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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:57 Mi 09.08.2006 | | Autor: | ClaudiV |
| Aufgabe | Die Geschwindigkeit eines Partikels in einem viskosen Medium (z.B. Aerosol in Luft) wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben: [mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] = g-r*v wobei g die Gravitationskonstante und r den Reibungskoeffizienten des Partikels bedeuten.
a) Lösen Sie diese Differentialgleichung für die Anfangsbedingung v(t=0) = 0
b) Geben Sie die asymptotische Endgeschwindigkeit an.
c) Zeigen SIe durch Reihenentwicklung der Exponentialfunktion (tritt in der Lösung der DGL auf), dass im Fall vernachlässigbarer Reibung v = gt gilt. |
Hallo,
ich hoffe ihr könnt mir helfen. Wir sind mit keine Ahnung wie vielen Leuten besonders an Aufgabenteil c) verzweifelt.
Also ich probier es mal so weit wir es haben:
Der Lösungsansatz für a) müsste die Variation der Konstanten sein.
[mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] + r*v = g Dies ist eine inhomogene Gleichung. Zur Homogenisierung setzt man g = 0
[mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] + r*v = 0
[mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] = -r*v
[mm] \bruch{dv}{v} [/mm] = -r*dt
[mm] \integral {\bruch{dv}{v}} [/mm] = [mm] \integral [/mm] {-r*dt}
ln (v) = -r*t+c
v = [mm] e^{-rt}*c(t)
[/mm]
Nun wird dies mit der Produktregel abgeleitet um es dann in die inhomogene Anfangsgleichung einzusetzen.
[mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] = [mm] e^{-rt}*c(t) [/mm] + [mm] e^{-rt}c'(t)
[/mm]
g = [mm] e^{-rt}(-r) [/mm] c(t) + [mm] e^{-rt}c'(t) [/mm] + [mm] e^{-rt} [/mm] r c(t)
c'(t) = [mm] e^{rt}g
[/mm]
c(t) = [mm] \integral {e^{rt}g dt} [/mm] = [mm] \bruch{g}{r} e^{rt}+d [/mm]
Das wird nun in die allgemeine homogene Lösung eingesetzt:
v = [mm] e^{-rt}* (\bruch{g}{r} e^{rt} [/mm] + d) = [mm] \bruch{g}{r} +d*e^{-rt}
[/mm]
Anfangsbedingung v(t=0)=0
v(0) = [mm] \bruch{g}{r}+d*e^{-r*0} [/mm]
d = [mm] -\bruch{g}{r}
[/mm]
das wird wieder in die allgemeine inhomogene Lösung eingesetzt:
v = [mm] \bruch{g}{r}-\bruch{g}{r}*e^{-rt} [/mm] = [mm] \bruch{g}{r} (1-e^{-rt})
[/mm]
Hm soooo stimmt das erstmal bis hier?
Dann komm ich mal zu b)
Hm irgendwie kommt egal welche Zahl ich in der e-Funktion für die Zeit eintippe immer das raus was ich grad als Konstante [mm] \bruch{g}{r} [/mm] eingesetzt hatte. Kann das sein?
Und nun kommt der absolut krasse Aufgabenteil c)
Hm also ich muss zugeben, dass ich hier nicht mal mit einem Lösungsansatz dienen kann.
Also ich weiß nur, dass die Taylorentwicklung von
[mm] e^{x} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}
[/mm]
aber ich hab wirklich absolut keine Ahnung wie man das hier anwenden soll. Also wie dabei jemals v = gt rauskommen soll. Seit gestern überlegen wir schon wie das gehen soll und keiner hat eine Idee. Es wär total super wenn uns jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Chao chao Claudia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Mi 09.08.2006 | | Autor: | volta |
Hallo Claudia,
die Herleitung der Lösung ist ganz ok (normalerweise nimmt man die Integrationskonstante bei der Varation der Konstanten nicht mit sondern die allg. Lösung der DGL ergibt sich aus der Summe der Lösung der homogenen DGL und einer speziellen Lsg. der inhomogenen DGL)
> Die Geschwindigkeit eines Partikels in einem viskosen
> Medium (z.B. Aerosol in Luft) wird durch folgende
> Differentialgleichung beschrieben: [mm]\bruch{dv}{dt}[/mm] = g-r*v
> wobei g die Gravitationskonstante und r den
> Reibungskoeffizienten des Partikels bedeuten.
> a) Lösen Sie diese Differentialgleichung für die
> Anfangsbedingung v(t=0) = 0
> b) Geben Sie die asymptotische Endgeschwindigkeit an.
> c) Zeigen SIe durch Reihenentwicklung der
> Exponentialfunktion (tritt in der Lösung der DGL auf), dass
> im Fall vernachlässigbarer Reibung v = gt gilt.
> Hallo,
> ich hoffe ihr könnt mir helfen. Wir sind mit keine Ahnung
> wie vielen Leuten besonders an Aufgabenteil c)
> verzweifelt.
> Also ich probier es mal so weit wir es haben:
> Der Lösungsansatz für a) müsste die Variation der
> Konstanten sein.
> [mm]\bruch{dv}{dt}[/mm] + r*v = g Dies ist eine inhomogene
> Gleichung. Zur Homogenisierung setzt man g = 0
> [mm]\bruch{dv}{dt}[/mm] + r*v = 0
> [mm]\bruch{dv}{dt}[/mm] = -r*v
> [mm]\bruch{dv}{v}[/mm] = -r*dt
> [mm]\integral {\bruch{dv}{v}}[/mm] = [mm]\integral[/mm] {-r*dt}
> ln (v) = -r*t+c
> v = [mm]e^{-rt}*c(t)[/mm]
> Nun wird dies mit der Produktregel abgeleitet um es dann
> in die inhomogene Anfangsgleichung einzusetzen.
Hier fehlt ein -r bei der ersten Ableitung, steht dann aber richtig in der nächsten Zeile.
> [mm]\bruch{dv}{dt}[/mm] = [mm]e^{-rt}*c(t)[/mm] + [mm]e^{-rt}c'(t)[/mm]
> g = [mm]e^{-rt}(-r)[/mm] c(t) + [mm]e^{-rt}c'(t)[/mm] + [mm]e^{-rt}[/mm] r c(t)
> c'(t) = [mm]e^{rt}g[/mm]
> c(t) = [mm]\integral {e^{rt}g dt}[/mm] = [mm]\bruch{g}{r} e^{rt}+d[/mm]
> Das wird nun in die allgemeine homogene Lösung eingesetzt:
> v = [mm]e^{-rt}* (\bruch{g}{r} e^{rt}[/mm] + d) = [mm]\bruch{g}{r} +d*e^{-rt}[/mm]
>
> Anfangsbedingung v(t=0)=0
> v(0) = [mm]\bruch{g}{r}+d*e^{-r*0}[/mm]
> d = [mm]-\bruch{g}{r}[/mm]
> das wird wieder in die allgemeine inhomogene Lösung
> eingesetzt:
> v = [mm]\bruch{g}{r}-\bruch{g}{r}*e^{-rt}[/mm] = [mm]\bruch{g}{r} (1-e^{-rt})[/mm]
>
> Hm soooo stimmt das erstmal bis hier?
> Dann komm ich mal zu b)
> Hm irgendwie kommt egal welche Zahl ich in der e-Funktion
> für die Zeit eintippe immer das raus was ich grad als
> Konstante [mm]\bruch{g}{r}[/mm] eingesetzt hatte. Kann das sein?
> Und nun kommt der absolut krasse Aufgabenteil c)
> Hm also ich muss zugeben, dass ich hier nicht mal mit
> einem Lösungsansatz dienen kann.
> Also ich weiß nur, dass die Taylorentwicklung von
> [mm]e^{x}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
> aber ich
> hab wirklich absolut keine Ahnung wie man das hier anwenden
> soll. Also wie dabei jemals v = gt rauskommen soll. Seit
> gestern überlegen wir schon wie das gehen soll und keiner
> hat eine Idee. Es wär total super wenn uns jemand auf die
> Sprünge helfen könnte.
> Chao chao Claudia
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Nun die Taylorentwicklung ergibt sich dann ganz einfach:
$v(t) = [mm] \bruch{g}{r} [/mm] (1 - 1 + rt - [mm] \bruch{r^{2} t^{2}}{2} [/mm] + ...)$
Bei kleinem r kann man bei rt abbrechen und es ergibt sich $v(t) = [mm] \bruch{g}{r} [/mm] * r * t = g * t$
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