Anstieg und Richtung bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Man bestimme die Richtung, in welcher die durch [mm] f(x,y)=x^3-x^2y+2(x-y) [/mm] gegebene Fläche im Punkt (0,0) den stärksten Anstieg hat. Wie groß ist der Anstieg in dieser Richtung? |
Ich hab sowas noch nie gemacht und wurschtel mit dem, was ich mir so aus verschiedenen Quellen gefunden habe, durch.
Ich beginne mit den partiellen Ableitungen:
[mm] f_{x}(x,y)=3x^2-2xy+2
[/mm]
[mm] f_{y}(x,y)=-x^2-2
[/mm]
Der Gradient von f wird als Vektor der der partiellen Ableitungen geschrieben
[mm] grad(f)=\vektor{3x^2-2xy+2 \\ -x^2-2}
[/mm]
dann hab ich irgendwo stehen sehen, dass der Betrag des Gradienten das Maß für die Steigung ist
[mm] \Rightarrow m=\wurzel{(3x^2-2xy+2)^2+(-x^2-2)^2}= [/mm] ich setze jetzt einfach mal den Punkt ein = [mm] \wurzel{(2)^2+(-2)^2}=\wurzel{8}
[/mm]
Sollte man das so rechnen können, dann ist die Steigung [mm] \wurzel{8}.
[/mm]
Jetzt weiß ich aber nicht wie ich die RICHTUNG einer Ableitung bestimmen kann. was ich bis jetzt gemacht habe, ist für die Richtungsableitung den Gradient mit der gegebenen Richtung zu multiplizieren. Diese Richtung muss ich aber jetzt rausfinden...
|
|
| |
|
Hallo celeste16,
> Man bestimme die Richtung, in welcher die durch
> [mm]f(x,y)=x^3-x^2y+2(x-y)[/mm] gegebene Fläche im Punkt (0,0) den
> stärksten Anstieg hat. Wie groß ist der Anstieg in dieser
> Richtung?
> Ich hab sowas noch nie gemacht und wurschtel mit dem, was
> ich mir so aus verschiedenen Quellen gefunden habe, durch.
>
> Ich beginne mit den partiellen Ableitungen:
Das ist immer gut 
>
> [mm]f_{x}(x,y)=3x^2-2xy+2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]f_{y}(x,y)=-x^2-2[/mm]
>
> Der Gradient von f wird als Vektor der der partiellen
> Ableitungen geschrieben
> [mm]grad(f)=\vektor{3x^2-2xy+2 \\
-x^2-2}[/mm]
>
> dann hab ich irgendwo stehen sehen, dass der Betrag des
> Gradienten das Maß für die Steigung ist
> [mm]\Rightarrow m=\wurzel{(3x^2-2xy+2)^2+(-x^2-2)^2}=[/mm] ich
> setze jetzt einfach mal den Punkt ein =
> [mm]\wurzel{(2)^2+(-2)^2}=\wurzel{8}[/mm]
>
> Sollte man das so rechnen können, dann ist die Steigung
> [mm]\wurzel{8}.[/mm]
>
> Jetzt weiß ich aber nicht wie ich die RICHTUNG einer
> Ableitung bestimmen kann. was ich bis jetzt gemacht habe,
> ist für die Richtungsableitung den Gradient mit der
> gegebenen Richtung zu multiplizieren. Diese Richtung muss
> ich aber jetzt rausfinden...
Na, der Gradient von [mm]f[/mm] an einer Stelle [mm](x_0,y_0)[/mm] ist doch der Vektor, der in die Richtung des steilsten Ansteigs (von der Stelle aus) zeigt.
Gesucht ist also [mm]\operatorname{grad}(f(0,0))=\nabla f(0,0)[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
also muss ich einfach nur den Punkt in den Gradienten einsetzen?
[mm] grad(f(0,0))=\vektor{2\\-2}
[/mm]
Dann habe ich noch ne Frage zu der Richtungsableitung (gibt es dafür ein "offizielles" Zeichen?). Ich habe gesehen, dass man die so errechnet:
grad(Punkt)*(Richtungsvektor)
Hier also:
[mm] \pmat{2&-)}*\vektor{2\\-2}=4+4=8
[/mm]
der Richtungsvektor muss noch normiert werden: [mm] \wurzel{4+4}=\wurzel{8} [/mm]
Die Richtungsableitrung an dem Punkt in die Richtung [mm] \vektor{2\\-2} [/mm] ist [mm] \bruch{8}{\wurzel{8}}=\wurzel{8}
[/mm]
Wirkt irgendwie doppeltgemoppelt, oder ist das diesem Beispiel geschuldet? Bzw. habe ich in irgendeinem Schritt vorher schonmal die Richtungsableitung berechnet (ergo: ist die Richtungsableitung der Anstieg?) und es nicht gewusst?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Di 07.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Richtungsableitung von f in [mm] (x_0,y_0) [/mm] in Richtung u ($||u||=1$) schreibt man so:
[mm] $\bruch{ \partial f}{\partial u}(x_0,y_0)$
[/mm]
Ist f in [mm] (x_0,y_0) [/mm] differenzierbar, so gilt:
[mm] $\bruch{ \partial f}{\partial u}(x_0,y_0)= gradf(x_0,y_0)*u$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
ich habe jetzt dazu noch eine Frage:
wie zeige ich, dass im Punkt (0,0) alle Richtungsableitungen von f existieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Di 07.12.2010 | | Autor: | fred97 |
f ist in (0,0) (total) differenzierbar.
FRED
|
|
|
| |
|
:D es tut mir leid, aber diese Frage muss jetzt kommen: und wie zeige ich das?
über [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)}\bruch{f(x,y)-f(x_0,y_0)}{(x,y)-(x_0,y_0)} [/mm] wird sich das ja nicht zeigen lassen....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Di 07.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> :D es tut mir leid, aber diese Frage muss jetzt kommen: und
> wie zeige ich das?
>
> über
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)}\bruch{f(x,y)-f(x_0,y_0)}{(x,y)-(x_0,y_0)}[/mm]
> wird sich das ja nicht zeigen lassen....
Mir wird speiübel ! Du dividierst durch Vektoren !!!
Wie habt Ihr denn Differenzierbarkeit von Funktionen mit mehreren Var. definiert ?
FRED
|
|
|
| |
|
na dann lag ich ja zumindest richtig in meiner vermutung, dass das nicht hinhauen kann ;)
ich habe stehen:
eine komische Formel stehen, aber auch dass f total differenzierbar ist, wenn alle partiellen Ableitungen existieren und diese stetig in [mm] x_0 [/mm] sind.
da ich zumindest die Stetigkeit einigermaßen hinkriege, würde ich es darüber machen
die "komische Formel" wäre: [mm] f(x)=f(x_0)+a(x-x_0)+R(x), [/mm] wobei [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{R(x)}{\vmat{x-x_0}}=0 [/mm] und a ein Vektor ist
Die existenz der partiellen Ableitungen hab ich gezeigt und die Stetigkeit liegt auch vor....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Di 07.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> na dann lag ich ja zumindest richtig in meiner vermutung,
> dass das nicht hinhauen kann ;)
>
> ich habe stehen:
> eine komische Formel stehen, aber auch dass f total
> differenzierbar ist, wenn alle partiellen Ableitungen
> existieren und diese stetig in [mm]x_0[/mm] sind.
>
> da ich zumindest die Stetigkeit einigermaßen hinkriege,
> würde ich es darüber machen
>
> die "komische Formel" wäre: [mm]f(x)=f(x_0)+a(x-x_0)+R(x),[/mm]
> wobei [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{R(x)}{\vmat{x-x_0}}=0[/mm]
> und a ein Vektor ist
>
> Die existenz der partiellen Ableitungen hab ich gezeigt und
> die Stetigkeit liegt auch vor....
Dann hast Du es doch .....
FRED
>
|
|
|
|
