Anfangswertaufgaben herangehen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Fr 06.07.2007 | | Autor: | niemand |
Hallo,
ich war 2 Wochen krank und muß Montag meine Übungsaufgaben abgeben und muß noch Punkte rausboxen. Nun stehen da Anfangswertaufgaben drauf, von vergangenen Semestern habe ich noch ein Script das diese umfasst.
Leider komme ich jedoch nicht so klar bei der Klassifizierung der Aufgaben.
->Also könntet ihr mir erst einmal helfen bei der Klassifizierung und "Umformung" für die rein Form.
Laut meines alten Scripts gibt es:
-Seperable Differentialgleichung
-linerare differentialgleichung homogen und inhomogen n-Grad
| Aufgabe | Berechnen Sie die Maximalelösung der A-Wert Aufgabe
Zu bestimmende Aufgaben:
1) x'(t) = [mm] -tx(t)^2 [/mm] ; x(t) [mm] \in \IR [/mm] ; x(2) = 1
2) x''(t) +2x'(t)-3x(t) = 0 ; x(t) [mm] \in \IR [/mm] ; x(0) = 0, x'(0) = 4
3) Hier ist ein System das so aussieht
x'(t) = 2x(t) + y(t)
y'(t) = x(t) + 3y(t) - z(t)
z'(t) = -x(t) +2y(t) + 3z(t)
Anfangswerte x(0)=y(0)=z(0)=1 |
So wie ich mir das denke:
zu 1) Seperable Differenzialgleichung ala y' = f(x)g(y)
da könnte man nehmen f(x) = -t aber g(y) = [mm] x(t)^2?
[/mm]
und dann den normalen Lösungsalgorithmus über Integrale verwenden aber ist das korrekt?
zu 2)
Homogene linerare Differenzialgleichung 2-Grades mit konstanten koefffizienten -> Lösung keine ahnung wie ich da rangehe
zu 3) Eulerverfahren?
Könntet ihr mir mal Tips geben mit stichworten wie ich die Gleichungen lösen kann? Verfahren oder so die man im internet suchen kann.
Mein altes Script versteh ich nicht so ganz.
Gruß, und helft mir bitte ein bisschen
Nur für Erst-Poster:
Da du eine deiner ersten Fragen in unserem Forum stellst, würden wir gerne sicher gehen, dass du wenigstens den Abschnitt zu Cross-Postings in unseren Regeln gelesen und verstanden hast.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Fr 06.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. richtig.
2. richtig erkannt. Lösungsansatz [mm] :y=eÅ*e^{\lambda*x}
[/mm]
gibt qadrat. Gl für [mm] \lambda. [/mm]
a)2 verschieden reele Lambda folgt
[mm] y=Ae^{\lambda1*x}+B*e{\lambda2*x}
[/mm]
2 Imaginäre: Asin +Bcos
2 Gleiche reelle
[mm] y=Ae^{\lambda*x}+Bxe*{\lambda*x}
[/mm]
komplex a+ib
[mm] y=e^{ax}*(Acosbx+BsinBx)
[/mm]
3. system von linearen Dgl. Lösung sieh Literatur oder wiki
Den Krempel unter deinem post sollst du esetzen und sagen, ob du noch wo anders gepostet hast!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Fr 06.07.2007 | | Autor: | niemand |
Hallo,
hab mich jetzt an Aufgabe 1 probiert.
G(x)= [mm] \integral_{1}^{y}{1/x(t)^2 dx(t)} [/mm] = -1/y + 1
F(t) = [mm] \integral_{2}^{x}{f(t) dt} [/mm] = 2 - x
G^-1(x) = 1 / (-z+1)
soh jetzt steck ich irgentwie fest, was ist da jetzt die maximale lösung?
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Hallo!
Irgendwie verstehe ich deinen Ansatz nicht so ganz. Auch deine Erklärung im ersten Beitrag ist irgendwie sehr hölzern.
Bei separablen DGLs trennt man die Variable (t) von der unbekannten Funktion (x). Und zwar möglichst so, daß man danach gut integrieren kann:
[mm] $x'=-tx^2$
[/mm]
[mm] $\frac{x'}{x^2}=-t$ [/mm] Und jetzt kann man integrieren. Denk hier an "innere Ableitung mal äußere", darauf läuft es eigentlich immer hinaus.
[mm] $\integral _{x_0}^{x(T)}\frac{x'}{x^2}=-\integral_{t_0}^{T}t$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{2}\ln(x^2(T))+C_1=-\frac{1}{2}T^2+C_2$
[/mm]
Jetzt etwas aufräumen, insbesondere die Konstanten kann man noch zusammenziehen:
[mm] $\ln(x^2(T))=-T^2+C_3$
[/mm]
Nun noch nach x(T) auflösen, und du bist fertig. Danach setzt du die Anfangsbedingung ein und berechnest so [mm] C_3. [/mm] (bzw, du wirst die Konstante evtl nochmal umschreiben können, immer so, daß sie möglichst einfach da steht)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Sa 07.07.2007 | | Autor: | niemand |
Hallo,
danke für deinen Hinweis.
Aber wie gesagt ich weiß nicht so recht mit der Materie umzugehen.
Im buch steht halt das G(x) = 1 / g(x) ist da versteh ich nicht warum du
G(x) = x' / g(x) umstellst. wernn g(x) = [mm] x(t)^2 [/mm] sein soll bzw g(x) = [mm] x^2 [/mm] für x = x(t).
So und dann
[mm] \integral _{x_0}^{x(T)}\frac{x'}{x^2}
[/mm]
bei dem Integral wie kommst du da auf die ableitung? Was ist die integrationsvariable bestimmt x oder (dx dann)?
Wenn ich es als 1 / [mm] x^2 [/mm] sehe wäre die Stammfunktion doch -1/x.
Ich weiß nicht wie ich mit dem x' darin noch umgehen soll um auf
ein derartiges ergebnis von dir zu kommen.
Wenn du mir das noch erklären könntest.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Sa 07.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Dgl war doch [mm] x'(t)=x(t)^2*t
[/mm]
also [mm] x'/x^2=t
[/mm]
links und rechts Integral:
[mm] \integral{x'/x^2}=\integral{t}
[/mm]
Wenn dir das mit dem x, was ja meist ne Variable und nicht ne Funktion ist, schreib es um x(t)=f(t)
dann
[mm] \integral{f'/f^2}=\integral{t}
[/mm]
links steht unter dem Integral (-1/f)' also ist die Stammfunktion -1/f
Man kann das auch anders schreiben:
[mm] x'=\bruch{dx}{dt}
[/mm]
dann deine Dgl:
[mm] 1/x^2*\bruch{dx}{dt}=t
[/mm]
[mm] 1/x^2 [/mm] dx = tdt
und jetzt integrieren.
Dein G(x) aus dem Buch ist wahrscheinlich genau das linke Integral.
Da jedes Buch die Methoden anders darstellt, muss du sagen, was dein Buch sagt, damit wir das verstehen.
Ich hoffe, jetzt ist es klar.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Sa 07.07.2007 | | Autor: | niemand |
Soh ich habe nun Aufgabe 2 durchgerechnet, am ende fehlt mir noch 1 Schritt zu lösung wie ich denke.
Also was habe ich getan:
x(t) = [mm] e^{\lambda*t}, x'(t)=\lambda*e^{\lambda*t}, [/mm] x''(t) = [mm] \lambda^2*e^{\lambda*t}
[/mm]
Dadurch erhält man
[mm] e^{\lambda*t}*(\lambda^2+2*\lambda-3) [/mm] = 0
Charakteristisches Polynom ist
[mm] P(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^2+2*\lambda-3
[/mm]
Und hat die Lösung für [mm] P(\lambda)=0
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = 1 ; [mm] \lambda_2 [/mm] = -3
Daraus ergibt sich das Fundamentalsystem:
[mm] e^{\lambda*t} [/mm] und [mm] t*e^{\lambda*t}
[/mm]
Wie gehts jetzt weiter, im Buch steht das sind die Lösungen?
In einem alten Beispiel wird jetzt wie folgt weiter gemacht:
x(t) = [mm] c_1 [/mm] * [mm] e^{\lambda*t} [/mm] + [mm] c_2 [/mm] *t* [mm] e^{\lambda*t}
[/mm]
x(0) = 0 als Anfangswert
x(0) = [mm] c_1 [/mm] * 1 + [mm] c_2 [/mm] * 0 * 1 = [mm] c_1 [/mm] = 0
Ergo [mm] c_1 [/mm] = 0
Nun weiter x'(0) = 4
Ergo Ableitung von x(t) bilden das ist
x'(t) = [mm] e^{\lambda*t} (c_2 [/mm] + [mm] c_2*t*\lambda)
[/mm]
[mm] x'(0)=c_2 [/mm] + 0 = 4
Somit ist
x(t) = [mm] 4*t*e^{\lambda*t}
[/mm]
und mit der Funktion stimmen auch die Anfangswerte überein.
Aber was ist nun die maximale Lösung? Falls diese rechnerei korrekt ist?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Sa 07.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also was habe ich getan:
> x(t) = [mm]e^{\lambda*t}, x'(t)=\lambda*e^{\lambda*t},[/mm] x''(t)
> = [mm]\lambda^2*e^{\lambda*t}[/mm]
> Dadurch erhält man
> [mm]e^{\lambda*t}*(\lambda^2+2*\lambda-3)[/mm] = 0
> Charakteristisches Polynom ist
> [mm]P(\lambda)[/mm] = [mm]\lambda^2+2*\lambda-3[/mm]
> Und hat die Lösung für [mm]P(\lambda)=0[/mm]
> [mm]\lambda_1[/mm] = 1 ; [mm]\lambda_2[/mm] = -3
>
> Daraus ergibt sich das Fundamentalsystem:
> [mm]e^{\lambda*t}[/mm] und [mm]t*e^{\lambda*t}[/mm]
falsch, das würde gelten wenn das Polynom nur EINE lösung hat. für 2 verschieden sieh nochmal in meinen ersten post, da waren leider "Druckfehler" die ich jetzt berichtigt hab.
> Wie gehts jetzt weiter, im Buch steht das sind die
> Lösungen?
Nein, siehe oben, das muss auch im Buch so stehen!
Also musst du die Bestimmung der C neu machen.
Was dein Prof als "Maximallösung" versteht weiss ich nicht, die allgemeine Lösung ist die mit den 2 allgemeinen Konstanten.(wahrscheinlich meint er die, aber vielleicht habt ihr auch ein Beispiel. zu dem Anfangswert gibt es nur eine Lösung, also ist das zu dem Anfangswert auch deie maximale.
>
> In einem alten Beispiel wird jetzt wie folgt weiter
> gemacht:
> x(t) = [mm]c_1[/mm] * [mm]e^{\lambda*t}[/mm] + [mm]c_2[/mm] *t* [mm]e^{\lambda*t}[/mm]
> x(0) = 0 als Anfangswert
> x(0) = [mm]c_1[/mm] * 1 + [mm]c_2[/mm] * 0 * 1 = [mm]c_1[/mm] = 0
> Ergo [mm]c_1[/mm] = 0
> Nun weiter x'(0) = 4
> Ergo Ableitung von x(t) bilden das ist
> x'(t) = [mm]e^{\lambda*t} (c_2[/mm] + [mm]c_2*t*\lambda)[/mm]
> [mm]x'(0)=c_2[/mm] + 0 = 4
>
> Somit ist
> x(t) = [mm]4*t*e^{\lambda*t}[/mm]
> und mit der Funktion stimmen auch die Anfangswerte
> überein.
> Aber was ist nun die maximale Lösung? Falls diese
> rechnerei korrekt ist?
Die Art der Rechnerei ist so in Ordnung, nur deine Lösg, der Dgl. nicht.
Am Ende die Lösg. immer in die Dgl. einsetzen, dann siehst du ,dass deine falsch ist.
Gruss leduart
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