2*\sinh y*\cos [/mm] x [mm] =-2*\cos x*\sinh [/mm] y *i
und schon wieder dieses i....
liebe grüße und danke für deine hilfe :)
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Hallo Alaizabel,
> ich hab jetzt einfach mal gerechnet :)
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}[/mm] = [mm]\bruch{\partial v}{\partial y}[/mm]
>
> [mm]-2\sin[/mm] x* [mm]\cosh[/mm] y = -2 [mm]\cosh[/mm] y [mm]*\sin[/mm] x *i
>
> nur das i verwirrt mich... kannst du mir das erkären wie
> ich das interpretieren muss?
Bedenke, daß [mm]f_{1}=u+i*v[/mm], wobei u,v reelle Funktionen sind.
Nun, das "i" hat bei einer reellen Funktion nichts zu suchen.
Somit steht da:
[mm]-2\sin\left(x\right) \cosh\left(y\right) = -2 \cosh\left(y\right) \sin\left(x\right)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}[/mm] = [mm]-\bruch{\partial v}{\partial x}[/mm]
>
> [mm]2*\sinh y*\cos[/mm] x [mm]=-2*\cos x*\sinh[/mm] y *i
>
> und schon wieder dieses i....
>
> liebe grüße und danke für deine hilfe :)
>
Gruss
MathePower
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ja, das stimmt, ich habe schneller geschrieben als gedacht...
ich hoffe das passiert mir nicht nochmal.
somit ist die funktion dann analytisch überall oder?
weil das cauchy-kriterium erfüllt ist.
oder muss ich diese funktion noch weiter betrachten?
Vielen, lieben Dank für die nächtliche Hilfe :)
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Hallo Alaizabel,
> ja, das stimmt, ich habe schneller geschrieben als
> gedacht...
>
> ich hoffe das passiert mir nicht nochmal.
>
> somit ist die funktion dann analytisch überall oder?
>
> weil das cauchy-kriterium erfüllt ist.
Ja, die Funktion ist überall analytisch.
>
> oder muss ich diese funktion noch weiter betrachten?
>
Nein.
> Vielen, lieben Dank für die nächtliche Hilfe :)
Gruss
MathePower
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Hallo Alaizabel,
> der Realteil ist dann:
>
> [mm]\bruch{\cos x *e^{-y}+\cos x*e^{y}}{2}[/mm]
>
> und der Imaginärteil:
>
> [mm]\bruch{i* \sin x*e^{-y}-i*\sin x*e^{y}}{2}[/mm]
Der Imaginärteil einer Funktion ist reell, daher
[mm]\bruch{\sin x*e^{-y}-\sin x*e^{y}}{2}[/mm]
>
> jetzt müsste es stimmen oder?
>
> und da ich ja [mm]2*\cos[/mm] z hab fällt das geteilt durch 2 weg
> :)
>
> und dann leite ich nach cauchy ab?
>
> vielen, vielen dank für deine echt verständliche hilfe :)
Gruss
MathePower
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