Annäherung an den Grenzwert < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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die Aufgabe lautet f(x)=x / x²-1
wie wollen setzten folgende Testfolge (von links) ein: 1- 1/n
nach dem eisetzen um umstellen landen wir auf folgender Gleichung:
f(x)=1- 1/n
-1/n + 1/n²
und wie dann weiter? hier stocken wir!
Bitte erklärt und genau wie schritt für schritt wie es ab da weitergeht!
Vielen dank im voraus,
3 verzweifelte Schüler 
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Halli hallo!
Ich habe die Lösung solcher Aufgaben in der Schule etwas anders beigebracht bekommen, denn ich sehe ehrlich gesagt auch nicht, wie ihr da am besten weitermachen könnt!
Deshalb sage ich euch einmal wie ich das gelernt habe!
Also wenn man so einen gebrochenrationalen Bruch hat wie ihr, dann erweitert man den Bruch mit dem reziproken Wert der höchsten Potenz im Nenner.
D.h.: ihr habt im Nenner 1 und [mm] x^{2} [/mm] stehen -> höchste Potenz ist [mm] x^{2}, [/mm] also erweitert ihr Zähler und Nenner mit [mm] \bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
Da erhaltet ihr dann:
[mm] f(x)=\bruch{\bruch{1}{x}}{1-\bruch{1}{x^{2}}}
[/mm]
Auf diese Weise erhaltet ihr im Nenner auf jeden Fall eine ganze Zahl sowie Nullfolgen und ihr könnt den Grenzwert direkt ablesen:
Im Zähler steht hier ebenfalls eine Nullfolge, d.h. der Zähler ist null, im Nenner steht die 1 addiert zu einer Nullfolge, was wiederum gegen 1 konvergiert!
Es ergibt sich für den Grenzwert der Wert [mm] \bruch{0}{1}=0
[/mm]
Andere Möglichkeiten wären z.B.:
[mm] f(x)=\bruch{2x^{2}}{3x^{2}-x}
[/mm]
Hier ergäbe sich der Wert zu [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{3+\bruch{1}{x}}=\bruch{2}{3}
[/mm]
oder
[mm] f(x)=\bruch{2x^{3}}{3x^{2}-x}
[/mm]
Hier folgt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2x}{3+\bruch{1}{x}}=\infty
[/mm]
Ich hoffe ich habe euch nun etwas helfen können und euch nicht noch mehr verwirrt!
Liebe Grüße
Ulrike
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