Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Sa 01.08.2009 | | Autor: | tony90 |
| Aufgabe | Folgende von t abhängige DGL ist gegeben:
[mm] \1u''(t)-2u'(t)+u(t)=e^t
[/mm]
mit u(0)=0 und u'(0)=0 |
Hallo,
habe den Ansatz [mm] u0=(C_{1}+C_{2}*t)*e^t [/mm] gewählt, da hier eine doppelte Nullstelle vorliegt.
ergibt bei mir 2 gleichungen:
[mm] \10=C_{1}'*e^t+C_{2}'*t*e^t
[/mm]
[mm] \1e^t=C_{1}'*e^t+C_{2}'*t*e^t+C_{2}'*e^t
[/mm]
wenn ich das auflöse und integriere komm ich auf:
[mm] C_{1}=ln(|t-1|)+t+K_{1}
[/mm]
[mm] C_{2}=ln(|\bruch{1}{t-1}|)+K_{2}
[/mm]
Die Konstanten bestimme ich aus den Anfangswerten:
[mm] K_{1}=0
[/mm]
[mm] K_{2}=3
[/mm]
Ergibt die Lösung
[mm] \1u(t)=(ln(|t-1|)+t+t*ln(|\bruch{1}{t-1}|)+3t)*e^t
[/mm]
was leider ungleich meiner musterlösung:
[mm] u(t)=(3*t+\bruch{1}{2}*t^2)*e^t [/mm] ist.
kann mir jemand sagen wo ich meinen fehler habe?
vielen dank
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Hallo tony90,
> Folgende von t abhängige DGL ist gegeben:
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> [mm]\1u''(t)-2u'(t)+u(t)=e^t[/mm]
>
> mit u(0)=0 und u'(0)=0
> Hallo,
>
> habe den Ansatz [mm]u0=(C_{1}+C_{2}*t)*e^t[/mm] gewählt, da hier
> eine doppelte Nullstelle vorliegt.
Obigen Ansatz wählst Du, wenn 1 eine einfache Nullstelle
der charakterischen Gleichung ist.
Die Nullstelle 1 ist hier doppelt, daher lautet der Ansatz:
[mm]u_{0}=\left(C_{0}+C_{1}*t+C_{2}*t^{2}\right)*e^{t}[/mm]
Hier reicht ja auch schon der Ansatz: [mm]u_{0}=C_{2}*t^{2}*e^{t}[/mm],
da [mm]e_{t}[/mm] und [mm]t*e^{t}[/mm] Lösungen der homogen DGL sind.
>
> ergibt bei mir 2 gleichungen:
>
> [mm]\10=C_{1}'*e^t+C_{2}'*t*e^t[/mm]
>
> [mm]\1e^t=C_{1}'*e^t+C_{2}'*t*e^t+C_{2}'*e^t[/mm]
>
> wenn ich das auflöse und integriere komm ich auf:
>
> [mm]C_{1}=ln(|t-1|)+t+K_{1}[/mm]
>
> [mm]C_{2}=ln(|\bruch{1}{t-1}|)+K_{2}[/mm]
>
> Die Konstanten bestimme ich aus den Anfangswerten:
>
> [mm]K_{1}=0[/mm]
> [mm]K_{2}=3[/mm]
>
>
> Ergibt die Lösung
>
> [mm]\1u(t)=(ln(|t-1|)+t+t*ln(|\bruch{1}{t-1}|)+3t)*e^t[/mm]
>
>
> was leider ungleich meiner musterlösung:
>
> [mm]u(t)=(3*t+\bruch{1}{2}*t^2)*e^t[/mm] ist.
>
Diese Lösung passt nicht zu den Anfangsbedingungen.
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> kann mir jemand sagen wo ich meinen fehler habe?
>
>
> vielen dank
>
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Sa 01.08.2009 | | Autor: | tony90 |
mhhh ja leuchtet mir ein,... dann kann das ergebnis natürlich nicht stimmen.
aber dazu eine direkte frage:
in meinem skript steht für folgende DGL:
[mm] \1y'''(x)+6y''(x)+12y'(x)+8y(x)=0 [/mm]
der folgende Ansatz: (Nullstelle ist dreimal -2!)
Fundamentalsystem:
[mm] {e^{-2x},x*e^{-2x},x^2*e^{-2x}}
[/mm]
und [mm] y(x)=(C_{1}+xC_{2}+x^2C_{3})*e^{-2x}
[/mm]
kannst du mir das vielleicht erklären warum der ansatz dann hier so ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:23 So 02.08.2009 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Das zweite, also die Dgl dritten grades ist ja homogen, also hast du bei 3 facher Nullstelle einfach die loesung ohne jede Variation der Konstanten.
Im ersten Fall hast du ne inhomogene Dgl, loest erst die homogene, dann durch den ansatz oder Variation der Konstanten die inhomogene.
Wenn rechts noch der inhomogene Teil e^{-2x} stuende, braeuchtest du den ansatz C_4*x^3*e^{-2x) uum die inhomogene zu loesen.
Gruss leduart
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