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| Aufgabe | Bestimmen Sie, in welchen Punkten die folgende Funktion stetig ist:
[mm] f(x)=\begin{cases} -x+1, & \mbox{für } x \le -1 \\ x^{2}+5x+7, & \mbox{für } -1 < x \le 0 \\
x+7 &\mbox{für} x > 0 \end{cases} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen :),
ich hab' folgendes Problem mit der Aufgabe: Generell weiß ich nicht so genau, wie ich zeigen soll, in welchen Punkten die Funktion stetig ist.
Naive Annahme:
Erster Fall ist stetig, da -x+1 für alle x einen Wert liefert, also nach dem Stiftkriterium stetig ist.
Zweiter Fall ist stetig, auch wieder da man das zeichnen kann.
Dritter Fall ebenso.
Ich dachte dann, man muss nur die Intervallränder untersuchen, also -1 , 0 und dann ist man fertig.
Der erste Fall hätte für [mm] \limes_{x\rightarrow -1} [/mm] 2 als Grenzwert, der Zweite Fall für [mm] \limes_{x\rightarrow -1} [/mm] 3 und für [mm] \limes_{x\rightarrow -0} [/mm] 7 und der dritte Fall für [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] 7.
Heißt das jetzt irgend was und insbesondere, dass die Funktion nicht stetig ist, da der erste Fall 2 als Grenzwert hat und der zweite Fall 3 und 7 und nicht 2 und 7?
Bitte keine Lösungen posten, sondern mir helfen, selbst draufzukommen!
Danke :)
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Hallo und herzlich Willkommen hier im Matheraum!
Eine Bitte habe ich gleich zu Beginn. Kannst du eventll. noch dein Profil erweitern? Ich weiß nun leider nicht, auf welcher Ebene wir uns hier befinden. Du studierst Informatik und besuchst nun die Mathematikvorlesung dieses Studiengangs?
So, nun gehts aber los. 
Zunächst grundsätzliches zur Stetigkeit
Sofern es geht, arbeite mit der Definition der Stetigkeit. Denn ein Stiftkriterium gibt es nicht. Ich zeige dir gleich warum...
In der Vorlesung wird eigentlich sofort bewiesen, dass z.B. Polynome stetig sind. Außerdem sind Verknüpfungen und Kompositionen solche stetig.
Damit wissen wir z.b, dass f(x)=x und [mm] g(x)=(x+1)^2 [/mm] stetig sind, aber insbesondere auch f(x)+g(x), sowie f(g(x)).
Bei Funktionen [mm] f:\IR\to\IR [/mm] kann man sich das lediglich als eine "durchgängige" Kurve vorstellen. Was machst du aber in diesem Fall:
k: [mm] \IN\to\IN,\ [/mm] k(n)=n
Bei dieser Funktion bildest du nur die natürlichen Zahlen auf diese selbst ab. (also k(1)=1, k(2)=2,...)
Wenn du dies zeichnest, dann wäre das nach dem """Stiftkriterium""" keineswegs stetig.
Nun gehen wir einfach mal fix zu der Funktion über.
> Bestimmen Sie, in welchen Punkten die folgende Funktion
> stetig ist:
> [mm]f(x)=\begin{cases} -x+1, & \mbox{für } x \le -1 \\ x^{2}+5x+7, & \mbox{für } -1 < x \le 0 \\
x+7 &\mbox{für} x > 0 \end{cases}[/mm]
>
Ich muss ein Lob aussprechen! Dies ist dein erster Beitrag und du hast gleich alles top formatiert. Das bekommen manche nicht einmal bei ihrem 20. Beitrag hin. Finde ich echt super. So macht es auch Spaß zu antworten.
>
> Hallo zusammen :),
> ich hab' folgendes Problem mit der Aufgabe: Generell weiß
> ich nicht so genau, wie ich zeigen soll, in welchen Punkten
> die Funktion stetig ist.
> Naive Annahme:
> Erster Fall ist stetig, da -x+1 für alle x einen Wert
> liefert, also nach dem Stiftkriterium stetig ist.
Wir wollen mal lieber nicht von Fällen reden. Sagen wir lieder die erste Teilfunktion, nämlich [mm] f_1(x)=-x+1 [/mm] ist auf dem Intervall [mm] (-\infty,-1] [/mm] auf Stetigkeit zu untersuchen.
Naja, wo soll da bitteschön etwas schiefgehen? Polynome sind stetig und so ist [mm] f_1(x) [/mm] auch stetig. Falls ihr aber die Stetigkeit der Polynome nicht gezeigt habt, müsstest du das noch machen.
> Zweiter Fall ist stetig, auch wieder da man das zeichnen
> kann.
Schlechte Argumentation. Auch hier: Polynomfunktionen sind stetig.
> Dritter Fall ebenso.
Du kennst die Begründung
> Ich dachte dann, man muss nur die Intervallränder
> untersuchen, also -1 , 0 und dann ist man fertig.
Absolut richtig gedacht!
> Der erste Fall hätte für [mm]\limes_{x\rightarrow -1}[/mm] 2 als
> Grenzwert, der Zweite Fall für [mm]\limes_{x\rightarrow -1}[/mm] 3
> und für [mm]\limes_{x\rightarrow -0}[/mm] 7 und der dritte Fall
> für [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] 7.
Erste kritische Stelle [mm] x_1=-1
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow{}-1}f_1(x)=2
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow{}-1}f_2(x)=3
[/mm]
Zweite kritische Stelle [mm] x_2=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow{}0}f_2(x)=7
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow{}0}f_3(x)=7
[/mm]
Ja, und damit ist doch die zweite Stelle stetig verbunden. Bei der ersten Stelle haben wir doch einen Sprung. Und so ist es dort nicht stetig.
Du hast also Recht, man muss zunächst die Teilfunktionen selbst und dann die Sprungstellen selbst untersuchen.
Falls du noch Fragen hast, kannst du diese gern stellen. 
> Heißt das jetzt irgend was und insbesondere, dass die
> Funktion nicht stetig ist, da der erste Fall 2 als
> Grenzwert hat und der zweite Fall 3 und 7 und nicht 2 und
> 7?
>
> Bitte keine Lösungen posten, sondern mir helfen, selbst
> draufzukommen!
> Danke :)
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> Hallo und herzlich Willkommen hier im Matheraum!
>
Danke vielmals :)
> Eine Bitte habe ich gleich zu Beginn. Kannst du eventll.
> noch dein Profil erweitern? Ich weiß nun leider nicht, auf
> welcher Ebene wir uns hier befinden. Du studierst
> Informatik und besuchst nun die Mathematikvorlesung dieses
> Studiengangs?
>
Jo. Ich hatte nichts wirklich Passendes gefunden, daher hatte ich die Angabe leer gelassen. Dann halt so. :)
> So, nun gehts aber los.
> Zunächst grundsätzliches zur Stetigkeit
>
> Sofern es geht, arbeite mit der Definition der Stetigkeit.
> Denn ein Stiftkriterium gibt es nicht. Ich zeige dir gleich
> warum...
>
> In der Vorlesung wird eigentlich sofort bewiesen, dass z.B.
> Polynome stetig sind. Außerdem sind Verknüpfungen und
> Kompositionen solche stetig.
Okay. Das stimmt. Wir haben ein Korollar, dass genau das besagt.
Sonst haben wir noch das [mm] \varepsilon \delta [/mm] - Kriterium und das Folgenkriterium. Zu denen ich auch Fragen habe. Kann ich die direkt hier stellen?
> Damit wissen wir z.b, dass f(x)=x und [mm]g(x)=(x+1)^2[/mm] stetig
> sind, aber insbesondere auch f(x)+g(x), sowie f(g(x)).
>
> Bei Funktionen [mm]f:\IR\to\IR[/mm] kann man sich das lediglich als
> eine "durchgängige" Kurve vorstellen. Was machst du aber
> in diesem Fall:
>
> k: [mm]\IN\to\IN,\[/mm] k(n)=n
>
> Bei dieser Funktion bildest du nur die natürlichen Zahlen
> auf diese selbst ab. (also k(1)=1, k(2)=2,...)
> Wenn du dies zeichnest, dann wäre das nach dem
> """Stiftkriterium""" keineswegs stetig.
>
>
>
> Nun gehen wir einfach mal fix zu der Funktion über.
> > Bestimmen Sie, in welchen Punkten die folgende Funktion
> > stetig ist:
> > [mm]f(x)=\begin{cases} -x+1, & \mbox{für } x \le -1 \\ x^{2}+5x+7, & \mbox{für } -1 < x \le 0 \\
x+7 &\mbox{für} x > 0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> Ich muss ein Lob aussprechen! Dies ist dein erster Beitrag
> und du hast gleich alles top formatiert. Das bekommen
> manche nicht einmal bei ihrem 20. Beitrag hin. Finde ich
> echt super. So macht es auch Spaß zu antworten.
> >
^^ LaTeX lässt grüßen. Aber danke fürs Kompliment. :)
> > Hallo zusammen :),
> > ich hab' folgendes Problem mit der Aufgabe: Generell
> weiß
> > ich nicht so genau, wie ich zeigen soll, in welchen Punkten
> > die Funktion stetig ist.
> > Naive Annahme:
> > Erster Fall ist stetig, da -x+1 für alle x einen Wert
> > liefert, also nach dem Stiftkriterium stetig ist.
> Wir wollen mal lieber nicht von Fällen reden. Sagen wir
> lieder die erste Teilfunktion, nämlich [mm]f_1(x)=-x+1[/mm] ist auf
> dem Intervall [mm](-\infty,-1][/mm] auf Stetigkeit zu untersuchen.
> Naja, wo soll da bitteschön etwas schiefgehen? Polynome
> sind stetig und so ist [mm]f_1(x)[/mm] auch stetig. Falls ihr aber
> die Stetigkeit der Polynome nicht gezeigt habt, müsstest
> du das noch machen.
Hier wäre jetzt meine Frage:
Erstens: Wie geht sowas allgemein? Kann auch ruhig ein anderes Polynom sein, ich will nur verstehen, wie das geht.
Zweitens: Kann ich nicht einfach auf das Korollar verweisen? (Ist halt kein Satz...)
> > Zweiter Fall ist stetig, auch wieder da man das
> zeichnen
> > kann.
> Schlechte Argumentation. Auch hier: Polynomfunktionen sind
> stetig.
> > Dritter Fall ebenso.
> Du kennst die Begründung
> > Ich dachte dann, man muss nur die Intervallränder
> > untersuchen, also -1 , 0 und dann ist man fertig.
> Absolut richtig gedacht!
> > Der erste Fall hätte für [mm]\limes_{x\rightarrow -1}[/mm] 2
> als
> > Grenzwert, der Zweite Fall für [mm]\limes_{x\rightarrow -1}[/mm] 3
> > und für [mm]\limes_{x\rightarrow -0}[/mm] 7 und der dritte Fall
> > für [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] 7.
> Erste kritische Stelle [mm]x_1=-1[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow{}-1}f_1(x)=2[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow{}-1}f_2(x)=3[/mm]
>
> Zweite kritische Stelle [mm]x_2=0[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow{}0}f_2(x)=7[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow{}0}f_3(x)=7[/mm]
>
>
> Ja, und damit ist doch die zweite Stelle stetig verbunden.
> Bei der ersten Stelle haben wir doch einen Sprung. Und so
> ist es dort nicht stetig.
>
Kann ich jetzt also so vorgehen?
Ich sage, dass per Korollar 08/15 Polynome Funktionen stetig sind.
Dann bleiben noch die Ränder zu untersuchen.
Reicht es dann, mit dem Grenzwert zu argumentieren? Wie müsste ich das dann ungefähr machen?
Ich muss ja "mathematisch" sprechen und nicht "eijo. Weil der Grenzwert halt nich der Gleiche ist, springt da die Funktion und so." ( )
Nochmals: Ich will keine Lösung, sondern nur Tipps.
>
> Du hast also Recht, man muss zunächst die Teilfunktionen
> selbst und dann die Sprungstellen selbst untersuchen.
>
>
> Falls du noch Fragen hast, kannst du diese gern stellen.
>
>
Ist gemacht. Danke vielmals :)
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Hallo,
danke für dein Feedback. Und klar, Fragen kannst du gleich hier anschließen. Passt ja wunderbar zum Thema.
> Hier wäre jetzt meine Frage:
> Erstens: Wie geht sowas allgemein? Kann auch ruhig ein
> anderes Polynom sein, ich will nur verstehen, wie das
> geht.
> Zweitens: Kann ich nicht einfach auf das Korollar
> verweisen? (Ist halt kein Satz...)
Ja na klar. Das kannst du machen. Wenn es dran war, dann benutz es.
Es geht jetzt darum allgemein zu zeigen, dass Polynome stetig sind.
Man kann dies induktiv machen. Damit du aber noch mehr Beispiele siehst verweise ich dich mal auf ein PDF-File.
http://www-hm.ma.tum.de/archiv/in2/ss04/aufgaben/hmin2_loesung08.pdf
Falls dazu noch Fragen auftauchen, kannst diese natürlich auch stellen.
> Kann ich jetzt also so vorgehen?
> Ich sage, dass per Korollar 08/15 Polynome Funktionen
> stetig sind.
Ja, genau.
> Dann bleiben noch die Ränder zu untersuchen.
Richtig.
> Reicht es dann, mit dem Grenzwert zu argumentieren? Wie
> müsste ich das dann ungefähr machen?
Ja, das genügt, denn es gilt ja die folgende Def.:
f(x) heißt stetig in [mm] x_0, [/mm] wenn [mm] \lim_{x\to{x_0}}f(x)=f(x_0).
[/mm]
Obige Defintion verlangt aber natürlich, dass die beidseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen. Von daher ist die Argumenation hier korrekt.
Die ganze Aufgabe zielt eigentlich nur darauf, die Grenzwerte an den kritischen Stellen zu untersuchen.
Du könntest es in etwa so angehen:
"f(x) ist auf [mm] (-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,\infty) [/mm] stetig, da Polynomfunktion (nach Kor...).
Untersuche Stellen x=-1 und x=0:
...
Hier kommt die Begrüdung mit dem Grenzwert.
...
"
> Ich muss ja "mathematisch" sprechen und nicht "eijo. Weil
> der Grenzwert halt nich der Gleiche ist, springt da die
> Funktion und so." ( )
> Nochmals: Ich will keine Lösung, sondern nur Tipps.
Ich hoffe, dass waren nicht zu viele Tipps.
Eigentlich haben wir schon alles gesagt. Mach dir da auch mal nicht so einen Kopf um die Aufgabe. Da gibt es schwierigere Beispiele, wo man intensiver die Aufgabe besprechen muss.
Schönen Sonntag-Abend wünsche ich!
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> Hallo,
>
> danke für dein Feedback. Und klar, Fragen kannst du gleich
> hier anschließen. Passt ja wunderbar zum Thema.
>
>
Hallo,
also erstmal vielen Dank für die Antwort, das hilft mir dann komplett über den Berg. :)
Dann habe ich folgende Verständnisfragen zu den Kriterien:
1.) [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium:
Der Grundgedanke ist klar. Es besagt, dass man zwei Funktionswerte beliebig nah beieinander liegen, wenn man die Werte im Urbild(?) nah genug beieinander gewählt hat.
Für f(x) = x ist mir das auch klar.
Wir haben jetzt aber auch als Beispiel f(x) = [mm] x^{2}. [/mm] Und da ist es mir nicht mehr so klar.
Bei uns kommt dann: Die wesentliche Abschätzung ist | x ^{2} - [mm] x_{0}^{2}| [/mm] = | x + [mm] x_{0}| [/mm] * |x - [mm] x_{0}| \leq |2x_{0} [/mm] + 1| * | x - [mm] x_{0}| \forall [/mm] x mit | x - [mm] x_{0}| [/mm] < 1
Erste (und momentan einzige) Frage: Was genau ist eine Abschätzung, und wie schätzt man ab? Wir habe das schon öfter benutzt, aber nie erklärt, was das eigentlich sein soll.
[...]
> Schönen Sonntag-Abend wünsche ich!
Gleichfalls, und vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 So 15.12.2013 | | Autor: | chrisno |
Um das $ [mm] \varepsilon [/mm] $ - $ [mm] \delta [/mm] $ - Kriterium anzwenden, musst Du immer angeben, wie Du das $ [mm] \delta [/mm] $ wählst, damit der Betrag der Differenz der Funktionswerte kleiner oder gleich als $ [mm] \varepsilon [/mm] $ wird. Praktisch immer gelingt es nicht, das $ [mm] \delta [/mm] $ so anzugeben, dass der Betrag der Differenz der Funktionswerte genau gleich als $ [mm] \varepsilon [/mm] $ wird. Aber meistens kann man ein [mm] $\delta$ [/mm] finden, so dass das Ziel garantiert kleiner als $ [mm] \varepsilon [/mm] $ erreicht wird. Das ist die Abschätzung: auf jeden Fall klein genug, ob es noch ein größeres gibt, interessiert für den Beweis nicht.
Das Spiel lautet immer: gib mir ein $ [mm] \varepsilon [/mm] $ und ich gebe Dir ein passendes [mm] $\delta$.
[/mm]
Um die Formel für das [mm] $\delta$ [/mm] zu finden, ist Kreativität nötig. Man legt eben erst einmal mit Gleichheitszeichen los.
Zu Deinem Beispiel:
[mm] $|x^2-x_0^2| \le \varepsilon$ [/mm] soll erreicht werden. Mit welchem [mm] $\delta \ge |x-x_0|$ [/mm] wird das garantiert?
Nun kannst Du erst einmal pauschal voraussetzen, dass [mm] $|x-x_0| [/mm] < 1$. Falls ein größeres [mm] $\delta$ [/mm] ausreichen würde, schadet es nichts, das kleinere, also die 1 zu nehmen.
Dann schauen wir uns das Folgende mal an (Schau auch mal auf den Quelltext, Du machst Dir das mit der Formatierung zu schwer.)
$|x ^2 - [mm] x_0^2| [/mm] = |x + [mm] x_0| [/mm] * |x - [mm] x_0| \leq |2x_0 [/mm] + 1| * | x - [mm] x_0|$
[/mm]
Das ist nur ein Teilstück. Hier steht kein $ [mm] \varepsilon [/mm] $ und kein $ [mm] \delta [/mm] $.
Also ein $ [mm] \varepsilon [/mm] $ ist gegeben und es muss [mm] $|x^2-x_0^2| \le \varepsilon$ [/mm] erreicht werden. Dann ist die Behauptung: Wähle [mm] $\delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{|2x_0 + 1|}$ [/mm] und die Vorgabe wird erreicht.
Beweis:
Wähle x so, dass [mm] $\delta \ge [/mm] | x - [mm] x_0|$. [/mm]
Dann gilt [mm] $\bruch{\varepsilon}{|2x_0 + 1|} \ge [/mm] | x - [mm] x_0|$.
[/mm]
Damit gilt [mm] $\varepsilon \ge |2x_0 [/mm] + 1| * | x - [mm] x_0|$.
[/mm]
Und dann kommt des Teilstück mit der weiteren Folgerung [mm] $|x^2-x_0^2| \le \varepsilon$.
[/mm]
Das war eine Herausforderung für mich. Das erste Mal seit etwa 30 Jahren. Daher kann da noch ein Kinken drin sein.
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