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| Aufgabe | Berechne für [mm] x_{0},y_{0} \in [/mm] IR eine Lösung des folgenden AWP auf einer kleinen Umgebung um [mm] x_{0}:
[/mm]
y´=cos(x)exp(y) auf IR [mm] \times [/mm] IR, [mm] y(x_{0})=y_{0}
[/mm]
Bestimme im Fall [mm] y_{0}=0 [/mm] das maximale Existenzintervall dieser Lösung in Abhängigkeit von [mm] x_{0} [/mm] explizit. |
Ich habe versuch dieses Problem mit Trennung des Variablen zu lösen:
y´=cos(x)exp(y)
[mm] \bruch{dy}{dx}= [/mm] cos(x)exp(y)
[mm] \bruch{1}{e^y} [/mm] dy= cos(x) dx
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{e^y} dy}=\integral_{}^{}{cos(x) dx}
[/mm]
[mm] -e^{-y}+c_{1}=sin(x)+c_{2} -c_{1}+c_{2}=c
[/mm]
y= -ln(-sin(x)+c)
[mm] y(x_{0})=-ln(-sin(x_{0})+c)
[/mm]
max. Existenzintervall:
[mm] -ln(-sin(x_{0})+c)=0
[/mm]
[mm] -sin(x_{0})+c=1
[/mm]
c= [mm] 1+sin(x_{0})
[/mm]
Bis hier hin bin ich gekommen, aber ich weiß nicht weiter und was mit Existenintervall gemeint ist, ist mir auch nicht klar. Stimmt das was ich habe? und wie muss ich weiter machen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Sa 26.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
heißt das wirklich
cos(x)*exp(x)
oder nicht eher
cos(x)*exp(y)?
Weiter unten hast du es in der zweiten Version verwendet, es würde so auch vile mehr Sinn ergeben, aber könntest du das noch klarstellen?
Gruß, Diophant
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Ja stimmt, es sollte cos(x)*exp(y) heißen.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Sa 26.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Berechne für [mm]x_{0},y_{0} \in[/mm] IR eine Lösung des folgenden
> AWP auf einer kleinen Umgebung um [mm]x_{0}:[/mm]
> y´=cos(x)exp(y) auf IR [mm]\times[/mm] IR, [mm]y(x_{0})=y_{0}[/mm]
>
> Bestimme im Fall [mm]y_{0}=0[/mm] das maximale Existenzintervall
> dieser Lösung in Abhängigkeit von [mm]x_{0}[/mm] explizit.
>
> Ich habe versuch dieses Problem mit Trennung des Variablen
> zu lösen:
>
> y´=cos(x)exp(y)
> [mm]\bruch{dy}{dx}=[/mm] cos(x)exp(y)
> [mm]\bruch{1}{e^y}[/mm] dy= cos(x) dx
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{e^y} dy}=\integral_{}^{}{cos(x) dx}[/mm]
>
> [mm]-e^{-y}+c_{1}=sin(x)+c_{2} -c_{1}+c_{2}=c[/mm]
>
> y= -ln(-sin(x)+c)
> [mm]y(x_{0})=-ln(-sin(x_{0})+c)[/mm]
>
> max. Existenzintervall:
> [mm]-ln(-sin(x_{0})+c)=0[/mm]
> [mm]-sin(x_{0})+c=1[/mm]
> c= [mm]1+sin(x_{0})[/mm]
>
> Bis hier hin bin ich gekommen, aber ich weiß nicht weiter
> und was mit Existenintervall gemeint ist, ist mir auch
> nicht klar. Stimmt das was ich habe? und wie muss ich
> weiter machen?
Hallo looney_tune,
Die Lösung hast Du richtig bestimmt. Nun ist $y(x)$ genau dann definiert, wenn $c - [mm] \sin [/mm] x >0$ ist.
Das maximale Existenzintervall ist daher das größte Intervall $I$, so daß [mm] $1+\sin x_0 [/mm] - [mm] \sin [/mm] x > 0$ für alle [mm] $x\in I\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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Hallo,
vielen Dank. Ist dann die Aufgabe fertig?
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Hallo looney_tune,
> Hallo,
>
> vielen Dank. Ist dann die Aufgabe fertig?
Ja.
Gruss
MathePower
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