Anordnung Restaurantplätze < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Elf Personen gehen gemeinsam in ein Restaurant. Genau vier von ihnen (zwei Männer und zwei Frauen) haben keinen Hunger und bestellen deshalb nur etwas zu trinken. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den vier Personen ohne Hunger die zwei Frauen nebeneinander sitzen, die zwei Männer jedoch nicht,
a) wenn sich die Personen zufällig um einen runden Tisch setzen.
b) wenn sich die elf Personen zufällig nebeneinander an dieselbe Seite einer langen Tafel setzen. |
Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe leider einige Schwierigkeiten.
Der Unterschied zwischen der a) und b) besteht denke ich darin, dass es bei der a) eine weitere Möglichkeit gibt, da ja zwei hungernde Frauen auch dann nebeneinander sitzen, wenn eine auf der ersten und eine auf der letzten Position sitzt.
Es gibt 11!=39 916 800 Permutationen und als Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei hungernde Frauen nebeneinander sitzen, habe ich [mm] $\bruch{2! + 1}{11!}.$
[/mm]
Zwei hungernde Männer dürfen nicht nebeneinander sitzen und dafür habe ich als Wahrscheinlichkeit [mm] $\bruch{9!-1}{11!}.$
[/mm]
Um das Gesamtergebnis bei der a) zu erhalten, multipliziere ich die beiden Brüche.
Bei der b) hätte ich [mm] $\bruch{2!}{11!}$ [/mm] dafür dass zwei hungernde Frauen nebeneinander sitzen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei hungernde Männer nicht nebeneinander sitzen beträgt [mm] $\bruch{9!}{11!}.$
[/mm]
Um das Gesamtergebnis bei der b) zu erhalten, multipliziere ich auch hier die beiden Brüche.
Allerdings überzeugt mich mein Lösungsweg noch nicht (bin zuletzt vor drei Jahren mit Stochastik/Statistik in Berührung gekommen) und es wäre deshalb sehr nett, wenn ihn sich jemand ansehen könnte. 
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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Hallo el-grecco,
in deiner Lösung sprichst du so oft von hungernden
Frauen und Männern, dass man fast schon Mitleid
bekommt. Es ging aber nur um Leute, die kein Essen
bestellen, weil sie keinen Hunger haben ...
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Sa 07.05.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Al,
ich plädiere auf "Schuldig!".
Naja aber ehrlich gesagt habe ich nur mit dem Restaurant-Inhaber Mitleid wegen dem geringeren Umsatz...
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Sa 07.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
(Verwunderlich, dass du diese Aufgabe nicht kannst, da du mir doch vor einiger Zeit mal das Prinzip Inklusion Exklusion erläutert hast...)
Naja also mal zu b.):
Nehmen wir an die Wahrscheinlichkeit [mm] w_{1}, [/mm] dass 2 Frauen Nebeineinandersitzen und die Wahrscheinlichkeit [mm] w_{2} [/mm] das die zwei Männer nicht nebeneinandersitzen seien unabhängig, so haben wir
[mm] w_{1} [/mm] = [mm] \bruch{10!}{11!}
[/mm]
[mm] w_{2} [/mm] = 1- [mm] \bruch{10!}{11!}
[/mm]
Jetzt ist es aber leider so, dass wenn die 2 Frauen nebeneinander sind, dass die Männer weniger Möglichkeiten haben (sie können nicht dazwischen sein).
[mm] w_{gesucht} [/mm] = P[2Frauen nebenei.]*P[2Männer ausein.|2Frauen nebenein.] = P[2Männer ausein.]*P[2Frauen nebenein.|2Männer auseina.]
P[2Frauen nebenein.] = [mm] \bruch{10!}{11!}
[/mm]
P[2Männer ausein.|2Frauen nebenein.] = [mm] \bruch{2*P[2Männer auseinander (Die Beiden Frauen sind am Rand)] + 8*P[2Männer auseinander (Die Beiden Frauen sind nicht am Rand)]}{10}
[/mm]
[mm] =\bruch{2*(1-\bruch{8!}{9!}) + 8*( \bruch{\bruch{4*8*9 + 9*7*(9-4)}{9}
}{9*8}
)
}{10}
[/mm]
Ich gebe keine 100% gewähr.
Gruss
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| Aufgabe | Elf Personen gehen gemeinsam in ein Restaurant. Genau vier von ihnen (zwei Männer und zwei Frauen) haben keinen Hunger und bestellen deshalb nur etwas zu trinken. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den vier Personen ohne Hunger die zwei Frauen nebeneinander sitzen, die zwei Männer jedoch nicht,
a) wenn sich die Personen zufällig um einen runden Tisch setzen.
b) wenn sich die elf Personen zufällig nebeneinander an dieselbe Seite einer langen Tafel setzen. |
Hallo,
> (Verwunderlich, dass du diese Aufgabe nicht kannst, da du
> mir doch vor einiger Zeit mal das Prinzip Inklusion
> Exklusion erläutert hast...)
naja ich beginne mit Stochastik/Statistik quasi bei 0, denn das Abi ist inzwischen bald drei Jahre her; da fallen mir selbst die leichtesten Dinge schwer...
> Naja also mal zu b.):
> Nehmen wir an die Wahrscheinlichkeit [mm]w_{1},[/mm] dass 2 Frauen
> Nebeineinandersitzen und die Wahrscheinlichkeit [mm]w_{2}[/mm] das
> die zwei Männer nicht nebeneinandersitzen seien
> unabhängig, so haben wir
>
> [mm]w_{1}[/mm] = [mm]\bruch{10!}{11!}[/mm]
> [mm]w_{2}[/mm] = 1- [mm]\bruch{10!}{11!}[/mm]
Wie kommst Du auf $ [mm] w_{1} [/mm] = [mm] \bruch{10!}{11!} [/mm] $ und [mm] $w_{2}=1-\bruch{10!}{11!}$?
[/mm]
Irgendwie verwirrt mich diese Aufgabe immer mehr (sehe jetzt aber immerhin, dass mein Weg der totale Schrott war und die a) dürfte ich ziemlich sicher auch falsch haben).
Wenn man 11 Plätze hat und zwei nichthungrige Frauen nebeneinandersitzen sollen, dann gibt es doch hierfür nur 10 verschiedene Möglichkeiten...?
Für die beiden nichthungrigen Männer bleiben dann nur noch 7 verschiedene Möglichkeiten...?
> Jetzt ist es aber leider so, dass wenn die 2 Frauen
> nebeneinander sind, dass die Männer weniger Möglichkeiten
> haben (sie können nicht dazwischen sein).
>
> [mm]w_{gesucht}[/mm] = P[2Frauen nebenei.]*P[2Männer
> ausein.|2Frauen nebenein.] = P[2Männer ausein.]*P[2Frauen
> nebenein.|2Männer auseina.]
>
> P[2Frauen nebenein.] = [mm]\bruch{10!}{11!}[/mm]
> P[2Männer ausein.|2Frauen nebenein.] =
> [mm]\bruch{2*P[2Männer auseinander (Die Beiden Frauen sind am Rand)] + 8*P[2Männer auseinander (Die Beiden Frauen sind nicht am Rand)]}{10}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2*(1-\bruch{8!}{9!}) + 8*( \bruch{\bruch{4*8*9 + 9*7*(9-4)}{9}
}{9*8}
)
}{10}[/mm]
>
> Ich gebe keine 100% gewähr.
Kein Problem!
Danke Dir soweit.
> Gruss
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Sa 07.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
> naja ich beginne mit Stochastik/Statistik quasi bei 0, denn
> das Abi ist inzwischen bald drei Jahre her; da fallen mir
> selbst die leichtesten Dinge schwer...
Im Vergleich zu Inklusion Exklusion ist es verdammt einfach!
Aber ja es ist schon so: Wahrscheinlichkeitstheorie [mm] \not= [/mm] Kombinatorik
> Wie kommst Du auf [mm]w_{1} = \bruch{10!}{11!}[/mm] und
> [mm]w_{2}=1-\bruch{10!}{11!}[/mm]?
>
> Irgendwie verwirrt mich diese Aufgabe immer mehr (sehe
> jetzt aber immerhin, dass mein Weg der totale Schrott war
> und die a) dürfte ich ziemlich sicher auch falsch haben).
> Wenn man 11 Plätze hat und zwei nichthungrige Frauen
> nebeneinandersitzen sollen, dann gibt es doch hierfür nur
> 10 verschiedene Möglichkeiten...?
> Für die beiden nichthungrigen Männer bleiben dann nur
> noch 7 verschiedene Möglichkeiten...?
>
Nein, es gibt nicht nur 10 Möglichkeiten wo die Beiden Frauen nebeneinandersitzen unter insgesamt 11! Möglichkeiten! Du vergisst, dass die Beiden Frauen nebeneinandersitzen können, und die anderen "Sitzgäste" sich vertauschen können...hilft das?
Gruss
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Da es nur auf die Sitzordnung der 4 betrachteten Personen ankommt, können wir alle anderen weglassen, sie dienen nur als Statisten, um die Anzahl der Sitzplätze auf 11 festzulegen.
Wir lassen daher unsere 4 Personen der Reihe nach den Raum betreten und betrachten nur die W. dafür, dass die Bedingung erfüllt wird.
Frau A zieht im Vorraum eine Platznummer aus einer Lostrommel und setzt sich beliebig an den runden Tisch. Frau B zieht die nächste Nummer und setzt sich auf den gezogenen Platz. Von den noch 10 freien Plätzen sind nur 2 (links und rechts von A) günstig, also beträgt die W., dass bisher alles geklappt hat, 2/10 = 1/5
Nun zieht der Mann C einen der verbliebenen 9 Plätze. 2 davon sind neben den beiden Frauen, die anderen nicht. Also sitzen mit einer W. von 1/5 * 2/9 alle 3 nebeneinander und mit einer W. von 1/5 * 7/9 der Mann C von den Frauen getrennt.
Nun zieht D eine Platzkarte. Im ersten Fall darf er von den verbliebenen 8 Plätzen nur nicht den neben C erwischen, die W. für diese Gesamtsituation beträgt somit
1/5 * 2/9 * 7/8; im 2. Fall darf er keinen der beiden freien Plätze neben C erwischen, die W. für diese Gesamtsituation beträgt somit
1/5 * 2/9 * 6/8. Auf die restlichen Plätze setzen sich nun unsere Statisten beliebig hin, das hat für den Ausgang keine Bedeutung mehr.
Somit: W. = 14/360 + 12/360 = 13/180.
Analog lässt sich b) berechnen.
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> Da es nur auf die Sitzordnung der 4 betrachteten Personen
> ankommt, können wir alle anderen weglassen, sie dienen nur
> als Statisten, um die Anzahl der Sitzplätze auf 11
> festzulegen.
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> Wir lassen daher unsere 4 Personen der Reihe nach den Raum
> betreten und betrachten nur die W. dafür, dass die
> Bedingung erfüllt wird.
>
> Frau A zieht im Vorraum eine Platznummer aus einer
> Lostrommel und setzt sich beliebig an den runden Tisch.
> Frau B zieht die nächste Nummer und setzt sich auf den
> gezogenen Platz. Von den noch 10 freien Plätzen sind nur 2
> (links und rechts von A) günstig, also beträgt die W.,
> dass bisher alles geklappt hat, 2/10 = 1/5
>
> Nun zieht der Mann C einen der verbliebenen 9 Plätze. 2
> davon sind neben den beiden Frauen, die anderen nicht. Also
> sitzen mit einer W. von 1/5 * 2/9 alle 3 nebeneinander und
> mit einer W. von 1/5 * 7/9 der Mann C von den Frauen
> getrennt.
>
> Nun zieht D eine Platzkarte. Im ersten Fall darf er von den
> verbliebenen 8 Plätzen nur nicht den neben C erwischen,
> die W. für diese Gesamtsituation beträgt somit
> 1/5 * 2/9 * 7/8; im 2. Fall darf er keinen der beiden
> freien Plätze neben C erwischen, die W. für diese
> Gesamtsituation beträgt somit
> 1/5 * 2/9 * 6/8. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das muss heißen: 1/5 * 7/9 * 6/8
> Auf die restlichen Plätze setzen sich
> nun unsere Statisten beliebig hin, das hat für den Ausgang
> keine Bedeutung mehr.
>
> Somit: W. = 14/360 + 12/360 = 13/180.
richtig: W. = 14/360 + 42/360 = 56/360 = 7/45
Ich bin durch eine etwas andere Überlegung zu diesem
Ergebnis gekommen: Sobald die beiden Frauen A und B
(mit p=2/10=1/5) nebeneinander platziert sind, können
wir sie zu einem Objekt Z zusammenfassen. Nun haben
wir also noch 10 Objekte, die um den Tisch platziert
werden sollen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Herren
C und D nebeneinander zu sitzen kommen, berechnet
sich jetzt analog wie vorher für die beiden Frauen zu 2/9
(weil ein Platz weniger zu verteilen ist). Damit erhalten
wir:
P(C nicht neben D | A neben B)
= 1-P(C neben D | A neben B) = 1-2/9 = 7/9
und somit
P(A neben B und C nicht neben D) = [mm] \frac{1}{5}*\frac{7}{9} [/mm] = [mm] \frac{7}{45}
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Aufgabe | Elf Personen gehen gemeinsam in ein Restaurant. Genau vier von ihnen (zwei Männer und zwei Frauen) haben keinen Hunger und bestellen deshalb nur etwas zu trinken. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den vier Personen ohne Hunger die zwei Frauen nebeneinander sitzen, die zwei Männer jedoch nicht,
a) wenn sich die Personen zufällig um einen runden Tisch setzen.
b) wenn sich die elf Personen zufällig nebeneinander an dieselbe Seite einer langen Tafel setzen. |
Vielen Dank für die Hilfe, vor allem auch für die Erklärung in Worten.
So langsam fällt mir auch wieder ein, warum ich früher immer den Weg über die Anzahl der Permutationen gemieden habe.
Die b) scheint einen Tick schwerer zu sein.
Frau A zieht im Vorraum eine Platznummer aus einer Lostrommel und setzt sich beliebig an die Tafel. Frau B zieht die nächste Nummer und setzt sich auf den gezogenen Platz.
Hier gibt es aber zwei Fälle:
- Wenn A auf der ersten oder letzten Position sitzt, gibt es jeweils nur eine Möglichkeit, dass A und B nebeneinandersitzen.
- Sitzt A aber auf einem der Plätze 2-10, dann gibt es jeweils zwei Möglichkeiten, dass sie nebeneinandersitzen.
Für den 1. Fall hätte ich 2*1/10 und für den 2. Fall 9*2/10. Insgesamt 2/10*18/10=36/10=3.6 dafür, dass A und B nebeneinandersitzen.
Allerdings kann 3.6 nicht stimmen, nur sehe ich nicht, was ich falsch mache?!
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand sagen könnte, wo der Fehler liegt.
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
EDIT:
Nachdem mir eingefallen ist, dass es für die Stochastik auch Bäume gibt, scheine ich zu einem brauchbaren Ergebnis gekommen zu sein.
Es wäre sehr nett, wenn sich jemand bei Gelegenheit meine angeheftete Zeichnung ansehen könnte. Mit 1/10 möchte ich die Situation ausdrücken, wenn A entweder auf der ersten oder auf der letzten Position Platz genommen hat. Mit 2/10 möchte ich die Situation ausdrücken, wenn A auf einem der Plätze 2-10 Platz genommen hat.
Nochmals vielen Dank für die Mühe!
Baum Teilaufgabe b)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Elf Personen gehen gemeinsam in ein Restaurant. Genau vier
> von ihnen (zwei Männer und zwei Frauen) haben keinen
> Hunger und bestellen deshalb nur etwas zu trinken. Wie
> groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den vier
> Personen ohne Hunger die zwei Frauen nebeneinander sitzen,
> die zwei Männer jedoch nicht,
>
> a) wenn sich die Personen zufällig um einen runden Tisch
> setzen.
> b) wenn sich die elf Personen zufällig nebeneinander an
> dieselbe Seite einer langen Tafel setzen.
>
>
> Vielen Dank für die Hilfe, vor allem auch für die
> Erklärung in Worten.
> So langsam fällt mir auch wieder ein, warum ich früher
> immer den Weg über die Anzahl der Permutationen gemieden
> habe.
>
> Die b) scheint einen Tick schwerer zu sein.
>
> Frau A zieht im Vorraum eine Platznummer aus einer
> Lostrommel und setzt sich beliebig an die Tafel. Frau B
> zieht die nächste Nummer und setzt sich auf den gezogenen
> Platz.
> Hier gibt es aber zwei Fälle:
> - Wenn A auf der ersten oder letzten Position sitzt, gibt
> es jeweils nur eine Möglichkeit, dass A und B
> nebeneinandersitzen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> - Sitzt A aber auf einem der Plätze 2-10, dann gibt es
> jeweils zwei Möglichkeiten, dass sie nebeneinandersitzen.
>
> Für den 1. Fall hätte ich 2*1/10 und für den 2. Fall
> 9*2/10. Insgesamt 2/10*18/10=36/10=3.6
Die Wahrscheinlichkeit, dass A am Rand sitzt, ist nicht
2, sondern [mm] \frac{2}{11} [/mm] !
Ferner:
die resultierenden Teilwahrscheinlichkeiten musst du
natürlich nicht multiplizieren, sondern addieren !
> dafür, dass A und B nebeneinandersitzen.
>
> Allerdings kann 3.6 nicht stimmen, nur sehe ich nicht, was
> ich falsch mache?!
>
> Es wäre sehr nett, wenn mir jemand sagen könnte, wo der
> Fehler liegt.
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
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| Aufgabe | Elf Personen gehen gemeinsam in ein Restaurant. Genau vier von ihnen (zwei Männer und zwei Frauen) haben keinen Hunger und bestellen deshalb nur etwas zu trinken. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den vier Personen ohne Hunger die zwei Frauen nebeneinander sitzen, die zwei Männer jedoch nicht,
a) wenn sich die Personen zufällig um einen runden Tisch setzen.
b) wenn sich die elf Personen zufällig nebeneinander an dieselbe Seite einer langen Tafel setzen. |
Hi Al,
vielen Dank für Deine Geduld und Hilfe.
Anbei erneut eine Zeichnung und ich hoffe, dass diesmal alles stimmt...
Update b)
Gruß
el_grecco
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Elf Personen gehen gemeinsam in ein Restaurant. Genau vier
> von ihnen (zwei Männer und zwei Frauen) haben keinen
> Hunger und bestellen deshalb nur etwas zu trinken. Wie
> groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den vier
> Personen ohne Hunger die zwei Frauen nebeneinander sitzen,
> die zwei Männer jedoch nicht,
> b) wenn sich die elf Personen zufällig nebeneinander an
> dieselbe Seite einer langen Tafel setzen.
Hallo,
anstatt deinen Baum durchzuchecken (das macht vielleicht
ein anderer hilfreicher Geist noch), möchte ich auch hier
eine etwas kürzere Lösung angeben.
Die Wahrscheinlichkeit, dass A und B beieinander sitzen,
ist gleich 2/11. Dies kann man sich auf verschiedenen
Wegen überlegen, z.B. auch anhand deines Baumes.
Wieder legen wir nun A und B zu einem kombinierten
Objekt Z zusammen und haben also dem Tisch entlang
jetzt noch 10 Plätze für die "Objekte" C,D,E,F,G,H,I,J,K,Z.
Die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass nun auch C und D
nebeneinander sitzen würden, ist (analog wie für A und B
gerade berechnet) gleich 2/10 . Mit der bedingten W'keit
1-2/10=8/10=4/5 sitzen sie nicht nebeneinander.
Insgesamt ergibt sich:
P(A neben B und C nicht neben D) = [mm] \frac{2}{11}*\frac{4}{5} [/mm] = [mm] \frac{8}{55} [/mm]
Dieses Ergebnis stimmt nicht damit überein, was du
am Baum berechnet hast.
Meiner Meinung nach solltest du bei deiner Vorgehensweise
mit dem Baum, nachdem A und B beieinander platziert
sind, auch danach unterscheiden, ob diese zwei Personen
A und B (bzw. das "kombinierte Objekt Z") am Rand oder
nicht am Rand sitzen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 So 08.05.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Al,
> Dieses Ergebnis stimmt nicht damit überein, was du
> am Baum berechnet hast.
> Meiner Meinung nach solltest du bei deiner Vorgehensweise
> mit dem Baum, nachdem A und B beieinander platziert
> sind, auch danach unterscheiden, ob diese zwei Personen
> A und B (bzw. das "kombinierte Objekt Z") am Rand oder
> nicht am Rand sitzen.
ich habe nach dem unteren Anfangszweig die Unterscheidung "B am Rand" und "B innen" gemacht und erhalte dann 545/3168 ~ 14.55 %. Mitte der Woche findet die Übung statt und ich bin mal gespannt, wie die die Aufgabe lösen werden.
Vielen Dank für Deine Hilfe und einen guten Start in die neue Woche!
> LG Al-Chw.
Gruß
el_grecco
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> Hallo Al,
>
> > Dieses Ergebnis stimmt nicht damit überein, was du
> > am Baum berechnet hast.
> > Meiner Meinung nach solltest du bei deiner
> Vorgehensweise
> > mit dem Baum, nachdem A und B beieinander platziert
> > sind, auch danach unterscheiden, ob diese zwei
> Personen
> > A und B (bzw. das "kombinierte Objekt Z") am Rand oder
> > nicht am Rand sitzen.
>
> ich habe nach dem unteren Anfangszweig die Unterscheidung
> "B am Rand" und "B innen" gemacht und erhalte dann
> 545/3168 ~ 14.55 %. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
das stimmt aber rechnerisch gar nicht. Der Wert 14.55%
entspricht jedoch meinem Ergebnis 8/55 !
> Mitte der Woche findet die Übung statt und ich
> bin mal gespannt, wie die die Aufgabe lösen werden.
>
> Vielen Dank für Deine Hilfe und einen guten Start in die
> neue Woche!
Danke, ebenfalls !
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