Anwendung Satz von Rouche < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Do 25.06.2015 | | Autor: | blub77 |
Hallo,
ich sitze gerade an einer Aufgabe, die an sich wohl nicht so schwer ist, nur bei der Schlussfolgerung stocke ich.
Es geht um die Bestimmung der Vielfachheiten von Nullstellen von
a) f(z)= [mm] 3z^{4}-7z+2 [/mm] für 1< [mm] |z|<\bruch{3}{2}
[/mm]
b) [mm] f(z)=z^{8}-3z^{2}+1 [/mm] für [mm] \IC\backslash\{z| |z| \le 1\}
[/mm]
bin erstmal bei a)
sei [mm] g(z)=3z^{4}
[/mm]
dann [mm] |f(z)-g(z)|=|-7z+2|\le7|z|+2=7 \bruch{3}{2}+2=\bruch{25}{2}<3z^{4}
[/mm]
demnach müsste f die gleiche anzahl an nullstellen haben, wie g..nur hat [mm] 3z^{4} [/mm] im angebenen Bereich doch keine Nullstelle, oder übersehe ich da was?
danke für hilfen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Do 25.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich sitze gerade an einer Aufgabe, die an sich wohl nicht
> so schwer ist, nur bei der Schlussfolgerung stocke ich.
>
> Es geht um die Bestimmung der Vielfachheiten von
> Nullstellen von
> a) f(z)= [mm]3z^{4}-7z+2[/mm] für 1< [mm]|z|<\bruch{3}{2}[/mm]
> b) [mm]f(z)=z^{8}-3z^{2}+1[/mm] für [mm]\IC\backslash\{z| |z| \le 1\}[/mm]
>
> bin erstmal bei a)
> sei [mm]g(z)=3z^{4}[/mm]
>
> dann [mm]|f(z)-g(z)|=|-7z+2|\le7|z|+2=7 \bruch{3}{2}+2=\bruch{25}{2}<3z^{4}[/mm]
Am Ende sollt da wohl stehen: .... [mm] $<3|z|^4=|g(z)|$
[/mm]
>
> demnach müsste f die gleiche anzahl an nullstellen haben,
> wie g..nur hat [mm]3z^{4}[/mm] im angebenen Bereich doch keine
> Nullstelle, oder übersehe ich da was?
Nun überlege mal, was Du gemacht hast. Du hast gezeigt:
$|f(z)-g(z)|<|g(z)|$ für $ [mm] |z|=\bruch{3}{2} [/mm] $
Das bedeutet: in der Kreisscheibe [mm] \{z \in \IC:|z|<\bruch{3}{2}\} [/mm] haben f und g gleichviele Nullstellen (gezählt mit Vielfachheiten)
g hat in dieser Scheibe 4 Nullstellen, also auch f.
Die Bedingung |z|>1 hast Du noch nicht eingebracht !
FRED
>
> danke für hilfen!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:20 Do 25.06.2015 | | Autor: | blub77 |
Hallo, danke erstmal für die Antwort.
ich habe jetzt einfach geguckt was im Einheitskreis passiert.
sei g(z)=-7z+2
[mm] |f-g|=|3z^{4}|\le3|z|^{4}=3<9=7|z|+2
[/mm]
das heißt für [mm] |z|\le1 [/mm] hat f eine Nullstelle und damit 3 Nullstellen für [mm] 1<|z|<\bruch{3}{2}
[/mm]
kann ich das so machen?
das gleiche würde ich dann auch für b so machen.
ich weiß f hat 8 Nullstellen (inklusive Vielfachheiten)
sei
[mm] g(z)=-3z^{2}+1
[/mm]
dann [mm] |f-g|=|z^{8}|\le|z|^{8}=1<4=3|z|^{2}+1
[/mm]
also hat f dort 2 Nullstellen und damit 6 Nullstellen in [mm] \IC\backslash [/mm] {z| [mm] |z|\le1 [/mm] }
reicht das von der Argumentation?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 So 28.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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