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| Aufgabe | Lösen Sie folgende Anfangswertprobleme mit Hilfe der Laplace-Transformation:
y''+2y'+10y = H(t−1) und y(0) = y'(0) = 0, wobei H(t) = 0 für t < 0 und H(t) = 1
für t [mm] \ge [/mm] 0 |
Hallo,
Ich habe zuerst die Heaviside-Funktion transformiert.
und bekomme [mm] \bruch{1}{s} [/mm] heraus. Dannach habe ich den Verschiebungssatz angewandt. [mm] f(t-a)=e^{-a*s}*F(s)
[/mm]
somit komme ich auf [mm] \bruch{e^{-s}}{s}
[/mm]
Den Linken Teil der Gleichung nach F(s) aufgelöst ergibt:
[mm] F(s)*(s^2+2*s+10). [/mm] Der rückzutransformierende Term lautet somit:
[mm] e^{-s}*(\bruch{1}{s*(s^2+2*s+10)}
[/mm]
Leider komme ich nicht auf einen geeignete Faktorisierung des Nenners.
Ich habe an [mm] (s+1)^2+9 [/mm] gedacht da ich dann einen ähnlichen Ausdruck wie für [mm] e^{b*t}*sinh(at) [/mm] erhalten würde.
wäre toll wenn mir jemand bei der Lösung des Problems helfen könnte.
mfg DoubleHelix
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Hallo DoubleHelix,
> Lösen Sie folgende Anfangswertprobleme mit Hilfe der
> Laplace-Transformation:
> y''+2y'+10y = H(t−1) und y(0) = y'(0) = 0, wobei H(t) =
> 0 für t < 0 und H(t) = 1
> für t [mm]\ge[/mm] 0
> Hallo,
> Ich habe zuerst die Heaviside-Funktion transformiert.
> und bekomme [mm]\bruch{1}{s}[/mm] heraus. Dannach habe ich den
> Verschiebungssatz angewandt. [mm]f(t-a)=e^{-a*s}*F(s)[/mm]
> somit komme ich auf [mm]\bruch{e^{-s}}{s}[/mm]
> Den Linken Teil der Gleichung nach F(s) aufgelöst
> ergibt:
> [mm]F(s)*(s^2+2*s+10).[/mm] Der rückzutransformierende Term lautet
> somit:
> [mm]e^{-s}*(\bruch{1}{s*(s^2+2*s+10)}[/mm]
>
> Leider komme ich nicht auf einen geeignete Faktorisierung
> des Nenners.
> Ich habe an [mm](s+1)^2+9[/mm] gedacht da ich dann einen ähnlichen
> Ausdruck wie für [mm]e^{b*t}*sinh(at)[/mm] erhalten würde.
Zerlege zunächst
[mm]\bruch{1}{s*(s^2+2*s+10)}=\bruch{A}{s}+\bruch{B*s+C}{s^2+2*s+10}[/mm]
> wäre toll wenn mir jemand bei der Lösung des Problems
> helfen könnte.
>
> mfg DoubleHelix
Gruss
MathePower
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Hallo,
Vielen Dank für deine Antwort!
Ich habe sie PBZ durchgeführt und komme auf:
[mm] \bruch{1}{10}*\bruch{1}{s}-\bruch{1}{10}*\bruch{s}{s^2+2*s+10}-\bruch{1}{5}*\bruch{1}{s^2+2*s+10}.
[/mm]
Jetzt habe ich wieder den charakteristischen Term [mm] s^2+2*s+10, [/mm] bei dem ich einfach nicht auf die richtige Rücktransformation komme...
mfg
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Hallo DoubleHelix,
> Hallo,
> Vielen Dank für deine Antwort!
> Ich habe sie PBZ durchgeführt und komme auf:
>
> [mm]\bruch{1}{10}*\bruch{1}{s}-\bruch{1}{10}*\bruch{s}{s^2+2*s+10}-\bruch{1}{5}*\bruch{1}{s^2+2*s+10}.[/mm]
>
> Jetzt habe ich wieder den charakteristischen Term
> [mm]s^2+2*s+10,[/mm] bei dem ich einfach nicht auf die richtige
> Rücktransformation komme...
>
Du kennst wahrscheinlich die Rücktransformationen von
[mm]\bruch{a}{s^{2}+a^{2}}, \ \bruch{s}{s^{2}+a^{2}}[/mm]
Um die Rücktransformation von [mm]\bruch{1}{\left(s+1\right)^{2}+9}[/mm] zu ermitteln,
ist der Dämpfungssatz zu verwenden.
> mfg
Gruss
MathePower
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Hallo,
nach Anwendung des Dämpfungssatzes kommt man auf:
[mm] \bruch{1}{10}*H(t)-e^{-t}*(\bruch{1}{10}*cos(3*t)-\bruch{1}{15}*sin(3*t)).
[/mm]
Wenn man Jetzt noch die Verschiebung durch den Ausdruck [mm] e^{-s} [/mm] berücksichtigt kommt man auf:
[mm] \bruch{1}{10}*H(t-1)-e^{-t-1}*(\bruch{1}{10}*cos(3*t-1)-\bruch{1}{15}*sin(3*t-1))
[/mm]
stimmt das so?
mfg
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Hallo DoubleHelix,
> Hallo,
> nach Anwendung des Dämpfungssatzes kommt man auf:
>
> [mm]\bruch{1}{10}*H(t)-e^{-t}*(\bruch{1}{10}*cos(3*t)-\bruch{1}{15}*sin(3*t)).[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]\bruch{1}{10}*H(t)-e^{-t}*(\bruch{1}{10}*cos(3*t)\blue{+}\bruch{1}{\red{30}}*sin(3*t)).[/mm]
> Wenn man Jetzt noch die Verschiebung durch den Ausdruck
> [mm]e^{-s}[/mm] berücksichtigt kommt man auf:
>
> [mm]\bruch{1}{10}*H(t-1)-e^{-t-1}*(\bruch{1}{10}*cos(3*t-1)-\bruch{1}{15}*sin(3*t-1))[/mm]
>
Hier hast Du ein paar Klammern vergessen:
[mm]\bruch{1}{10}*H(t-1)-e^{-t-1}*(\bruch{1}{10}*cos(3*\left\blue{(}t-1\right\blue{)} \ )\blue{+}\bruch{1}{\red{30}}*sin(3*\left\blue{(}t-1\right\blue{)} \))[/mm]
> stimmt das so?
>
> mfg
Gruss
MathePower
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