Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Mo 25.02.2013 | | Autor: | minmath |
| Aufgabe | Sei das AWP gegeben durch
[mm] y'(t)=e^{y(t)^2} [/mm] , y(0)=a mit [mm] a\in\IR
[/mm]
Bestimme alle a, für die das Anfangswertproblem genau eine Lösung besitzt |
Hallo!
Ich habe hier ein Problem mit der Aufgabe, aber eigentlich habe ich generell Probleme beim zeigen von Lösbarkeit.
Bei dieser Aufgabe habe ich mir gedacht, dass ich den Satz von Picard-Lindelöf benutze. Hier müsste ich aber zeigen, dass [mm] e^{y(t)^2} [/mm] einer (lokalen) Lipschitzbedingung genügt. Das bekomme ich grad nicht hin.
Meine Frage ist jetzt bin ich mit Satz von Picard-Lindelöf auf dem richtigen weg?
Viele Grüße und Danke im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
EDIT: Tut mir leid, die Aufgabe war falsch gestellt, ich bin beim abtippen in der Zeile verrutscht.Ich habe es nun verbessert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Mo 25.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Der Satz von Peano reicht !
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Peano
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Mo 25.02.2013 | | Autor: | minmath |
Hallo und danke für deine schnelle Antwort.
Leider habe ich mich beim abschreiben vertan. Ich habe es nun verbessert. Tut mir leid.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Di 26.02.2013 | | Autor: | minmath |
Hallo
Ich hatte mich am Anfang vertippt und habe es ausgebessert und diese Frage als unbeantwortet markiert. Aber irgendwie wurde sie wieder als "beantwortet"markiert. Deswegen bekomme ich keine Antworten mehr.
Grüße minmath
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Hallo,
Mit dem Satz von Picard-Lindelöf kannst du Eindeutigkeit und Existenz einer Lösung beweisen.
Du hast eine DGL der Form $y'(t) = f(t,y)$
mit $f(t,y) = [mm] e^{y^2}$. [/mm] Du musst nun also nachprüfen, ob es eine Umgebung von $(0,a)$ gibt auf der
[mm] $||f(t,y_1) [/mm] - [mm] f(t,y_2)|| \le [/mm] L [mm] \cdot ||y_1 [/mm] - [mm] y_2||$
[/mm]
gilt. Der Nachweis dürfte dir ohne weiteres gelingen, wenn du bedenkst, dass die Ableitung von f nach y auf kompakten Intervallen beschränkt ist.
Eindeutigkeit der Lösung dürftest du also ohne weiteres bekommen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Di 26.02.2013 | | Autor: | minmath |
Ahh nun fällte der Groschen.
Ja an den Mittelwertsatz denke ich nie, sollte ich vielleicht mal ändern.
Also, dann ergibt sich als Lipschitzkonstante [mm] 2*y'(t)*y(t)e^{y(t)^2}
[/mm]
Welche überall diffiniert ist. Somit existiert für alle (0,a) aus [mm] \IR \times \IR [/mm] eine Umgebung in der Das AWP eindeutig lösbar ist. Somit hat das AWP für alle [mm] a\in\IR [/mm] lokal eine Lösung.
Das ist zwar so einbischen knapp,aber ich denkeso ist es richtig, oder?
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Hallo,
> Ahh nun fällte der Groschen.
> Ja an den Mittelwertsatz denke ich nie, sollte ich
> vielleicht mal ändern.
Mittelwertsatz ist ein gutes Stichwort.
Wir wissen (wenn f nach y differenzierbar ist und [mm] $\xi$ [/mm] zwischen [mm] $y_1$ [/mm] und [mm] $y_2$):
[/mm]
[mm] $\frac{f(t,y_1)-f(t,y_2)}{y_1 - y_2} [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial y}f(t,\xi)$
[/mm]
Also
[mm] $||f(t,y_1) [/mm] - [mm] f(t,y_2)|| \le \sup_{\xi \in (y_1, y_2)} \left|\frac{\partial}{\partial y}f(t,\xi)\right| \cdot ||y_1 [/mm] - [mm] y_2||$ [/mm] (*)
Das heißt, die Lipschitzkonstante ergibt sich als Maximum der Ableitung nach y !
> Also, dann ergibt sich als Lipschitzkonstante
> [mm]2*y'(t)*y(t)e^{y(t)^2}[/mm]
> Welche überall diffiniert ist.
Das funktioniert nicht. Die Lipschitzkonstante muss eine Zahl sein, unabhängig von t und y!
Mit der Ableitung liegst du fast richtig. Nur musst du eben wirklich nach y ableiten, hier ist also:
[mm] $|\frac{\partial}{\partial y}f(t,y)| [/mm] = [mm] |2y\cdot e^{y^2}|$.
[/mm]
Das ist eine stetige Funktion, deswegen nimmt sie z.B. auf $(t,y) [mm] \in \IR \times [/mm] [a-1,a+1]$ sicher ein Maximum $L$ an. (beachte $y(0) = a$).
Dieses L kannst du als Lipschitz-Konstante wählen. Dann gilt mit (*) für alle [mm] $y_1,y_2 \in [/mm] U := [mm] \IR \times [/mm] (a-1,a+1)$ (DAS ist die gesuchte Umgebung U von (0,a)):
[mm] $||f(t,y_1) [/mm] - [mm] f(t,y_2)|| \le [/mm] L [mm] \cdot ||y_1-y_2||.$
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Di 12.03.2013 | | Autor: | minmath |
Ich merke gerade, dass ich noch gar nicht geantwortet habe.
Aber deine Antwort war sehr gut und ausführlich, das hat mir sehr weiter geholfen.
Vielen Dank :)
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