Ansatz für ein Volumen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mi 13.03.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
ich hätte eine Frage zu einem Ansatz in Sachen Volumenbestimmung. Ich bin mir zwar relativ sicher, aber ihr könntet mir mit einer Bestätigung bzw. Widerlegung meiner Überlegung heute mal ziemlich helfen. 
Es sei ein ursprünglich prismatischer Körper gegeben, von dem an einer der Längsseiten durch einen geraden Schnitt ein Stück abgeschnitten ist, das man wohl am besten als keilförmig bezeichnen kann. Wähle ich die x-Achse so, dass sie in Richtung der Höhe des (ursprünglichen) Prismas verläuft, so kann ich grundsätzlich die Schnittflächen, die bei einem parallelen Schnitt zur Grundfläche entstehen, als Funktion A(x) beschreiben. Allerdings sind diese Schnittflächen zueinander nicht ähnlich.
Folgende Skizze soll die Situation etwas verdeutlichen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zu bestimmen ist das Volumen. Für mich spricht nichts dagegen, die infinitesimalen Flächenscheiben orthoganal zur x-Achse auzusummieren und das Volumen einfach durch
[mm] V=\integral_{L}{A(x) dx}
[/mm]
zu bestimmen, wobei L der Integrationsbereich entlang der x-Achse sein soll.
Gibt es irgendetwas, was gegen diesen Ansatz spricht, oder ist er (wie ich vermute) richtig?
Sollte es doch falsch sein, dann läuft es ja wohl auf ein Dreifach-Integral hinaus?
Vielen Dank im Voraus für jede Antwort!
Gruß, Diophant
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Diophant,
ein Dreifachintegral scheint hier in der Tat unnötig zu sein.
> ich hätte eine Frage zu einem Ansatz in Sachen
> Volumenbestimmung. Ich bin mir zwar relativ sicher, aber
> ihr könntet mir mit einer Bestätigung bzw. Widerlegung
> meiner Überlegung heute mal ziemlich helfen.
>
> Es sei ein ursprünglich prismatischer Körper gegeben, von
> dem an einer der Längsseiten durch einen geraden Schnitt
> ein Stück abgeschnitten ist, das man wohl am besten als
> keilförmig bezeichnen kann.
Wie dieses (nun fehlende) Stück aussieht, erschließt sich mir allerdings aus der Skizze nicht...
> Wähle ich die x-Achse so,
> dass sie in Richtung der Höhe des (ursprünglichen)
> Prismas verläuft, so kann ich grundsätzlich die
> Schnittflächen, die bei einem parallelen Schnitt zur
> Grundfläche entstehen, als Funktion A(x) beschreiben.
> Allerdings sind diese Schnittflächen zueinander nicht
> ähnlich.
>
> Folgende Skizze soll die Situation etwas verdeutlichen:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Zu bestimmen ist das Volumen. Für mich spricht nichts
> dagegen, die infinitesimalen Flächenscheiben orthoganal
> zur x-Achse auzusummieren und das Volumen einfach durch
>
> [mm]V=\integral_{L}{A(x) dx}[/mm]
>
> zu bestimmen, wobei L der Integrationsbereich entlang der
> x-Achse sein soll.
>
> Gibt es irgendetwas, was gegen diesen Ansatz spricht, oder
> ist er (wie ich vermute) richtig?
Wenn die Funktion A(x) bekannt oder leicht aufzustellen ist, dann spricht nichts gegen diesen Ansatz - im Gegenteil: er ist sehr praktikabel.
> Sollte es doch falsch sein, dann läuft es ja wohl auf ein
> Dreifach-Integral hinaus?
Das wird ja keine Vereinfachung bringen.
Was ich mich aber noch frage ist, ob es nicht noch einfacher sein könnte, das Volumen des abgeschnittenen Stücks (womöglich ohne Integration) zu bestimmen und einfach vom Volumen des Prismas zu subtrahieren. Aber vielleicht habe ich ja nur nicht verstanden, wie der Schnitt verläuft.
Herzliche Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mi 13.03.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo reverend,
vielen Dank für deine rasche Antwort.
> Wie dieses (nun fehlende) Stück aussieht, erschließt sich
> mir allerdings aus der Skizze nicht...
Hier habe ich mal das fehlende Stück durch gestrichelte Kanten dazu ergänzt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Außerdem ist noch zu ergänzen, dass Grund- und Deckfläche sowie jede der Schnittflächen A(x) Trapeze sind.
> >
> > Zu bestimmen ist das Volumen. Für mich spricht nichts
> > dagegen, die infinitesimalen Flächenscheiben orthoganal
> > zur x-Achse auzusummieren und das Volumen einfach durch
> >
> > [mm]V=\integral_{L}{A(x) dx}[/mm]
> >
> > zu bestimmen, wobei L der Integrationsbereich entlang der
> > x-Achse sein soll.
> >
> > Gibt es irgendetwas, was gegen diesen Ansatz spricht, oder
> > ist er (wie ich vermute) richtig?
>
> Wenn die Funktion A(x) bekannt oder leicht aufzustellen
> ist, dann spricht nichts gegen diesen Ansatz - im
> Gegenteil: er ist sehr praktikabel.
>
> > Sollte es doch falsch sein, dann läuft es ja wohl auf ein
> > Dreifach-Integral hinaus?
>
> Das wird ja keine Vereinfachung bringen.
> Was ich mich aber noch frage ist, ob es nicht noch
> einfacher sein könnte, das Volumen des abgeschnittenen
> Stücks (womöglich ohne Integration) zu bestimmen und
> einfach vom Volumen des Prismas zu subtrahieren. Aber
> vielleicht habe ich ja nur nicht verstanden, wie der
> Schnitt verläuft.
>
Das sehe ich nicht, denn das abgeschnittene Stück lässt sich nach meinem Dafürhalten auch nicht so einfach in elementare Körper zerlegen. Wenn hier irgendetwas spitz zulaufen würde, wäre es natürlich leicht, aber das tut es nicht. Oder täusche ich mich an dieser Stelle?
Aber dein Feedback reicht mir im Prinzip aus. Ich werde mich mal an die Arbeit machen und wenn ich fertig bin, das ganze samt genauerer Beschreibung und Rechnung nochmals vorstellen.
Besten Dank und Grüße, Diophant
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Diophant,
ich versuche mal einen relativ allgemeinen Zugang
(top-down-Methode) zu deiner Frage. Die Quer-
schnittsfläche A(x) ergibt sich als $\ A(x)\ =\ m(x)*h(x)$ ,
wobei m(x) für die Mittellinie und h(x) für die Höhe
des Querschnittstrapezes an der Stelle x steht.
Offensichtlich sind sowohl m(x) als auch h(x) durch
lineare Funktionen von x gegeben.
A(x) ist demnach eine quadratische Funktion in x
und V(x) = [mm] $\integral_0^x A(\xi)\,d\xi [/mm] $ eine kubische Funktion in x.
Für die konkrete Rechnung fragt sich jetzt noch,
welche Daten als bekannt vorausgesetzt werden
können.
Wegen V(0)=0 brauchst du noch 3 konkrete Zahlen-
werte (also etwa A(0), A(L) und A(L/2)), um
zum Ziel zu kommen.
LG , Al-Chw.
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> Hallo Al,
>
> verstehe ich dich da richtig, du hast einen schwäbischen
> Astronomen im Sinn, der sich unter anderem auch mit
> Weinfässern beschäftigt hat?
>
> Daran dachte ich noch gar nicht, das haut dem Fass
> sozusagen den Boden aus. 
>
> Gruß, Diophant
Hallo Diophant,
ich habe noch gar nicht dran gedacht, dass das
die Idee hinter der Fassregel sein könnte.
Mit Weinfässern habe ich mich bisher noch kaum
direkt beschäftigt - eher mit deren Inhalt.
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:40 Do 14.03.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Al,
> > Hallo Al,
> >
> > verstehe ich dich da richtig, du hast einen schwäbischen
> > Astronomen im Sinn, der sich unter anderem auch mit
> > Weinfässern beschäftigt hat?
> >
> > Daran dachte ich noch gar nicht, das haut dem Fass
> > sozusagen den Boden aus.
> >
> > Gruß, Diophant
>
>
> Hallo Diophant,
>
> ich habe noch gar nicht dran gedacht, dass das
> die Idee hinter der Fassregel sein könnte.
Nein, ist sie auch nicht. Aber das was du vorgeschlagen hast ist ja nichts anderes als die Tatsachen, dass die Fassregel im Fall von ganzrationalen Funktionen 2. (trivial) und 3. Ordnung exakte Ergebnisse liefert und eben keine Näherungen.
> Mit Weinfässern habe ich mich bisher noch kaum
> direkt beschäftigt - eher mit deren Inhalt.
Ja, der enthält ja auch viel mehr Wahrheit.
Grüße nochmals und besten Dank, Diophant
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> > Mit Weinfässern habe ich mich bisher noch kaum
> > direkt beschäftigt - eher mit deren Inhalt.
>
> Ja, der enthält ja auch viel mehr Wahrheit.
Ach ja, natürlich ! Jetzt dämmert mir endlich mal
so richtig, woher ich meine Weisheit habe ...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Mi 13.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich hätte eine Frage zu einem Ansatz in Sachen
> Volumenbestimmung. Ich bin mir zwar relativ sicher, aber
> ihr könntet mir mit einer Bestätigung bzw. Widerlegung
> meiner Überlegung heute mal ziemlich helfen.
>
> Es sei ein ursprünglich prismatischer Körper gegeben, von
> dem an einer der Längsseiten durch einen geraden Schnitt
> ein Stück abgeschnitten ist, das man wohl am besten als
> keilförmig bezeichnen kann. Wähle ich die x-Achse so,
> dass sie in Richtung der Höhe des (ursprünglichen)
> Prismas verläuft, so kann ich grundsätzlich die
> Schnittflächen, die bei einem parallelen Schnitt zur
> Grundfläche entstehen, als Funktion A(x) beschreiben.
> Allerdings sind diese Schnittflächen zueinander nicht
> ähnlich.
>
> Folgende Skizze soll die Situation etwas verdeutlichen:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Zu bestimmen ist das Volumen. Für mich spricht nichts
> dagegen, die infinitesimalen Flächenscheiben orthoganal
> zur x-Achse auzusummieren und das Volumen einfach durch
>
> [mm]V=\integral_{L}{A(x) dx}[/mm]
>
> zu bestimmen, wobei L der Integrationsbereich entlang der
> x-Achse sein soll.
>
> Gibt es irgendetwas, was gegen diesen Ansatz spricht, oder
> ist er (wie ich vermute) richtig?
Der Ansatz ist richtig.
Das ist gerade dss Prinzip von Cavalieri
http://de.wikipedia.org/wiki/Prinzip_von_Cavalieri
Gruß FRED
>
> Sollte es doch falsch sein, dann läuft es ja wohl auf ein
> Dreifach-Integral hinaus?
>
> Vielen Dank im Voraus für jede Antwort!
>
>
> Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:43 Do 14.03.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
auch dir vielen Dank für deine Rückmeldung. Ich war mir eigentlich auch zu 99,9% sicher, aber eben nicht ganz: denn wie schon gesagt ist es in diesem Fall so, dass die einzelnen Schnittflächen noch nicht einmal ähnlich sind. Aber das macht natürlich nichts aus, das ist mir jetzt bei genauerem Nachdenken auch klar geworden.
Grüße&schönen Tag, Diophant
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Prinzip vom Cavaliere ?
Nee, das glaub ich jetzt aber wirklich nicht, dass der
auch noch in Mathe irgendwo seine Finger drin hatte ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Do 14.03.2013 | | Autor: | Diophant |
> Prinzip vom Cavaliere ?
>
> Nee, das glaub ich jetzt aber wirklich nicht, dass der
> auch noch in Mathe irgendwo seine Finger drin hatte ...
Doche: weile die Cavaliere isse die leeetze Universale-Senie in die Menscheitsgesichte!
Ciao, Diophaaante
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Do 14.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Prinzip vom Cavaliere ?
>
> Nee, das glaub ich jetzt aber wirklich nicht, dass der
> auch noch in Mathe irgendwo seine Finger drin hatte ...
Passend zum Thema:
Berlusconi und der Papst sterben an ein und demselben Tag. Und durch einen administrativen Irrtum wird der Papst in die Hölle und Berlusconi in den Himmel geschickt.
Der Fehler wird natürlich schnell bemerkt, und die beiden treffen sich auf dem Weg unterwegs im Fahrstuhl, der eine nach oben, der andere nach unten.
Der Papst: "Gut, dass sie den Fehler noch rechtzeitig bemerkt haben, ich freu' mich wirklich darauf, die Jungfrau Maria kennen zu lernen."
Darauf Berlusconi: "Ich fürchte, da kommen Sie 20 Minuten zu spät..."?
FRED
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"Il Principe"