Anfangswert < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Sa 23.01.2010 | | Autor: | fine89 |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem
y'=1/(1+x-y') ; y(1)=3
durch eine geeignte Substitution der Form u(x)=ax+by(x)+c mit a, b, c element aus R und anschließende Trennung der Variablen. |
da dies meine erste differentialgleichung ist, würd ich gern wissen ob mein vorgehen bisher richtig ist, weil ich mir noch sehr unsicher bin.
zunächst hab ich 1+x-y' durch u substituiert
dann umgestellt -y'(x)=u(x)-1-x
und y'=dy/dx=(-du/dx)+1
dann komm ich auf (-du/dx)+1=1/u(x)
und anschließend müsste ich doch jetzt die Variablen trennen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Sa 23.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Lösen Sie das Anfangswertproblemdann umgestellt -y'(x)=u(x)-1-x
und y'=dy/dx=(-du/dx)+1
dann komm ich auf (-du/dx)+1=1/u(x)
und anschließend müsste ich doch jetzt die Variablen trennen?
> y'=1/(1+x-y') ; y(1)=3
> durch eine geeignte Substitution der Form u(x)=ax+by(x)+c
> mit a, b, c element aus R und anschließende Trennung der
> Variablen.
Soll diese DGL nicht eher
[mm] y' = \bruch{1}{1+x-y} [/mm]
(ohne die Ableitung von y im Nenner) lauten?
(Denn so wie du sie hingeschrieben hast, brauchst du die Substitution nicht.)
> da dies meine erste differentialgleichung ist, würd ich
> gern wissen ob mein vorgehen bisher richtig ist, weil ich
> mir noch sehr unsicher bin.
>
> zunächst hab ich 1+x-y' durch u substituiert
Ich nehme, an du meinstest $u=1+x-y$, wieder ohne Ableitung. Dann drückst du $y'$ durch $u'$ aus und setzt ein.
> dann umgestellt -y'(x)=u(x)-1-xdann umgestellt -y'(x)=u(x)-1-x
und y'=dy/dx=(-du/dx)+1
dann komm ich auf (-du/dx)+1=1/u(x)
und anschließend müsste ich doch jetzt die Variablen trennen?
> und y'=dy/dx=(-du/dx)+1
Irgendwie brinst du die Ausdrücke $y$ und $y'$ durcheinander, denn in der letzten Zeile stimmt es wieder.
> dann komm ich auf (-du/dx)+1=1/u(x)
und anschließend müsste ich doch jetzt die Variablen trennen?
Richtig.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 So 24.01.2010 | | Autor: | fine89 |
Vielen Dank für die Antwort, du hattest recht im Nenner steht das y nicht in der Ableitung (war nur ein Komma auf dem Aufgabenblatt)
Mein Problem ist jetzt, dass ich doch nun du und u(x) au eine Seite bringen müsste, was ich aber nicht schaffe:
(-du/dx) = 1/u(x)-1 wenn ich jetzt * u (x) nehm:
(-du/dx)* u(x) = 1-u(x) dann mal dx
-du *u(x) dx = 1 - u (x) dx
irgendwie dreh ich mich da dauernd im kreis ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 So 24.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank für die Antwort, du hattest recht im Nenner
> steht das y nicht in der Ableitung (war nur ein Komma auf
> dem Aufgabenblatt)
>
> Mein Problem ist jetzt, dass ich doch nun du und u(x) au
> eine Seite bringen müsste, was ich aber nicht schaffe:
>
> (-du/dx) = 1/u(x)-1 wenn ich jetzt * u (x) nehm:
>
> (-du/dx)* u(x) = 1-u(x) dann mal dx
Und durch $(1-u)$ dividieren:
[mm]- \bruch{u}{1-u} du = dx [/mm]
Das linke Integral wird einfacher, wenn du den Integranden so umformst:
[mm] - \bruch{u}{1-u} = \bruch{u}{u-1} = \bruch{u-1 +1}{u-1} = 1+ \bruch{1}{u-1} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 So 24.01.2010 | | Autor: | fine89 |
nach der Integration habe ich jetzt folgendes rausbekommen:
u-ln(u-1)=x
dann muss ich doch nach u(x) auflösen und rücksubstituieren?
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Hallo fine89,
> nach der Integration habe ich jetzt folgendes
> rausbekommen:
>
> u-ln(u-1)=x
Ich erhalte hier die Lösung:
[mm]u\pm \ln\vmat{u-1}[/mm]
,wobei "-" für u < 1 und "+" für u > 1.
>
> dann muss ich doch nach u(x) auflösen und
> rücksubstituieren?
Hier kannst Du nicht nach u auflösen.
Als Lösung erhältst Du eine implizite Funktion [mm]F\left(x,y\right)=0[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 So 24.01.2010 | | Autor: | fine89 |
ich hätte ja ansonsten das nach u aufgelöste in die y(x)=u(x)-1-x eingesetzt und dann den anfangswert eingesetzt....wie gehe ich bei dieser form damit um?
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Hallo fine89,
> ich hätte ja ansonsten das nach u aufgelöste in die
> y(x)=u(x)-1-x eingesetzt und dann den anfangswert
> eingesetzt....wie gehe ich bei dieser form damit um?
Mit den Anfangswerten für x und y
kannst Du auch den Anfangswert von u berechnen,
da die Beziehung [mm]u=1+x-y[/mm] gilt.
Somit gilt auch
[mm]u\left(1\right)=1+1-y\left(1}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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