Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 So 05.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem
[mm] y'=\pmat{3 & 2 \\ -5 & 1}y, y(0)=\pmat{2 \\ 2}. [/mm] |
[Meine Frage steht ganz unten:]
Also, es handelt sich um ein homogenes Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
1.) Bestimmung des char. Polynoms [mm] \chi_{A}(x):
[/mm]
Ich erhalte: [mm] \chi_{A}(x)=x^2-4x+13
[/mm]
Eigenwerte (komplex):
[mm] \lambda_1=2-3i
[/mm]
[mm] \lambda_2=2+3i
[/mm]
zugehörige Eigenvektoren:
[mm] zu\lambda_1:\pmat{2 & -1-3i}^{T}
[/mm]
[mm] zu\lambda_2:\pmat{2 & -1+3i}^{T} [/mm]
Das System
[mm] y_1'=3y_1+2y_2
[/mm]
[mm] y_2'=-5y_1+y_2
[/mm]
hat daher die allgemeine Lösung
[mm] y(t)=c_1e^{(2+3i)t}\pmat{2 \\ -1+3i}+c_2e^{(2-3i)t}\pmat{2 \\ -1-3i} [/mm] mit [mm] c_1,c_2 \in \IC.
[/mm]
[Die Transformationsmatrix T (also: [mm] T^{-1}AT=J, [/mm] wobei J die Jordanform der Koeffizientenmatrix A bezeichnet) lautet
[mm] T=\pmat{2 & 2 \\ -1+3i & -1-3i}.]
[/mm]
Wie löse ich jetzt das Anfangswertproblem? (Ich muss ja spezielle [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] bestimmen...)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 So 05.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] $\vektor{2 \\ 2}=c_1e^{(2+3i)0}\pmat{2 \\ -1+3i}+c_2e^{(2-3i)0}\pmat{2 \\ -1-3i} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 So 05.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Man muss also das Gleichungssystem
[mm] \pmat{2 & 2 \\ -1+3i & -1-3i}\pmat{c_1 \\ c_2}=\pmat{2 \\ 2} [/mm] lösen.
Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch.
Ich komme auf keine Lösung. |
Hab ich mich vllt verrechnet?...
Kann mir jemand helfen hierfür eine Lösung zu finden?
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Hallo dennis2,
> Man muss also das Gleichungssystem
>
> [mm]\pmat{2 & 2 \\ -1+3i & -1-3i}\pmat{c_1 \\ c_2}=\pmat{2 \\ 2}[/mm]
> lösen.
>
> Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch.
> Ich komme auf keine Lösung.
>
>
> Hab ich mich vllt verrechnet?...
Es stimmt, daß obiges Gleichungssystem zu lösen ist.
> Kann mir jemand helfen hierfür eine Lösung zu finden?
>
Entweder Du nimmst die Inverse der Matrix
[mm]\pmat{2 & 2 \\ -1+3i & -1-3i}[/mm]
und multiplizierst sie mit [mm]\pmat{2 \\ 2}[/mm]
oder Du löst das Gleichungssystem
[mm]2*c_{1}+2*c_{2}=2[/mm]
[mm]\left(3i-1\right)*c_{1}-\left(3i+1\right)*c_{2}=2[/mm]
mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 So 05.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe die inverse Matrix gebildet, diese lautet
[mm] M:=\pmat{\bruch{1}{4}-\bruch{1}{12}i & -\bruch{1}{6}i \\
\bruch{1}{4}+\bruch{1}{12}i & \bruch{1}{6}i}.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] M\pmat{2 \\ 2}=\pmat{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}i \\ \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}i}
[/mm]
D.h. für das AWP:
[mm] c_1=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}i
[/mm]
[mm] c_2=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}i
[/mm]
[Diese Werte setzt man jetzt noch in die allgemeine Lösung ein und erhält dann die Lösung für das gestellte AWP.]
Danke, fred97 und danke, MathePower. Wieder eine große Hilfe von Euch!
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