Anwendung Cardano < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 So 14.09.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo liebe Mathefreunde,
könnt ihr mir bei folgenden Anwendungen von den Cardanoschen Formeln bzw. von Lösungsverfahren bei Gleichungen mit Polynomen vom dritten Grad helfen?!? *please*
Also,
ich soll die reelle Lösung von [mm] x^{3} [/mm] - 6x - 6 = 0 berechnen. Dies habe ich so gemacht:
[mm] \wurzel[3]{3+\wurzel {9-8}} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{3-\wurzel {9-8}}
[/mm]
[mm] =\wurzel[3]{4} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{2}
[/mm]
Stimmt das so?
Hieran sehe ich ja dann schon, dass die Lösung reell ist und nicht komplex konjugiert, oder?
Vielen Dank!
Liebe Grüße
Kittycat
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 So 14.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kittycat!
Das ist eine der insgesamt 3 Lösungen. Es gibt noch zwei weitere Lösungen für ![[]](/images/popup.gif) D > 0 mit:
[mm] $$x_{2,3} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{u+v}{2}\pm\bruch{u-v}{2}*\wurzel{3}*i [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{\wurzel[3]{4}+\wurzel[3]{2}}{2}\pm\bruch{\wurzel[3]{4}-\wurzel[3]{2}}{2}*\wurzel{3}*i [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo kittycat,
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> könnt ihr mir bei folgenden Anwendungen von den
> Cardanoschen Formeln bzw. von Lösungsverfahren bei
> Gleichungen mit Polynomen vom dritten Grad helfen?!?
> *please*
>
> Also,
> ich soll die reelle Lösung von [mm]x^{3}[/mm] - 6x - 6 = 0
> berechnen. Dies habe ich so gemacht:
>
> [mm]\wurzel[3]{3+\wurzel {9-8}}[/mm] + [mm]\wurzel[3]{3-\wurzel {9-8}}[/mm]
>
> [mm]=\wurzel[3]{4}[/mm] + [mm]\wurzel[3]{2}[/mm]
Nach Wikipedia ergeben sich so alle 3 Lösungen, auch die konjugiert komplexen.
>
> Stimmt das so?
> Hieran sehe ich ja dann schon, dass die Lösung reell ist
> und nicht komplex konjugiert, oder?
>
> Vielen Dank!
>
> Liebe Grüße
> Kittycat
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 So 14.09.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
ja, die Formeln die kenne ich schon ... aber trotzdem danke für den Link.
Meine Frag war eigentlich, ob meine reelle Lösung richtig ist, d.h. ob ich die Formeln richtig angewandt habe?
Ich hätte aber dann auch zugleich noch eine andere Aufgabenstellung und Frage:
Die Diskriminante von [mm] x^{3} [/mm] - 8x - 3 = 0 wäre doch [mm] \bruch{-1805}{108}, [/mm] oder? Das heißt alle drei Nullstellen sind reeell. Wenn ich jetzt aber die drei NS berechnen wollt, wie löse ich [mm] \wurzel{\bruch{-1805}{108}} [/mm] ohne einen Taschenrechner oder Computer? Geht das überhaupt?
Sorry, ich schätze die Formeln sind eigentlich easy, aber irgendwie bin ich mir bei der Anwendung noch nicht soooo sicher :-(
Dankeschön.
Lg Kittycat
|
|
|
| |
|
Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
>
> ja, die Formeln die kenne ich schon ... aber trotzdem danke
> für den Link.
>
> Meine Frag war eigentlich, ob meine reelle Lösung richtig
> ist, d.h. ob ich die Formeln richtig angewandt habe?
Sicher, die Formel hast Du richtig angewandt.
>
> Ich hätte aber dann auch zugleich noch eine andere
> Aufgabenstellung und Frage:
> Die Diskriminante von [mm]x^{3}[/mm] - 8x - 3 = 0 wäre doch
> [mm]\bruch{-1805}{108},[/mm] oder? Das heißt alle drei Nullstellen
> sind reeell. Wenn ich jetzt aber die drei NS berechnen
> wollt, wie löse ich [mm]\wurzel{\bruch{-1805}{108}}[/mm] ohne einen
> Taschenrechner oder Computer? Geht das überhaupt?
[mm]\wurzel{-\bruch{1805}{108}}=\wurzel{-1}\wurzel{\bruch{1805}{108}}=i*\wurzel{\bruch{1805}{108}}[/mm]
>
> Sorry, ich schätze die Formeln sind eigentlich easy, aber
> irgendwie bin ich mir bei der Anwendung noch nicht soooo
> sicher :-(
>
> Dankeschön.
>
> Lg Kittycat
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mo 15.09.2008 | | Autor: | kittycat |
| Aufgabe | Die Gleichung [mm] x^{3} [/mm] - 8x - 3 = 0 hat drei reelle Lösungen, und eine von ihnen ist ganzzahlig. Geben sie die Diskriminante an.
Finden Sie einerseits die einfachsten möglichen Formeln für die drei Lösungen.
Berechnen Sie andererseits die ganzzahlige Lösung mit Hilfe der Cardanoschen Formeln und mit Hilfe der Rechnung [mm] (\bruch{3}_{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}_{2} [/mm] * [mm] \wurzel{- \bruch{5}_{3}} [/mm] = ... |
Hallo Mathepower,
vielen Dank ... also lag ich mit meiner Meinung und Rechnung richtig *Juheee*
Hab jetzt nochmal die Aufgabenstellung reingestellt, weil ich irgendwie nun doch nicht weiterkomme :-(
Kannst du mir noch einen Tipp geben bzw. weiterhelfen, please.
Hab folgendes bis jetzt errechnet:
Die Diskriminante ist (- [mm] \bruch{1805}_{108} [/mm] ), also kleiner 0
[mm] \Rightarrow [/mm] alle 3 Nullstellen sind reell
[mm] (\bruch{3}_{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}_{2} [/mm] * [mm] \wurzel{- \bruch{5}_{3}} [/mm] = ... = [mm] \bruch{36}_{24} [/mm] + [mm] \bruch{76}_{24} [/mm] * [mm] \wurzel{- \bruch{5}_{3}}
[/mm]
Wenn ich jetzt aber Cardano anwende, dann komme ich zu folgender Lösung und aber leider irgendwie nicht weiter:
y= u + v
= [mm] \wurzel[3]{ \bruch{3}{2} + \bruch{1}{2} * \wurzel{- \bruch{361*5}{9*3}}} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{\bruch{3}{2} - \bruch{1}{2} * \wurzel{- \bruch{361*5}{9*3}}}
[/mm]
= [mm] \wurzel[3]{\bruch{3}{2} + \bruch{19}{6} \wurzel{- \bruch{5}{3}}} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{\bruch{3}{2} - \bruch{19}{6} \wurzel{- \bruch{5}{3}}}
[/mm]
Wie kriege ich hiermit die ganzzahlige Lösung? Da kommt doch dann etwas mit i raus ... wie kann das ganzzahlig sein?
Und was sollen die einfachsten möglichen Formeln sein?
please, help me
THX a lot
Lg Kittycat
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kittycat!
> y= u + v
> = [mm]\wurzel[3]{ \bruch{3}{2} + \bruch{1}{2} * \wurzel{- \bruch{361*5}{9*3}}}[/mm] + [mm]\wurzel[3]{\bruch{3}{2} - \bruch{1}{2} * \wurzel{- \bruch{361*5}{9*3}}}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel[3]{\bruch{3}{2} + \bruch{19}{6} \wurzel{- \bruch{5}{3}}}[/mm] + [mm]\wurzel[3]{\bruch{3}{2} - \bruch{19}{6} \wurzel{- \bruch{5}{3}}}[/mm]
Entweder Du gehst hier wirklich den Umweg über die komplexen Zahlen [mm] $\IC$ [/mm] . Die Terme mit $i_$ müssen sich dann am Ende eliminieren.
Oder Du wendest die entsprechenden Formeln an.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
) und anschließend eine entsprechende 
Polynomdivision