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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Sei [mm] (\IK, \le) [/mm] ein angeordneter Körper.
Zeigen Sie: Für alle [mm] n\in\IN, n\ge2, [/mm] und alle [mm] x\in\IK [/mm] mit 0<x<1 ist [mm] x^{n} [/mm] < x. |
Hallo, erstmal!
Ich habe mal eine grundsätzliche Frage zu solchen Aufgabenstellungen. Muss ich hier irgendwie eine Fallunterscheidung machen, vielleicht eine Induktion oder was ganz anderes? Wäre super, wenn mir das jemand anhand meines Beispiels erklären könnte!
Schonmal danke im Voraus!
Viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mi 04.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
kehr das Problem un: y>1 dann [mm] y^n>y [/mm] und y=1/x<1
a<b folgt a<a*b falls b>1 damit kommst du auf [mm] y^2>y [/mm] danach Induktion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Petrit |
Dankeschön.
Werd ich mal ausprobieren!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Do 05.12.2013 | | Autor: | Petrit |
Hallo!
Entschuldigung, mir ist immer noch nicht ganz klar, was ich hier eigentlich zeigen soll!
Kann mir das bitte nochmal jemand erklären, wäre echt spitze!
Schon mal danke und viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Do 05.12.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Entschuldigung, mir ist immer noch nicht ganz klar, was
> ich hier eigentlich zeigen soll!
> Kann mir das bitte nochmal jemand erklären, wäre echt
> spitze!
Du hast $0 < x < 1$. Zeige per Induktion, dass [mm] $x^n [/mm] < x$ fuer alle natuerlichen Zahlen $n [mm] \ge [/mm] 1$.
Dazu zeige, dass [mm] $x^{n+1} [/mm] < [mm] x^n$ [/mm] gilt. Wenn du dann die Induktionsvoraussetzung [mm] $x^n [/mm] < x$ verwendest, bekommst du [mm] $x^{n+1} [/mm] < x$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Sa 07.12.2013 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Ich hab das mal bemacht und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
[mm] x^{n+1} [/mm] < [mm] x^{n} [/mm] = [mm] x^{n}*x^{1} [/mm] <(IV) x*x = [mm] x^{2} [/mm] < x.
Somit steht nun da, dass [mm] x^{n+1} [/mm] < x.
Könnte mir jemand sagen, ob das so in Ordnung ist? Bin mir auch nicht sicher wegen dem x, dass nur 0<x<1 sein darf, muss ich das auch noch irgendwie beweisen? Wäre echt super, wenn mir jemand Feedback geben könnte!
Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Sa 07.12.2013 | | Autor: | Magehex |
Direkter Beweis (A => B)
Aussage A: [mm] x^n>x [/mm] für alle x>1
Beweis A durch Vollständige Induktion nach n
I.A. [mm] x^2>x [/mm] => x>1
I.S. [mm] x^n^+^1=x^n*x>IV [/mm] x*x>x
Damit ist die Aussage A wahr und wir können B zeigen
( [mm] x^n>x [/mm] ) |^(-1) => [mm] (\bruch{1}{x})^n< \bruch{1}{x} [/mm] für alle x>1
Btw: [mm] \bruch{1}{x}<1 [/mm] ist äquivalent zu 0<x<1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Sa 07.12.2013 | | Autor: | Petrit |
Erstmal danke für die Hilfe.
Allerdings verstehe ich nicht ganz, was du jetzt damit bewiesen hast, kann mir das vielleicht nochmal jemand erklären? Wäre echt top, stehe irgendwie auf'm Schlauch.
Schonmal dank und gruß, Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Sa 07.12.2013 | | Autor: | Magehex |
> Erstmal danke für die Hilfe.
> Allerdings verstehe ich nicht ganz, was du jetzt damit
> bewiesen hast, kann mir das vielleicht nochmal jemand
> erklären? Wäre echt top, stehe irgendwie auf'm Schlauch.
>
> Schonmal dank und gruß, Petrit!
[mm] (\bruch{1}{x})^n< \bruch{1}{x} [/mm] für alle x>1 ist doch das Gleiche wie [mm] (x)^n [/mm] < x für alle x element K mit 0<x<1
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] für alle x>1 wird der gesamte Ausdruck nie größer gleich 1 und hier: x mit der Eigenschaft 0<x<1 wird auch nie größer gleich 1.
Die Aussagen sind äquivalent.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Sa 07.12.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Petrit!
> Ich hab das mal bemacht und bin zu folgendem Ergebnis
> gekommen:
Meinst du vielleicht das hier?
> [mm]x^{n+1} = x^{n}*x^{1} \overset{(IV)}{<} x*x = x^{2} < x[/mm] fuer $n [mm] \ge [/mm] 1$
So waer das in Ordnung, solange du noch [mm] $x^2 [/mm] < x$ zeigst (und evtl. auch eine weitere Bemerkung zu dem Schritt wo du die Induktionsvorraussetzung anwendest; siehe unten).
(Die Ungleichung [mm] $x^2 [/mm] < x$ waer auch der Induktionsanfang.)
> Somit steht nun da, dass [mm]x^{n+1}[/mm] < x.
> Könnte mir jemand sagen, ob das so in Ordnung ist? Bin
> mir auch nicht sicher wegen dem x, dass nur 0<x<1 sein
> darf, muss ich das auch noch irgendwie beweisen?
Nun, $0 < x < 1$ brauchst du um
(1) zu zeigen, dass [mm] $x^2 [/mm] < x$ gilt, und
(2) zu zeigen, dass aus [mm] $x^n [/mm] < x$ (die Induktionsvorraussetzung) folgt, dass [mm] $x^n \cdot [/mm] x < x [mm] \cdot [/mm] x$ ist.
Beides solltest du begruenden.
LG Felix
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