www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Anfangswertprobleme
Anfangswertprobleme < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Anfangswertprobleme: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:43 Mi 21.10.2015
Autor: capri

Aufgabe
Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme

[mm] a)$y'=xy^2+4x+y^2+4$, [/mm] $y(1)=0$

Guten Morgen,

zu a) [mm] $\frac{dy}{dx} [/mm] = [mm] xy^2+y^2+4x+4$ [/mm]

[mm] $\frac{dy}{dx} [/mm] = [mm] (x+1)(y^2+4)$ [/mm]

[mm] $\frac{dy}{\frac{dx}{y^2+4}} [/mm] = (x+1)$

---> $ [mm] \int \frac{dy}{\frac{dx}{y^2+4}} [/mm] dx$ = $ [mm] \int [/mm] (x+1) dx$


[mm] $\frac{1}{2}tan^{-1}(\frac{y}{2}) [/mm] = [mm] \frac{x^2}{2}+x+4$ [/mm]

$y(x) = [mm] 2tan(x^2+2x+2c_1)$ [/mm]

wäre das richtig? :S

und $y(1)=0$

[mm] $2tan(3+2c_1)=0$? [/mm] das habe ich leider nicht verstanden.


LG


        
Bezug
Anfangswertprobleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:03 Mi 21.10.2015
Autor: fred97


> Berechnen Sie die Lösungen der folgenden
> Anfangswertprobleme
>  
> a)[mm]y'=xy^2+4x+y^2+4[/mm], [mm]y(1)=0[/mm]
>  Guten Morgen,
>  
> zu a) [mm]\frac{dy}{dx} = xy^2+y^2+4x+4[/mm]
>
> [mm]\frac{dy}{dx} = (x+1)(y^2+4)[/mm]
>
> [mm]\frac{dy}{\frac{dx}{y^2+4}} = (x+1)[/mm]
>  
> ---> [mm]\int \frac{dy}{\frac{dx}{y^2+4}} dx[/mm] = [mm]\int (x+1) dx[/mm]


Das sollte doch so lauten:

[mm]\int \frac{dy}{y^2+4}=\int (x+1) dx[/mm]

>  
>
> [mm]\frac{1}{2}tan^{-1}(\frac{y}{2}) = \frac{x^2}{2}+x+4[/mm]

Wie kommst Du auf "+4"  ????

Wir haben zunächst:

[mm]\frac{1}{2}tan^{-1}(\frac{y}{2}) = \frac{x^2}{2}+x+C[/mm]


>  
> [mm]y(x) = 2tan(x^2+2x+2c_1)[/mm]

Ja, das ist die allgemeine Lösung der DGL, wobei [mm] c_1 [/mm] alle reellen Zahlen durchlaufen darf.


>  
> wäre das richtig? :S
>  
> und [mm]y(1)=0[/mm]
>  
> [mm]2tan(3+2c_1)=0[/mm]? das habe ich leider nicht verstanden.

Du suchst eien Lösung y der DGL mit y(1)=0.

Unter all den Funktionen der Form

[mm]y(x) = 2tan(x^2+2x+2c_1)[/mm]

ist also diejenige zu ermitteln, für die y(1)=0 gilt, somit bekommt man

  [mm] $0=y(1)=2tan(1^2+2*1+2c_1)=2tan(3+2c_1)$. [/mm]

Das liefert

      [mm] 3+2c_1=0, [/mm] also [mm] $c_1=- \bruch{3}{2}$. [/mm]

Die eindeutig bestimmte Lösung des Anfangswertproblems lautet also

   [mm]y(x) = 2tan(x^2+2x-3)[/mm]

FRED

>  
>
> LG
>  


Bezug
                
Bezug
Anfangswertprobleme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:32 Mi 21.10.2015
Autor: capri

Vielen dank! habe es bei dieser Aufgabe gut verstanden :)

nun habe ich eine etwas schwierigere evtl könnte man es auch anders lösen, ich habe mir teils hilfe von einem online rechner genommen.

b) $(x+y)y'=y-x$, $y(1)=-1$
[mm] $(y+x)\frac{dy}{dx} [/mm] = y-x

Subs: $y=xv(x)$ dann  [mm] $\frac{dy(x)}{dx}=v(x)+x\frac{dv(x)}{dx}$ [/mm] :

[mm] (x+xv(x))(x\frac{dv(x)}{dx}+v(x))=-x+xv(x) [/mm]

vereinfache:
[mm] (x+xv(x))(x\frac{dv(x)}{dx}+v(x))(v(x)+1)=x(v(x)-1) [/mm]

[mm] \frac{dv(x)}{dx} [/mm] = [mm] \frac{-v(x)^2-1}{x(v(x)+1)} [/mm]

[mm] \frac{\frac{dv(x)}{dx}v(x)+1}{-v(x)^2-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{x} [/mm]

[mm] \int \frac{\frac{dv(x)}{dx}v(x)+1}{-v(x)^2-1} [/mm] dx = [mm] \int \frac{1}{x}dx [/mm]

mit Rücksub:

[mm] -tan^{-1}(\frac{y}{x})-\frac{1}{2}log(\frac{y^2}{x^2}+1)=log(x)+C [/mm]

irgendwie kommt mir das nicht soo richtig vor.. Es geht bestimmt leichter oder? LG

und wie setze ich es hier nun ein? $y(1)=-1$? leider ist das ja nicht so wie bei a) aufgebaut...falls das alles richtig ist..

Bezug
                        
Bezug
Anfangswertprobleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 Mi 21.10.2015
Autor: fred97


> Vielen dank! habe es bei dieser Aufgabe gut verstanden :)
>  
> nun habe ich eine etwas schwierigere evtl könnte man es
> auch anders lösen, ich habe mir teils hilfe von einem
> online rechner genommen.
>  
> b) [mm](x+y)y'=y-x[/mm], [mm]y(1)=-1[/mm]
>  [mm]$(y+x)\frac{dy}{dx}[/mm] = y-x
>  
> Subs: [mm]y=xv(x)[/mm] dann  [mm]\frac{dy(x)}{dx}=v(x)+x\frac{dv(x)}{dx}[/mm]
> :
>  
> [mm](x+xv(x))(x\frac{dv(x)}{dx}+v(x))=-x+xv(x)[/mm]
>  
> vereinfache:
>  [mm](x+xv(x))(x\frac{dv(x)}{dx}+v(x))(v(x)+1)=x(v(x)-1)[/mm]
>  
> [mm]\frac{dv(x)}{dx}[/mm] = [mm]\frac{-v(x)^2-1}{x(v(x)+1)}[/mm]
>  
> [mm]\frac{\frac{dv(x)}{dx}v(x)+1}{-v(x)^2-1}[/mm] = [mm]\frac{1}{x}[/mm]
>  
> [mm]\int \frac{\frac{dv(x)}{dx}v(x)+1}{-v(x)^2-1}[/mm] dx = [mm]\int \frac{1}{x}dx[/mm]
>  
> mit Rücksub:
>  
> [mm]-tan^{-1}(\frac{y}{x})-\frac{1}{2}log(\frac{y^2}{x^2}+1)=log(x)+C[/mm]
>  
> irgendwie kommt mir das nicht soo richtig vor.. Es geht
> bestimmt leichter oder? LG
>  
> und wie setze ich es hier nun ein? [mm]y(1)=-1[/mm]? leider ist das
> ja nicht so wie bei a) aufgebaut...falls das alles richtig
> ist..



Das Anfangswertproblem

  $ (x+y)y'=y-x $,

  $ y(1)=-1 $

hat keine Lösung ! Denn wäre $y:I [mm] \to \IR$ [/mm] eine Lösung dieser Aufgabe, wobei $I$ ein Intervall in [mm] \IR [/mm] mit $1 [mm] \in [/mm] I$ ist, so hätten wir

  $ (1+y(1))y'(1)=y(1)-1 $.

Nun ist aber $1+y(1)=0$ und $y(-1)-1=-2$.

Edit: es sollte natürlich  $y(1)-1=-2$ lauten.

Das hätte $0=-2$ zur Folge !


Lautet die Aufgabe im Original wirklich so ?

FRED

Bezug
                                
Bezug
Anfangswertprobleme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 Mi 21.10.2015
Autor: capri

Ja die Aufgabe lautet:

$(x+y)y' =y-x, y(1)=-1$

was mich noch mehr irritiert ist Aufgabe 2) Weisen Sie nach, dass das Anfangswertproblem

$(x+y)y' =y-x, y(0)=0$ keine Lösung besitzt.

aber bei Aufgabe 1b) müssen wir es ja zeigen dass es ein Anfangswertproblem hat
$(x+y)y' =y-x, y(1)=-1$

also quasi zweimal die gleiche Gleichung.. eine hat keine lösung die andere ja? :S

oder eher ein Tippfehler? LG

Bezug
                                        
Bezug
Anfangswertprobleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:45 Mi 21.10.2015
Autor: M.Rex

Hallo

> Ja die Aufgabe lautet:

>

> [mm](x+y)y' =y-x, y(1)=-1[/mm]

>

> was mich noch mehr irritiert ist Aufgabe 2) Weisen Sie
> nach, dass das Anfangswertproblem

>

> [mm](x+y)y' =y-x, y(0)=0[/mm] keine Lösung besitzt.

>

> aber bei Aufgabe 1b) müssen wir es ja zeigen dass es ein
> Anfangswertproblem hat
> [mm](x+y)y' =y-x, y(1)=-1[/mm]

>

> also quasi zweimal die gleiche Gleichung.. eine hat keine
> lösung die andere ja? :S

Das kann passieren, denn die Forderung y(0)=0 kann zu einem Widerspruch führen, während die Forderung y(1)=-1 tatsächlich zu einer speziellen Integrationskonstante C führt.

>

> oder eher ein Tippfehler? LG

Marius

Bezug
                                                
Bezug
Anfangswertprobleme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:48 Mi 21.10.2015
Autor: capri

Okay danke das ist auch schonmal gut zu wissen. :)

aber laut Fred besitzt ja die Gleichung $ (x+y)y' =y-x, y(1)=-1 $  auch keine Lösung? :S

LG


PS: Das Anfangswertproblem

  $ (x+y)y'=y-x $,

  $ y(1)=-1 $

hat keine Lösung ! Denn wäre $ y:I [mm] \to \IR [/mm] $ eine Lösung dieser Aufgabe, wobei $ I $ ein Intervall in $ [mm] \IR [/mm] $ mit $ 1 [mm] \in [/mm] I $ ist, so hätten wir

  $ (1+y(1))y'(1)=y(1)-1 $.

Nun ist aber $ 1+y(1)=0 $ und $ y(-1)-1=-2 $. Das hätte $ 0=-2 $ zur Folge !

wie kommt man denn auf -2? man weiß doch nur dass y(1)=-1 ist aber nicht was y(-1) ist? und was ist mit y'(x)?

LG

Bezug
                                                        
Bezug
Anfangswertprobleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Mi 21.10.2015
Autor: fred97


> Okay danke das ist auch schonmal gut zu wissen. :)
>  
> aber laut Fred besitzt ja die Gleichung [mm](x+y)y' =y-x, y(1)=-1[/mm]
>  auch keine Lösung? :S
>  
> LG
>  
> PS: Das Anfangswertproblem
>  
> [mm](x+y)y'=y-x [/mm],
>  
> [mm]y(1)=-1[/mm]
>  
> hat keine Lösung ! Denn wäre [mm]y:I \to \IR[/mm] eine Lösung
> dieser Aufgabe, wobei [mm]I[/mm] ein Intervall in [mm]\IR[/mm] mit [mm]1 \in I[/mm]
> ist, so hätten wir
>  
> [mm](1+y(1))y'(1)=y(1)-1 [/mm].
>  
> Nun ist aber [mm]1+y(1)=0[/mm] und [mm]y(-1)-1=-2 [/mm]. Das hätte [mm]0=-2[/mm] zur
> Folge !
>  
> wie kommt man denn auf -2? man weiß doch nur dass y(1)=-1
> ist aber nicht was y(-1) ist?


Da hatte ich mich oben verschrieben (und mittlerweile auch schon verbessert). Ich meinte natürlich

     [mm]y(1)-1=-2 [/mm].

> und was ist mit y'(x)?

Wir haben

(*)    [mm](1+y(1))y'(1)=y(1)-1 [/mm].

Es ist y(1)-1=-2 und 1+y(1)=0. y'(1) kennen wir natürlich nicht, brauchen wir auch nicht, denn aus (*) bekommen wir den Widerspruch 0=-2.


FRED




>  
> LG
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Anfangswertprobleme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 Do 22.10.2015
Autor: capri

erstmal danke für die ganzen Antworten bei c)

[mm] $y'=(x-1)e^{y-x}$, [/mm] $y(-1)=0$ bzw. $y(0)=0$

dort habe ich als Lösung: [mm] $y(x)=-log(\frac{x}{e^x}+C)$ [/mm]

bei $y(-1)=0,  [mm] (\frac{-1}{e^{-1}}+C)$ [/mm]

das liefert ca. -2,72+C=0 also, C=2,72

und $y(0)=0 , [mm] (\frac{0}{e^0}+C)$ [/mm]

das liefert C=0

wäre das richtig?

LG

Bezug
                                                                        
Bezug
Anfangswertprobleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Do 22.10.2015
Autor: fred97


> erstmal danke für die ganzen Antworten bei c)
>  
> [mm]y'=(x-1)e^{y-x}[/mm], [mm]y(-1)=0[/mm] bzw. [mm]y(0)=0[/mm]
>  
> dort habe ich als Lösung: [mm]y(x)=-log(\frac{x}{e^x}+C)[/mm]
>  
> bei [mm]y(-1)=0, (\frac{-1}{e^{-1}}+C)[/mm]

Das stimmt.


>  
> das liefert ca. -2,72+C=0 also, C=2,72

Auaaaa ! mit 2,72 meinst Du doch wohl nicht die Eulersche Zahl $e$ ? Wenn doch, so lass doch den Dezimalquatsch und schreibe $e$.

Dennoch: Dein C stimmt nicht. Aus 0=y(-1) folgt log(C-e)=0. Also E-e=1

Edit: natürlich war C-e=1 gemeint.


und Somit C=e+1.


>  
> und [mm]y(0)=0 , (\frac{0}{e^0}+C)[/mm]
>  
> das liefert C=0

Das stimmt auch nicht. Rechne nochmal.

FRED

>  
> wäre das richtig?
>  
> LG


Bezug
                                                                                
Bezug
Anfangswertprobleme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Do 22.10.2015
Autor: capri

Hallo Fred kurze zwischenfrage, von wo hast du jetzt das E?
$E-e=1$?

LG

Bezug
                                                                                        
Bezug
Anfangswertprobleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Do 22.10.2015
Autor: fred97


> Hallo Fred kurze zwischenfrage, von wo hast du jetzt das
> E?
>  [mm]E-e=1[/mm]?

Upps, da hab ich mich verschrieben. Natürlich ist gemeint C-e=1.

FRED

>  
> LG


Bezug
                                                                                                
Bezug
Anfangswertprobleme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 Do 22.10.2015
Autor: capri

also muss $c=1$ sein damit dann ist halt $log(1)=0$

richtig?

habe noch eine Frage bei diesem Aufgabenteil:

Weisen Sie nach, dass das Anfangswertproblem

$ (x+y)y' =y-x, y(0)=0 $ keine Lösung besitzt.

da hattest du ja Fred, bei der zweiten Antwort glaube ich eine Lösung hingeschrieben wo $y(1)=-1$ war.

Ich habe mal versucht die Lösung von dir wo du 0=-2 raus hattest es bei $y(0)=0$ zu versuchen... da bekam ich 0=0 raus, aber dann müsste es ja eine Lösung geben. Oder mein 0=0 ist falsch...^^

LG

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Anfangswertprobleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:15 Do 22.10.2015
Autor: MathePower

Hallo capri,


> also muss [mm]c=1[/mm] sein damit dann ist halt [mm]log(1)=0[/mm]
>  
> richtig?

>


Nein aus C-e=1 folgt doch C=1+e.

  

> habe noch eine Frage bei diesem Aufgabenteil:
>  
> Weisen Sie nach, dass das Anfangswertproblem
>  
> [mm](x+y)y' =y-x, y(0)=0[/mm] keine Lösung besitzt.
>
> da hattest du ja Fred, bei der zweiten Antwort glaube ich
> eine Lösung hingeschrieben wo [mm]y(1)=-1[/mm] war.
>  
> Ich habe mal versucht die Lösung von dir wo du 0=-2 raus
> hattest es bei [mm]y(0)=0[/mm] zu versuchen... da bekam ich 0=0
> raus, aber dann müsste es ja eine Lösung geben. Oder mein
> 0=0 ist falsch...^^

>


In der Tat erhältst Du mit der Anfangsbedingung y(0)=0 eine Lösung.  


> LG


Gruss
MathePower

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de