Anfangswertproblem homogen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:23 Do 13.01.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | a) y' = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2} [/mm] y
Bestimmen sie das normierte Fundamentalsystem
b) y'= [mm] \pmat{ -2 & 1 \\ 1 & -2 } [/mm] y
Bestimmen sie die allg. Lösung des homog. Systems |
Nun geht es mir hauptsächlich darum den richtigen Ansatz zu finden:
a) Hier z.B. wurde [mm] V_1= \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 }^T, V_2= \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 }^T, V_3= \pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 }^T, V_4= \pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 }^T [/mm] gewählt.
Nun habe ich:
A * [mm] V_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 }^T [/mm] lin. abhängig [mm] \lambda_1 [/mm] = 2 [mm] f_1(x) [/mm] = [mm] e^{2x} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0}^T
[/mm]
A * [mm] V_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 0 }^T
[/mm]
[mm] A^2 [/mm] * [mm] V_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 4 & 4 & 0 & 0 }^T
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & v \\ 1 & 2 & 0 & 0 & Av \\ 0 & 0 & 0 & 0 & A^2v - 4Av + 4 v }
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] = 2 doppelt
M(x) = [mm] \pmat{ e^{2x} & x e^{2x} \\ 2e^{2x} & x e^{2x}+2x e^{2x} }
[/mm]
.....
[mm] f_2(x) [/mm] = [mm] \pmat{ e^{2x} \\ x*e^{2x} \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Und so weiter...
bei b) hingegen
wurden die Eigenwerte der Matrix [mm] \pmat{ -2 & 1 \\ 1 & -2 } [/mm] ausgerechnet..dazu die Eigenvektoren und dann in
f(x) = V1 * [mm] e^{\lambda_1x} *C_1(x).....
[/mm]
Ich habe auch mal den jeweiligen Ansatz bei der anderen Aufgabe versucht und dann kommt etwas anderes heraus.
Das bedeutet ja, ich muss auf irgendetas spezielles achten, wie ich vorgehe.
Wenn ich nun nur y'= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] y gegeben habe.
Muss ich dann wie in a) mir eigene Vektoren aufstellen oder wie in b) die Eigenwerte berechnen und Eigenvektoren der Matrix.
Vielen Dank
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hallo zocca21,
Kannst du mal deine Berechnungen posten...
Eigentlich kommt dasselbe raus (hab's auch bei a) mal angefangen).
Der einzige Unterschied könnten Vorfaktoren sein, da du praktisch noch von Startwerten ausgehen musst. Dies bestimmt zusätzlich die von dir zu wählenden Eigenvektoren...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Fr 14.01.2011 | | Autor: | zocca21 |
b) Ich habe nun die b auch mal mit der anderen Methode gerechnet: [mm] v_1= \pmat{ 1 \\ 0 } v_2= \pmat{ 0 \\ 1 }
[/mm]
A*v = [mm] \pmat{ -2 & 1 \\ 1 & -2 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 \\ 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ -2 \\ 1 } [/mm]
[mm] A^2*v= \pmat{ -2 & 1 \\ 1 & -2 } [/mm] * [mm] \pmat{ -2 \\ 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 5 \\ -4 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & v \\ 0 & 1 & Av + 2v \\ 0 & 0 & A^2v + 4Av + 3 v }
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = -3 und [mm] \lambda_2=-1
[/mm]
[mm] e^{-3x}, e^{-x}
[/mm]
M(x) = [mm] \pmat{ e^{-3x} & e^{-x} \\ -3e^{-3x} & -e^{-x}}
[/mm]
[mm] (M(0)^{-1})^T [/mm] = (1/2) [mm] \pmat{ -1 & 3 \\ -1 & 1}
[/mm]
[mm] f_1(x)=\pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 1} [/mm] * 1/2 [mm] \pmat{ -1 & 3 \\ -1 & 1} [/mm] * [mm] \pmat{ e^{-3x} \\ e^{-x} }
[/mm]
= [mm] \pmat{ (1/2) e^{-3x} + (1/2) e^{-x} \\ - (1/2) e^{-3x} + (1/2)e^{-x} }
[/mm]
Daselbe jetzt nun nochmal mit [mm] Vektor_2
[/mm]
Erhalte ich wieder die Eigenwerte [mm] \lambda_1 [/mm] = -3 und [mm] \lambda_2=-1
[/mm]
[mm] f_2(x) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -2} [/mm] * 1/2 [mm] \pmat{ -1 & 3 \\ -1 & 1} [/mm] * [mm] \pmat{ e^{-3x} \\ e^{-x} } [/mm] = [mm] \pmat{ - (1/2) e^{-3x} + (1/2) e^{-x} \\ (1/2) e^{-3x} + (1/2)e^{-x} }
[/mm]
Irgendwas passt ja da nun nicht so ganz, da ich vorher:
f(x) = C1 * [mm] \pmat{ 1 \\ -1 } e^{-3x} [/mm] + C2 * [mm] \pmat{ 1 \\ 1 } e^{-x}
[/mm]
bei der a) Erhalte ich ja mit der anderen Methode [mm] \lambda=2 [/mm] als 4 fachen Eigenwert..jedoch kann ich doch die Eigenvektoren nicht richtig zuordnen zu
[mm] e^{2x}, e^{2x}*x,e^{2x}*x^2, e^{2x}*x^3
[/mm]
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Hallo zocca21,
> b) Ich habe nun die b auch mal mit der anderen Methode
> gerechnet: [mm]v_1= \pmat{ 1 \\ 0 } v_2= \pmat{ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> A*v = [mm]\pmat{ -2 & 1 \\ 1 & -2 }[/mm] * [mm]\pmat{ 1 \\ 0 }[/mm] =
> [mm]\pmat{ -2 \\ 1 }[/mm]
>
> [mm]A^2*v= \pmat{ -2 & 1 \\ 1 & -2 }[/mm] * [mm]\pmat{ -2 \\ 1 }[/mm] =
> [mm]\pmat{ 5 \\ -4 }[/mm]
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & v \\ 0 & 1 & Av + 2v \\ 0 & 0 & A^2v + 4Av + 3 v }[/mm]
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = -3 und [mm]\lambda_2=-1[/mm]
>
> [mm]e^{-3x}, e^{-x}[/mm]
>
> M(x) = [mm]\pmat{ e^{-3x} & e^{-x} \\ -3e^{-3x} & -e^{-x}}[/mm]
>
M(x) ist wohl die Wronski-Matrix.
> [mm](M(0)^{-1})^T[/mm] = (1/2) [mm]\pmat{ -1 & 3 \\ -1 & 1}[/mm]
>
> [mm]f_1(x)=\pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 1}[/mm] * 1/2 [mm]\pmat{ -1 & 3 \\ -1 & 1}[/mm]
> * [mm]\pmat{ e^{-3x} \\ e^{-x} }[/mm]
Matrix mal Matrix ergibt keinen Vektor.
>
> = [mm]\pmat{ (1/2) e^{-3x} + (1/2) e^{-x} \\ - (1/2) e^{-3x} + (1/2)e^{-x} }[/mm]
>
> Daselbe jetzt nun nochmal mit [mm]Vektor_2[/mm]
>
> Erhalte ich wieder die Eigenwerte [mm]\lambda_1[/mm] = -3 und
> [mm]\lambda_2=-1[/mm]
>
> [mm]f_2(x)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -2}[/mm] * 1/2 [mm]\pmat{ -1 & 3 \\ -1 & 1}[/mm]
> * [mm]\pmat{ e^{-3x} \\ e^{-x} }[/mm] = [mm]\pmat{ - (1/2) e^{-3x} + (1/2) e^{-x} \\ (1/2) e^{-3x} + (1/2)e^{-x} }[/mm]
>
> Irgendwas passt ja da nun nicht so ganz, da ich vorher:
>
> f(x) = C1 * [mm]\pmat{ 1 \\ -1 } e^{-3x}[/mm] + C2 * [mm]\pmat{ 1 \\ 1 } e^{-x}[/mm]
>
> bei der a) Erhalte ich ja mit der anderen Methode [mm]\lambda=2[/mm]
> als 4 fachen Eigenwert..jedoch kann ich doch die
> Eigenvektoren nicht richtig zuordnen zu
Berechne doch [mm](A-2*E)*V_{i}[/mm].
Dann kannst Du diese Eigenvektoren einander zuordnen.
>
> [mm]e^{2x}, e^{2x}*x,e^{2x}*x^2, e^{2x}*x^3[/mm]
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Sa 15.01.2011 | | Autor: | zocca21 |
Hmm wieso kommt da kein Vektor raus?
Is doch Matrix * Matrix * Vektor
[mm] f_1(x)=\pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 1} [/mm] * (1/2) [mm] \pmat{ -1 & 3 \\ -1 & 1} [/mm] * [mm] \pmat{ e^{-3x} \\ e^{-x} } [/mm]
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Stimmt auch, der zeilenumbruch war nur verwirrend....
hatte ich auch übersehen
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:16 So 16.01.2011 | | Autor: | zocca21 |
Dann wäre meine Funktion:
f_homogen(x) = [mm] f_1(x) [/mm] *C1 +..
Nochmal zu meiner Frage:
Als ich die Aufgabe b) über den ersten Weg berechnet hab. Hat ich ja
f(x) = C1 * [mm] \pmat{ 1 \\ -1 } e^{-3x} [/mm] + C2 [mm] *\pmat{ 1 \\ 1 } e^{-x} [/mm]
Nun erhalte ich ja, über den 2.Weg:
[mm] f_1(x)= \pmat{ (1/2) e^{-3x} + (1/2) e^{-x} \\ - (1/2) e^{-3x} + (1/2)e^{-x} }
[/mm]
[mm] f_2(x) [/mm] = [mm] \pmat{ - (1/2) e^{-3x} + (1/2) e^{-x} \\ (1/2) e^{-3x} + (1/2)e^{-x} }
[/mm]
Hab ich mich da verechnet? Oder kann ich das wie oben zusammenfassen?
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 Di 18.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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