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Anfangswertaufgabe lösen: Rückfrage,Korrektur,Tipp,Hilfe
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:33 Sa 23/06/2018
Author: Dom_89

Aufgabe
Bestimme die allgemeine Lösung der Anfangswertaufgabe

y'(t) = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }y(t) [/mm] ; y(0) = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm]

Hallo,

hier einmal mein Lösungsansatz:

Ich habe zunächst die Eigenwerte bestimmt mit:

[mm] det(A-\lambda E_{3}) [/mm] = [mm] \vmat{ 1-\lambda & 1 & 0 \\ 4 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 3-\lambda } [/mm]

Hier kam dann [mm] \lambda_{1} [/mm] = 3 , [mm] \lambda_{2} [/mm] = 3 und [mm] \lambda_{3} [/mm] = -1 raus

Für die Bestimmung der Eigenwerte habe ich dann jeweils die o.g. Werte für [mm] \lambda [/mm] eingesetzt:

[mm] \lambda_{1} [/mm] = 3  [mm] (A-\lambda_{1} E_{3}): \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]

Mit II + 2I folgt:

[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]

Eigenvektor lautet dann:

[mm] \vec{x}_{1} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1} [/mm]

[mm] \lambda_{2} [/mm] = 3  [mm] (A-\lambda_{2} E_{3}): \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]

Mit II + 2I folgt:

[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]

Eigenvektor lautet dann:

[mm] \vec{x}_{2} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1} [/mm]

[mm] \lambda_{3} [/mm] = -1  [mm] (A-\lambda_{3} E_{3}): \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 } [/mm]

Mit II - 2I folgt:

[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 } [/mm]

Eigenvektor lautet dann:

[mm] \vec{x}_{3} [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0} [/mm]

Somit lautet die Lösung dann:

y(t) = [mm] c_{1}e^{3t}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] c_{2}e^{3t}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] c_{3}e^{-t}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ -1 \\ 0} [/mm]

Dann noch den Anfangswert mit einbeziehen:

y(0) = [mm] c_{1}e^{3t}\pmat{ \bruch{1}{2}c_{1} & +\bruch{1}{2}c_{2} & -\bruch{1}{2}c_{3} \\ c_{1} & +c_{2} & +c_{3} \\ c_{1} & +c_{2} } [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm]

An dieser Stelle verstehe ich dann nicht, wie ich "vernünftig" auflösen kann!?

Könntet ihr mit da einen Tipp geben?

Ist meine Lösung ansonsten soweit in Ordnung?


Vielen Dank für eure Hilfe

        
Bezug
Anfangswertaufgabe lösen: t gleich 0
Status: (Answer) finished Status 
Date: 16:52 Sa 23/06/2018
Author: Infinit

Hallo Dom_89,
für die Anfangsbedingung gilt natürlich [mm] t = 0 [/mm], die Exponentialfunktionen liefern alle den Wert 1 und Du hast drei lineare Gleichungen für drei Unbekannte.
Viele Grüße,
Infinit

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Bezug
Anfangswertaufgabe lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 17:11 Sa 23/06/2018
Author: Dom_89

Hallo,

danke für die Antwort!

Mein bisheriger Ansatz:

III

[mm] c_{1}+c_{2} [/mm] = 1

II

[mm] c_{1}+c_{2}+c_{3} [/mm] = 0
[mm] c_{1}+c_{2} [/mm] = - [mm] c_{3} [/mm]
1 =  [mm] -c_{3} [/mm]
-1 =  [mm] c_{3} [/mm]

I

[mm] \bruch{1}{2}c_{1}+\bruch{1}{2}c_{2}-\bruch{1}{2}c_{3} [/mm] = 2
[mm] \bruch{1}{2}c_{1}+\bruch{1}{2}c_{2}+\bruch{1}{2} [/mm] = 2
[mm] \bruch{1}{2}c_{1}+\bruch{1}{2}c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm]

Nun komme ich aber nicht mehr so wirklich weiter :(


Bezug
                        
Bezug
Anfangswertaufgabe lösen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 23:47 Sa 23/06/2018
Author: leduart

Hallo
du hast 2 gleiche Eigenwerte, dann kannst du nicht einfach 2 mal dasselbe hinschreiben! du kasst ja dein C1 und C2 zusammenfassen und hast nur noch 2 Konstanten! also ist die dritte Lösung t*e^(3t)*EV
Gruß ledum

Bezug
        
Bezug
Anfangswertaufgabe lösen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:09 So 24/06/2018
Author: fred97


> Bestimme die allgemeine Lösung der Anfangswertaufgabe
>  
> y'(t) = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }y(t)[/mm] ;
> y(0) = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>  Hallo,
>  
> hier einmal mein Lösungsansatz:
>  
> Ich habe zunächst die Eigenwerte bestimmt mit:
>  
> [mm]det(A-\lambda E_{3})[/mm] = [mm]\vmat{ 1-\lambda & 1 & 0 \\ 4 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 3-\lambda }[/mm]
>  
> Hier kam dann [mm]\lambda_{1}[/mm] = 3 , [mm]\lambda_{2}[/mm] = 3 und
> [mm]\lambda_{3}[/mm] = -1 raus
>  
> Für die Bestimmung der Eigenwerte habe ich dann jeweils
> die o.g. Werte für [mm]\lambda[/mm] eingesetzt:
>  
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 3  [mm](A-\lambda_{1} E_{3}): \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> Mit II + 2I folgt:
>  
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> Eigenvektor lautet dann:
>  
> [mm]\vec{x}_{1}[/mm] = [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1}[/mm]

Das ist O.K.


>  
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 3  [mm](A-\lambda_{2} E_{3}): \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> Mit II + 2I folgt:
>  
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> Eigenvektor lautet dann:
>  
> [mm]\vec{x}_{2}[/mm] = [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1}[/mm]


Hoppla , fällt Dir denn nicht auf, dass Du das oben schon mal hattest ???

Du hast obiges LGS zur Bestimmung der zu [mm] \lambda=3 [/mm] geh. Eigenvektoren nicht zu Ende gerechnet !

Das mach mal jetzt. Zeige: der von [mm] \lambda=3 [/mm] aufgespannte Eigenraum hat die Basis

   [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}. [/mm]


>  
> [mm]\lambda_{3}[/mm] = -1  [mm](A-\lambda_{3} E_{3}): \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 }[/mm]
>  
> Mit II - 2I folgt:
>  
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }[/mm]
>  
> Eigenvektor lautet dann:
>  
> [mm]\vec{x}_{3}[/mm] = [mm]\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  
> Somit lautet die Lösung dann:
>  
> y(t) = [mm]c_{1}e^{3t}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1}[/mm] +
> [mm]c_{2}e^{3t}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1}[/mm] +
> [mm]c_{3}e^{-t}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ -1 \\ 0}[/mm]

Spätestens jetzt hätte Dir auffallen müssen, dass da was schiefgegangen ist. Siehst Du denn nicht, dass nach [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] jeweils die gleiche Funktion steht ?

Die allgemeine Lösung lautet:

y(t) = [mm]c_{1}e^{3t}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1}[/mm] +[mm]c_{2}e^{3t}\vektor{0 \\ 0\\ 1}[/mm] + [mm]c_{3}e^{-t}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}[/mm]


>  
> Dann noch den Anfangswert mit einbeziehen:
>  
> y(0) = [mm]c_{1}e^{3t}\pmat{ \bruch{1}{2}c_{1} & +\bruch{1}{2}c_{2} & -\bruch{1}{2}c_{3} \\ c_{1} & +c_{2} & +c_{3} \\ c_{1} & +c_{2} }[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>  
> An dieser Stelle verstehe ich dann nicht, wie ich
> "vernünftig" auflösen kann!?
>  
> Könntet ihr mit da einen Tipp geben?
>  
> Ist meine Lösung ansonsten soweit in Ordnung?
>  
>
> Vielen Dank für eure Hilfe


Bezug
                
Bezug
Anfangswertaufgabe lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:53 So 24/06/2018
Author: Dom_89

Hallo fred97,

hier nochmal meine überarbeitete Lösung:

[mm] \lambda_{1}=\lambda_{2} [/mm] = 3  [mm] (A-\lambda_{1} E_{3}): \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
  
Mit II + 2I folgt:
  
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]

a) Sei [mm] x_{2} [/mm] = 1 [mm] \wedge x_{3} [/mm] = 0

[mm] \vec{x}_{1} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0} [/mm]

b) a) Sei [mm] x_{2} [/mm] = 0 [mm] \wedge x_{3} [/mm] = 1

[mm] \vec{x}_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]

[mm] \lambda_{3} [/mm] = -1 [mm] (A-\lambda_{3} E_{3}): \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 } [/mm]

Mit II - 2I folgt:
  
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 } [/mm]

Eigenvektor lautet dann:
  
[mm] \vec{x}_{3} [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0} [/mm]

Dann lautet die allgemeine Lösung:

y(t) = [mm] c_{1}e^{3t}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] c_{2}e^{3t}\vektor{0 \\ 0\\ 1} [/mm] + [mm] c_{3}e^{-t}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0} [/mm]

Dann noch den Anfangswert mit einbeziehen:
  
y(0) = [mm] c_{1}e^{3t}\pmat{\bruch{1}{2}c_{1} & -\bruch{1}{2}c_{3} \\ c_{1} & +c_{3} \\ c_{2} } [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm]

Dann die Werte für c bestimmt:

[mm] c_{1} [/mm] = 2
[mm] c_{2} [/mm] = 1
[mm] c_{3} [/mm] = -2

Und diese dann noch entsprechend in die Gleichung eingesetzt.


Ist das so in Ordnung ?

Vielen Dank


Bezug
                        
Bezug
Anfangswertaufgabe lösen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 17:06 So 24/06/2018
Author: fred97


> Hallo fred97,
>  
> hier nochmal meine überarbeitete Lösung:
>  
> [mm]\lambda_{1}=\lambda_{2}[/mm] = 3  [mm](A-\lambda_{1} E_{3}): \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
>    
> Mit II + 2I folgt:
>
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> a) Sei [mm]x_{2}[/mm] = 1 [mm]\wedge x_{3}[/mm] = 0
>
> [mm]\vec{x}_{1}[/mm] = [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  
> b) a) Sei [mm]x_{2}[/mm] = 0 [mm]\wedge x_{3}[/mm] = 1
>
> [mm]\vec{x}_{2}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>  
> [mm]\lambda_{3}[/mm] = -1 [mm](A-\lambda_{3} E_{3}): \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 }[/mm]
>  
> Mit II - 2I folgt:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }[/mm]
>  
> Eigenvektor lautet dann:
>
> [mm]\vec{x}_{3}[/mm] = [mm]\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Dann lautet die allgemeine Lösung:
>
> y(t) = [mm]c_{1}e^{3t}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}[/mm] +
> [mm]c_{2}e^{3t}\vektor{0 \\ 0\\ 1}[/mm] +
> [mm]c_{3}e^{-t}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Dann noch den Anfangswert mit einbeziehen:
>
> y(0) = [mm]c_{1}e^{3t}\pmat{\bruch{1}{2}c_{1} & -\bruch{1}{2}c_{3} \\ c_{1} & +c_{3} \\ c_{2} }[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>  
> Dann die Werte für c bestimmt:
>  
> [mm]c_{1}[/mm] = 2
>  [mm]c_{2}[/mm] = 1
>  [mm]c_{3}[/mm] = -2
>  
> Und diese dann noch entsprechend in die Gleichung
> eingesetzt.
>  
>
> Ist das so in Ordnung ?

Ja.


>  
> Vielen Dank
>    


Bezug
                                
Bezug
Anfangswertaufgabe lösen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 17:12 Mo 25/06/2018
Author: Dom_89

Vielen Dank für die Hilfe

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