Angabe nicht-abelscher Gruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Do 20.04.2006 | | Autor: | Daystrom |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass D6 und A4 nicht isomorph sind. Geben Sie eine weitere nichtabelsche Gruppe der Ordnung 12 an, die zu den beiden genannten Gruppen nicht isomorph ist. |
Hallo,
Zum ersten Teil der Aufgabe: Da reicht es ja, wenn ich zeige, dass es in D6 (Diedergruppe für n=6) ein Element der Ordnung 6 gibt, in A4 (Alternierende Gruppe für n=4) jedoch nicht, oder?
So, dann zum zweiten Teil:
Diese oder eine ähnliche Frage ist mir schon ein paar mal über den Weg gelaufen und die Lösungen sind irgendwie immer leicht aus der Luft gezaubert. Gibt es ein "Schema F", wie man bei dieser Frage am besten verfährt? Und wie finde ich eine Lösung?
Wäre S3 x Z2 zum Beispiel eine? Wenn ja, warum? (Falls nicht, wärs auch interessant warum.)
ciao
Phil
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Daystrom |
Hm, hab grad festgestellt, dass es in A4 ja doch Elemente der Ordnung 6 gibt. War ein kleiner Gedankenfehler. Hm... Dann steh ich jetzt erstmal voll auf dem Schlauch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Fr 21.04.2006 | | Autor: | statler |
Hallo,
besteht A4 nicht aus den Drehungen des Tetraeders, hat also die Identität, 8 Elemente der Ordnung 3 (Drehungen durch Ecke und Seitenmitte) und 3 Elemente der Ordnung 2 (Drehung durch Kantenmitte)?
Über den Rest denke ich noch nach, das sieht gut aus, bis dann und
Grüße aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Fr 21.04.2006 | | Autor: | statler |
Hi,
die D6 hat die Identität, 6 Spiegelungen der Ordnung 2, 1 Drehung der Ordn. 2, 2 Drehungen der Ordn. 3 und 2 Drehungen der Ordn. 6.
Jetzt fehlt noch eine weitere Gruppe...
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Daystrom |
Ah, ok, hab meinen Denkfehler grad selber gefunden. Hatte nicht einfach ein neues Element gemacht, sondern nur zwei Elemente hintereinander ausgeführt. *brrr* Ich hasse meine Leichtsinnsfehler.
Also stimmt meine Vermutung vom Anfang, dass die eben nicht Isomorph sind, weil ich bei dem einen ein Element der Ordnung 6, beim anderen nicht habe, oder?
Habe noch was anderes rausgefunden:
S3xZ2 ist isomorph zu D6!
Hm, jetzt wüsst ich gerne, was es an nicht isomorphem gibt, und wie man drauf kommt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:22 Mo 24.04.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Phil!
Um eine weitere nicht-kommutative Gruppe G der Ordnung 12 zu finden, bemerken wir, daß D6 und A4 keine Elemente der Ordnung 4 enthalten, also auch keine zyklische U-Gruppe der Ordnung 4. Daher versuchen wir, aus Z3 und Z4 eine Gruppe der Ordnung 12 zu konstruieren. Das direkte Produkt geht nicht, das wäre nämlich Z12 und damit kommutativ.
Wir haben also ein Element A mit [mm] A^{3} [/mm] = E und ein Element B mit [mm] B^{4} [/mm] = E. Jetzt soll der innere Automorphismus mit B auf der von A erzeugten U-Gruppe nicht die Identität, sondern den einzig möglichen anderen Automorphismus induzieren. Das heißt, es soll gelten
[mm] BAB^{-1} [/mm] = [mm] A^{2} [/mm] oder BA = [mm] A^{2}B
[/mm]
Dann haben wir in G zunächst die Elemente
E, A, [mm] A^{2}, [/mm] B, [mm] B^{2}, B^{3}, [/mm] BA, [mm] B^{2}A, B^{3}A, BA^{2}, B^{2}A^{2}, B^{3}A^{2} [/mm] und dazu die Rechenregeln aus dem vorigen Absatz.
Terme, die mit A beginnen, kann ich jetzt ausrechnen.
Es ist
AB = [mm] A^{4}B [/mm] = [mm] A^{2}A^{2}B [/mm] = [mm] BAB^{-1}BAB^{-1}B [/mm] = [mm] BA^{2}B^{-1}B [/mm] = [mm] BA^{2}
[/mm]
[mm] AB^{3} [/mm] = [mm] AB^{-1} [/mm] = [mm] B^{-1}A^{2} [/mm] = [mm] B^{3}A^{2}
[/mm]
und
[mm] AB^{2} [/mm] = ABB = [mm] BA^{2}B [/mm] = [mm] BA^{2}B^{-1}B^{2} [/mm] = [mm] BBAB^{-1}B^{-1}B^{2}= B^{2}A
[/mm]
Die anderen 3 gehen ratzfatz:
[mm] A^{2}B [/mm] = AAB = [mm] ABA^{2} [/mm] = [mm] BA^{2}A^{2} [/mm] = [mm] BA^{4} [/mm] = BA
[mm] A^{2}B^{2} [/mm] = [mm] AAB^{2} [/mm] = [mm] AB^{2}A [/mm] = [mm] B^{2}AA [/mm] = [mm] B^{2}A^{2}
[/mm]
[mm] A^{2}B^{3} [/mm] = [mm] AAB^{3} [/mm] = [mm] AB^{3}A^{2} [/mm] = [mm] B^{3}A^{4} [/mm] = [mm] B^{3}A
[/mm]
Nun könnten (und müßten) wir die Gruppenaxiome nachprüfen, viel Spaß bei der Assoziativität!
Aber ich kann G als U-Gruppe der S12 darstellen. Für
A = (1 2 3) (4 10 7) (5 8 11) (6 12 9) und
B = (1 4 5 6) (2 7 8 9) (3 10 11 12)
finde ich genau die obigen Regeln wieder. Damit kriege ich die Assoziativität geschenkt, da es sich bei A und B jetzt um Abbildungen handelt mit der Verknüpfung 'Hintereinanderausführen'.
G hat 1 Element der Ordnung 1, 1 El. der Ordn. 2, 2 El. der Ordn. 3, 6 El. der Ordn. 4 und 2 El. der Ordn. 6. Die 3 betrachteten Gruppen sind daher nicht isomorph. Sind das jetzt alle?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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