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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Ansatz Differentialgleichung
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Ansatz Differentialgleichung: "Frage"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Di 24.06.2008
Autor: Dagobert

hallo!
ich hätte ne frage zum folgenden beispiel:
[Dateianhang nicht öffentlich]

hab da mal so begonnen:

[mm] \lambda^2-18*\lambda+81=0 [/mm] --> [mm] \lambda_{1,2}=+9 [/mm]

daraus ergibt sich:

[mm] y_H=C_1*e^{9*x}+C_2*x*e^{9*x} [/mm]

nur beim partikülären hab ich jetzt nicht viel plan da ich ja sin und cos im rechten term habe, bzw was ich dann mit [mm] 12*e^{9*x}*x+4*e^{9*x} [/mm] machen muss.

vielleicht kann mir da jemand helfen den ansatz zu finden, danke

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Ansatz Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 Di 24.06.2008
Autor: Martinius

Hallo Dagobert,

> hallo!
> ich hätte ne frage zum folgenden beispiel:
>  [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> hab da mal so begonnen:
>  
> [mm]\lambda^2-18*\lambda+81=0[/mm] --> [mm]\lambda_{1,2}=+9[/mm]
>  
> daraus ergibt sich:
>  
> [mm]y_H=C_1*e^{9*x}+C_2*x*e^{9*x}[/mm]
>  
> nur beim partikülären hab ich jetzt nicht viel plan da ich
> ja sin und cos im rechten term habe, bzw was ich dann mit
> [mm]12*e^{9*x}*x+4*e^{9*x}[/mm] machen muss.
>
> vielleicht kann mir da jemand helfen den ansatz zu finden,
> danke


Versuche einmal

[mm] $y_p=x^2*e^{9x}*(A*x+B)+e^{4x}*(D*cos(7x)+E*sin(7x))$ [/mm]

; ich bin mir im Moment nicht sicherwegen dem [mm] x^2; [/mm] wenn ich es nachgerechnet habe melde ich mich noch einmal.

LG, Martinius

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Bezug
Ansatz Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:16 Di 24.06.2008
Autor: Martinius

Hallo Dagobert,

der Ansatz war richtig.

Die partikuläre Lösung lautet dann:

[mm] $y_p=e^{9x}*(2*x^3+2*x^2)+e^{4x}*(2*sin(7x)+2*cos(7x))$ [/mm]

Die Lösungsansätze bei verschiedenen Störfunktionen kannst Du nachlesen in L. Papula, Mathematik für Ingenieure & Naturwissenschaftler, Bd. II.


LG, Martinius

Bezug
                        
Bezug
Ansatz Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:12 Mi 25.06.2008
Autor: Dagobert

hallo!

danke dir, also ich hab das mal so angefangt:

[mm] y_H=C_1*e^{9*x}+C_2*x*e^{9*x} [/mm]

[mm] y_P=x^2*e^{9*x}*(A*x+B)+e^{4*x}*(D*cos(7*x)+E*sin(7*x)) [/mm]

[mm] y'_P=2*x*e^{9*x}*(A*x+B)+9*x^2*e^{9*x}*(A*x+b)+x^2*e^{9*x}*A+e^{4*x}*(D*cos(7*x)+E*sin(7*x)) [/mm]

[mm] y''_P=2*e^{9*x}*(A*x+B)+36*x*e^{9*x}*(A*x+B)+4*x*e^{9*x}*A+81*x^2*e^{9*x}*(A*x+B)+18*x^2*e^{9*x}*A+4*e^{4*x}*(D*cos(7*x)*E*sin(7*x))+e^{4*x}*(-7*D*sin(7*x)+7*E*cos(7*x)) [/mm]

das hab ich dann eingsetzt und bisschen vereinfacht und komme auf:

[mm] 67*e^{4*x}*D*cos(7*x)+67*e^{4*x}*E*sin(7*x)+2*e^{9*x}*A*x+2*e^{9*x}*B+4*x*e^{9*x}*A-7*e^{4*x}*D*sin(7*x)+7*e^{4*x}*cos(7*x)=12*e^{9*x}*x+4*e^{9*x}-188*e^{4*x}*cos(7*x)+92*e^{4*x}*sin(7*x) [/mm]

nur jetzt komme ich irgendwie nicht weiter wie ich da nen koeffizientenvergleich machen kann um A, B, C und D ausrechnen zu können. Vielleicht könnte mir da jemand helfen

danke

Bezug
                                
Bezug
Ansatz Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Mi 25.06.2008
Autor: Martinius

Hallo Dagobert,

ich betrachte einmal nur den exponentiellem Ansatz mit [mm] Q(x)*e^{9x}: [/mm]


[mm] $y_p=e^{9x}*(Ax^3+Bx^2)$ [/mm]

[mm] $y_p'=e^{9x}*(9A*x^3+(3A+9B)*x^2+2B*x)$ [/mm]

[mm] $y_p''=e^{9x}*(81A*x^3+(54A+81B)*x^2+(6A+36B)*x+2B)$ [/mm]


Das nun in die inhomogene DGL einsetzen:

[mm] $y''-18*y'+81y=e^{9x}*(12x+4)$ [/mm]

[mm] $e^{9x}*((81A-162A+81A)*x^3+(54A-54A+81B-162B+81B)*x^2+(6A+36B-36B)*x+2B)=e^{9x}*(12x+4)$ [/mm]

6A = 12

2B = 4

[mm] \gdw [/mm]  A=2   und   B=2


Dasselbe machst Du nun mit deinem trigonometrischen Funktionen:

[mm] $y_p=e^{4x}*(D*cos(7x)+E*sin(7x))$ [/mm]

$y'_p=$...

$y''_p=$...

Einsetzen in die inhomogene DGL:

[mm] $y''-18*y'+81y=e^{4x}*(92*sin(7x)-188*cos(7x))$ [/mm]

Dann kommt heraus:

[mm] $e^{4x}*((-24D-70E)*cos(7x)+(70D-24E)*sin(7x))=e^{4x}*(92*sin(7x)-188*cos(7x))$ [/mm]


LG, Martinius



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Ansatz Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 Mi 25.06.2008
Autor: Dagobert

hallo!

vielen dank, hab das eben nochmal alles durchgerechnet und soweit verstanden, habe nur noch eine kleine frage. und zwar warum beim exponentiellen ansatz [mm] y_P=e^{9*x}*(A*x^3+B*x^2) [/mm] . . .  [mm] x^3 [/mm] und [mm] x^2 [/mm] steht? Und nicht [mm] e^{9*x}*(A*x+B)? [/mm] also warum man vor  [mm] e^{9*x} [/mm] noch ein [mm] x^2 [/mm] hat.

danke

Bezug
                                                
Bezug
Ansatz Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 Mi 25.06.2008
Autor: Martinius

Hallo Dagobert,

hol dir doch einmal den []Papula, Bd. II (s.o.) aus deiner Uni-Bibliothek; für bspw. Chemie-Studenten im Grundstudium ist der völlig ausreichend. Mehr als da drin steht weiß ich auch nicht - ich bin ja (leider) kein Mathematiker.

Da drin findest Du unter anderem eine Tabelle:

-wenn die Störfunktion eine Exponentialfunktion ist: [mm] e^{c*x}, [/mm] dann ist der Lösungsansatz:

1.) wenn c keine Lösung der charakteristischen Gleichung ist:

[mm] $y_p=A*e^{c*x}$ [/mm]

2.) wenn c eine einfache Lösung der charakteristischen Gleichung ist:

[mm] $y_p=A*x*e^{c*x}$ [/mm]

3.) wenn c eine doppelte Lösung der charakteristischen Gleichung ist:

[mm] $y_p=A*x^2*e^{c*x}$ [/mm]


Bei deiner DGL ist 3.) der Fall: 9 ist eine doppelte Lösung der charakteristischen Gleichung der homogenen DGL.


LG, Martinius


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