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| Aufgabe | | Seien [mm] n\in \IN [/mm] sowie [mm] k\in [/mm] {1,...,n}. Dann stelle man sich folgende Situation vor: Es werden n gleichartige Dinge (etwa Bücher) rein zufällig in einer Reihe aufgestellt. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit [mm] P_{n}(A_{k,n}) [/mm] des Ereignisses [mm] A_{k,n}, [/mm] welches der Ereignisaussage "Es folgen k fixierte dieser n Dinge unmittelbar aufeinander, wobei es aber auf deren Reihenfolge untereinander nicht ankommt." entspricht? |
Hallo liebe Mathefreunde :)
Also soweit meine Überlegungen stimmen sollten geht es darum: wenn ich n Bücher vor mir stehen habe wähle ich k davon fest aus und die anderen ordne ich willkürlich um, sodass aber keines der anderen mehr am selben platz steht. ?
Darauf aufbauend meine Lösung:
Wir betrachten die Grundmenge [mm] S_{n} [/mm] alle Permutationen von n Elementen. Für das Ereignis [mm] A_{n,k} [/mm] sind gerade jene Permutationen günstig, bei denen k Fixpunkte aufeinanderfolgen und sonst keine Fixpunkte vorhanden sind.
Fall k = 0: Dann stehen alle Dinge nach dem Umsortieren an einem anderen Platz. Die Kardinalität ergibt sich als Kardinalität einer Permutation ohne Fixpunkt von n Elementen, also nach Vorlesung:
card(k=0)= [mm] n!*\summe_{j=0}^{n} \bruch{(-1)^{j}}{j!} [/mm]
Fall k = 1: Es gibt genau n Möglichkeiten, einen solchen Fixpunkt auszuwählen, für die restlichen n-1 Elemente wieder Kardinalität einer fixpunktfreien Permutation von n-1 Elementen:
card(k=1) = [mm] n*(n-1)!\summe_{j=0}^{n-1} \bruch{(-1)^{j}}{j!} [/mm] = [mm] n!\summe_{j=0}^{n-1} \bruch{(-1)^{j}}{j!} [/mm]
Fall k = 2: Es gibt genau (n-1) Möglichkeiten, die 2 aufeinanderfolgende Fixpunkte zu wählen. Die restlichen Elemente wieder fixpunktfreie Permutation:
[mm] card(k=2)=(n-1)*(n-2)!\summe_{j=0}^{n-2} \bruch{(-1)^{j}}{j!} [/mm] = [mm] (n-1)!\summe_{j=0}^{n-2} \bruch{(-1)^{j}}{j!} [/mm]
... Daraus ergibt sich das Schema:
[mm] card(k)=(n-k+1)!\summe_{j=0}^{n-k} \bruch{(-1)^{j}}{j!} [/mm]
Und mit [mm] card(S_{n})=n! [/mm] also:
[mm] P_{n}(A_{n,k})= \bruch{card(A_{n,k})}{card(S_{n})} [/mm] = [mm] \bruch{(n-k+1)!\summe_{j=0}^{n-k} \bruch{(-1)^{j}}{j!} }{n!}
[/mm]
Ich wäre für eine Korrektur und ggf. Hinweise auf die Denkfehler sehr dankbar ! =)
Viele Grüße !
Blacki
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moin Blackwolf,
Ich verstehe die Aufgabe etwas anders:
Es werden $k$ der $n$ Objekte fixiert und die Frage ist: "Wie wahrscheinlich ist es, dass diese in einem Block auftauchen?"
Dafür erstmal ein Beispiel:
Nehmen wir $n=3$ und $k=2$ und wählen die Elemente $1,2$, so sind die günstigen Reihenfolgen:
1,2,3
2,1,3
3,1,2
3,2,1
Und die ungünstigen:
1,3,2
2,3,1
Da die fixierten Elemente vorher gegeben werden kann man OBdA annehmen, dass es sich um die ersten $k$ Stück handelt.
Allerdings müssen diese keine Fixpunkte der Permutation sein, wie zB der 4. günstige Fall zeigt.
Zur Berechnung:
Der Fall $k=n$ ist witzlos.
Der Fall $k=1$ ebenfalls, denn ein Block der größe 1 wird von einer Permutation sicher nicht auseinandergerissen.
Nehmen wir uns also mal den Fall $k=2$.
Die Frage ist nun, wie wahrscheinlich es ist, dass die Elemente 1,2 bei einer beliebigen Anordnung von Elementen nebeneinander stehen.
Dafür betrachten wir zuerst die Fälle, wo die 1 vor der 2 steht:
Steht die 1 auf Position 1 so muss die 2 auf Position 2 stehen; der Rest beliebig.
Steht die 1 auf Position 2 so muss die 2 auf Position 3 stehen; der Rest beliebig.
Für den Rest gibt es also immer $(n-2)!$ Möglichkeiten und für die 1 gibt es $n-1$ Möglichkeiten, denn die 1 sollte doch gerne nicht ganz hinten stehen.
Somit gibt es hier $(n-2)!*(n-1) = (n-1)!$ Möglichkeiten.
Bedenkt man überdies noch, dass auch die 2 vor der 1 stehen könnte, so gibt es insgesamt $2*(n-1)!$ Möglichkeiten und die Wahrscheinlichkeit ist somit [mm] $\frac{2}{n}$.
[/mm]
Bei $k>2$ sollte das gleiche System anwendbar sein, nur dass es dort für die Reihenfolge innerhalb des Blocks nicht nur $2$ sondern $k!$ Möglichkeiten gibt, wodurch sich die Anzahl der Möglichkeiten für [mm] $A_{k,n}$ [/mm] insgesamt ergibt als:
$(n-k)!*(n-k+1)*k! = (n-k+1)!*k!$ und somit als Wahrscheinlichkeit:
[mm] $P(A_{k,n}) [/mm] = [mm] \frac{n-k+1}{ {n \choose k}}$
[/mm]
Die letzte Formel könnte ggf. auch noch interessante Interpretationen ermöglichen. ;)
So, soweit mal meine Interpretation des Problems, welcher du zustimmst ist natürlich deine Sache.
lg
Schadow
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Guten Abend, schadowmaster !
Vielen Dank für deine Antwort, das ist durchaus auch eine interessante Interpretation der Aufgabe und dein Ergebnis sieht auch "angenehmer" aus ! :) Ich denke, das macht auch Sinn.
Nur 2 Fragen: muss ich denn beachten, ob zum beispiel die 1 vor der 2 oder die 2 vor der 1 in dem fixierten Block kommt? Weil ja in der Aufgabenstellung steht, dass deren reihenfolge egal ist? Weil dann könnte ich doch das k! weglassen?
Und ich sehe gerade nicht, wie du von deine Anzahl der Möglichkeiten für das Ereignis [mm] A_{n,k} [/mm] auf die Endwahrscheinlichkeiten kommst, also wo sich da die Fakultäten am Schluss wegkürzen? Ist sicher ein einfacher Schritt, aber irgendwie seh ichs grad nicht.. ^^
Vielen dank nochmal für eine kurze Erklärung ! =)
Viele Grüße !
Blacki
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> Guten Abend, schadowmaster !
> Vielen Dank für deine Antwort, das ist durchaus auch eine
> interessante Interpretation der Aufgabe und dein Ergebnis
> sieht auch "angenehmer" aus ! :) Ich denke, das macht auch
> Sinn.
>
> Nur 2 Fragen: muss ich denn beachten, ob zum beispiel die 1
> vor der 2 oder die 2 vor der 1 in dem fixierten Block
> kommt? Weil ja in der Aufgabenstellung steht, dass deren
> reihenfolge egal ist? Weil dann könnte ich doch das k!
> weglassen?
Ja, die Reihenfolge ist egal. Deshalb musst du sowohl 1,2,... als auch 2,1,... getrennt zählen, da du ja alle günstigen Kombinationen durch die Gesamtanzahl teilen möchtest.
> Und ich sehe gerade nicht, wie du von deine Anzahl der
> Möglichkeiten für das Ereignis [mm]A_{n,k}[/mm] auf die
> Endwahrscheinlichkeiten kommst, also wo sich da die
> Fakultäten am Schluss wegkürzen? Ist sicher ein einfacher
> Schritt, aber irgendwie seh ichs grad nicht.. ^^
Nimm die erste der beiden Formeln:
$ [mm] (n-k)!\cdot{}(n-k+1)\cdot{}k! [/mm] $ und teile das durch $n!$.
Dann multipliziere mal ${n [mm] \choose [/mm] k}$ aus und dir dürften ein paar Gemeinsamkeiten auffallen. ;)
> Vielen dank nochmal für eine kurze Erklärung ! =)
> Viele Grüße !
> Blacki
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Ok, vielen Dank nochmal, alles nun verstanden ! 
Viele Grüße !
Blackwolf
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