Anwendung der Kettenregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] $G=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | 3
$f : G [mm] \rightarrow \mathbb{R}, \quad(x, [/mm] y) [mm] \mapsto x-\frac{\sqrt{y}}{2}$
[/mm]
Weiter sei [mm] $g(\rho, \phi) :=f(\rho \cos (\phi), \rho \sin (\phi))$ [/mm] die Polardarstellung von $f$
(a) Für welche $(x, y) [mm] \in \mathbb{R}^{2}$ [/mm] ist $f$ definiert? Für welche $(x, y) [mm] \in \mathbb{R}^{2}$ [/mm] ist $f$ differenzierbar?
Geben Sie beide Mengen auch in Polarkoordinaten an.
(b) Bestimmen Sie mit der Kettenregel (d. h. ohne explizite Berechnung von $g )$ die partielle
Ableitung [mm] $\frac{\partial g}{\partial \phi}(\rho, \phi)$ [/mm] und berechnen Sie [mm] $\frac{\partial g}{\partial \phi}(2, \pi [/mm] / 2)$ . |
Hallo, ich sitze vor einem irgendwie unlösbaren Problem für mich, denn es scheint alles keinen Sinn zu machen.
Hier erst einmal meine bisherigen Lösungen:
(a) f ist auf [mm] $\{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} | y\geq0 \}$ [/mm] definiert und für $ [mm] \{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}| x,y\ge0 \} [/mm] $ differenzierbar. Leider weiß nicht gerade nicht wie man die Polarkoordinaten bestimmt, deshalb würde ich diesen Punkt erst einmal überspringen und zu dem großen Problem kommen.
(b)
Ich schreibe nun ersteinmal g um zu [mm] $\vec{x}(\rho, \phi)=\left( \begin{array}{l}{x(\rho, \phi)} \\ {y(\rho, \phi)}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{l}{\rho \cos (\phi)} \\ {\rho \sin (\phi)}\end{array}\right)$
[/mm]
Und berechne die verschiedenen Ableitungen:
- [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(x, [/mm] y)=1$
- [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}(x, [/mm] y)=- [mm] \frac{1}{4\sqrt(y)}$
[/mm]
- [mm] $\frac{\partial x}{\partial \phi}(\rho, \phi)=-\rho \sin (\phi)$
[/mm]
- [mm] $\frac{\partial y}{\partial \phi}(\rho, \phi)=\rho \cos (\phi)$
[/mm]
Mit der Kettenregel folgt dann
[mm] $\frac{\partial g}{\partial \phi}(\rho, \phi)=\frac{\partial f}{\partial x}(x(\rho, \phi), y(\rho, \phi)) \frac{\partial x}{\partial \phi}(\rho, \phi)+\frac{\partial f}{\partial y}(x(\rho, \phi), y(\rho, \phi)) \frac{\partial y}{\partial \phi} )(\rho, \phi)$
[/mm]
[mm] =$-\rho \sin (\phi)- \frac{1}{4\sqrt(y)} \cos (\phi)$ [/mm]
Hier gibt es das erste große Problem, was mache ich mit dem y? Irgendwo habe ich anscheinend einen großen Fehler gemacht.
Nun mit dem Punkt
[mm] $\frac{\partial g}{\partial \phi}\left(2, \frac{\pi}{2}\right)=-2 \sin (\pi [/mm] / 2)- [mm] \frac{1}{4\sqrt(y)} \cos (\frac{\pi}{2}i)=-2$
[/mm]
Ich hoffe ihr blickt hier durch:) und ich würde mich über eine Antwort freuen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Fr 17.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]G=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | 3
> und
> [mm]f : G \rightarrow \mathbb{R}, \quad(x, y) \mapsto x-\frac{\sqrt{y}}{2}[/mm]
>
> Weiter sei [mm]g(\rho, \phi) :=f(\rho \cos (\phi), \rho \sin (\phi))[/mm]
> die Polardarstellung von [mm]f[/mm]
> (a) Für welche [mm](x, y) \in \mathbb{R}^{2}[/mm] ist [mm]f[/mm] definiert?
> Für welche [mm](x, y) \in \mathbb{R}^{2}[/mm] ist [mm]f[/mm]
> differenzierbar?
> Geben Sie beide Mengen auch in Polarkoordinaten an.
> (b) Bestimmen Sie mit der Kettenregel (d. h. ohne
> explizite Berechnung von [mm]g )[/mm] die partielle
> Ableitung [mm]\frac{\partial g}{\partial \phi}(\rho, \phi)[/mm] und
> berechnen Sie [mm]\frac{\partial g}{\partial \phi}(2, \pi / 2)[/mm]
> .
> Hallo, ich sitze vor einem irgendwie unlösbaren Problem
> für mich, denn es scheint alles keinen Sinn zu machen.
>
> Hier erst einmal meine bisherigen Lösungen:
>
> (a) f ist auf [mm]\{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} | y\geq0 \}[/mm]
> definiert
Hä ? Wie kommst du darauf? f ist doch auf G definiert!
> und für [mm]\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}| x,y\ge0 \}[/mm]
> differenzierbar. Leider weiß nicht gerade nicht wie man
> die Polarkoordinaten bestimmt, deshalb würde ich diesen
> Punkt erst einmal überspringen und zu dem großen Problem
> kommen.
>
> (b)
>
> Ich schreibe nun ersteinmal g um zu [mm]\vec{x}(\rho, \phi)=\left( \begin{array}{l}{x(\rho, \phi)} \\ {y(\rho, \phi)}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{l}{\rho \cos (\phi)} \\ {\rho \sin (\phi)}\end{array}\right)[/mm]
>
> Und berechne die verschiedenen Ableitungen:
> - [mm]\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=1[/mm]
> - [mm]\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=- \frac{1}{4\sqrt(y)}[/mm]
>
> - [mm]\frac{\partial x}{\partial \phi}(\rho, \phi)=-\rho \sin (\phi)[/mm]
>
> - [mm]\frac{\partial y}{\partial \phi}(\rho, \phi)=\rho \cos (\phi)[/mm]
>
> Mit der Kettenregel folgt dann
> [mm]\frac{\partial g}{\partial \phi}(\rho, \phi)=\frac{\partial f}{\partial x}(x(\rho, \phi), y(\rho, \phi)) \frac{\partial x}{\partial \phi}(\rho, \phi)+\frac{\partial f}{\partial y}(x(\rho, \phi), y(\rho, \phi)) \frac{\partial y}{\partial \phi} )(\rho, \phi)[/mm]
>
> =[mm]-\rho \sin (\phi)- \frac{1}{4\sqrt(y)} \cos (\phi)[/mm]
>
> Hier gibt es das erste große Problem, was mache ich mit
> dem y? Irgendwo habe ich anscheinend einen großen Fehler
> gemacht.
Nein, hast du nicht. Es ist doch y= [mm] \rho \sin \phi.
[/mm]
>
> Nun mit dem Punkt
> [mm]\frac{\partial g}{\partial \phi}\left(2, \frac{\pi}{2}\right)=-2 \sin (\pi / 2)- \frac{1}{4\sqrt(y)} \cos (\frac{\pi}{2}i)=-2[/mm]
>
>
> Ich hoffe ihr blickt hier durch:) und ich würde mich über
> eine Antwort freuen
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Hallo, ich weiß gerade nicht wie ich die Antworten interpretieren soll, deshalb stelle ich noch ein paar Fragen.
> Hä ? Wie kommst du darauf? f ist doch auf G definiert! Naja ich dachte f seine nur für $yge0$ definiert, da die Wutzel nicht 0 sein darf, aber wenn G schon das gesuchte ist, warum verklangt man in der Aufgabe dann die Definitionsmenge anzugeben?
Ist die Menge für die Differenzierbarkeit richtig?
> Nein, hast du nicht. Es ist doch y= $ [mm] \rho \sin \phi. [/mm] $
Aber warum ist y= $ [mm] \rho \sin \phi. [/mm] $
Stimmt denn der Rest wenigstens teilweise?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Fr 17.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich weiß gerade nicht wie ich die Antworten
> interpretieren soll, deshalb stelle ich noch ein paar
> Fragen.
>
> > Hä ? Wie kommst du darauf? f ist doch auf G definiert!
> Naja ich dachte f seine nur für [mm]yge0[/mm] definiert, da die
> Wutzel nicht 0 sein darf, aber wenn G schon das gesuchte
> ist, warum verklangt man in der Aufgabe dann die
> Definitionsmenge anzugeben?
Das solltest du den Aufgabensteller fragen.
>
> Ist die Menge für die Differenzierbarkeit richtig?
Nein. Diese Menge sollte doch wohl eine Teilmenge von G sein.
>
> > Nein, hast du nicht. Es ist doch y= [mm]\rho \sin \phi.[/mm]
>
> Aber warum ist y= [mm]\rho \sin \phi.[/mm]
Was setzt Du denn für x und y in f ein, um zur Funktion g zu kommen ?
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> Stimmt denn der Rest wenigstens teilweise?
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Ach ja stimmt, also
$ [mm] \frac{\partial g}{\partial \phi}(\rho, \phi)=\frac{\partial f}{\partial x}(x(\rho, \phi), y(\rho, \phi)) \frac{\partial x}{\partial \phi}(\rho, \phi)+\frac{\partial f}{\partial y}(x(\rho, \phi), y(\rho, \phi)) \frac{\partial y}{\partial \phi} )(\rho, \phi) [/mm] $
=$ [mm] -\rho \sin (\phi)- \frac{1}{4\sqrt(\rho \sin (\phi))} \cos (\phi) [/mm] $
Stimmt die Rechnung nun?
LG
Jule
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Fr 17.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Ach ja stimmt, also
> [mm]\frac{\partial g}{\partial \phi}(\rho, \phi)=\frac{\partial f}{\partial x}(x(\rho, \phi), y(\rho, \phi)) \frac{\partial x}{\partial \phi}(\rho, \phi)+\frac{\partial f}{\partial y}(x(\rho, \phi), y(\rho, \phi)) \frac{\partial y}{\partial \phi} )(\rho, \phi)[/mm]
> =[mm] -\rho \sin (\phi)- \frac{1}{4\sqrt(\rho \sin (\phi))} \cos (\phi)[/mm]
>
>
> Stimmt die Rechnung nun?
Ja, das tut sie
>
> LG
> Jule
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Dankeschön, könntest du mir noch mit der Teilaufgabe a) helfen ? Ich weiß leider nicht wie ich das nun machen soll, speziell die Umwandlung in Polarkoordinaten.
Lg
Jule
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Sa 18.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Dankeschön, könntest du mir noch mit der Teilaufgabe a)
> helfen ? Ich weiß leider nicht wie ich das nun machen
> soll, speziell die Umwandlung in Polarkoordinaten.
>
a) hat mit Polarkoordinaten nichts zu tun.
f ist auf G definiert, das hatten wir schon.
Zur Differenzierbarkeit von f: welche Punkte musst du aus G entfernen? Beachte dabei, dass die Wurzelfunktion in 0 nicht differenzierbar ist.
> Lg
> Jule
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Hallo
> a) hat mit Polarkoordinaten nichts zu tun.
Naja laut Aufgabenstellung soll ich diese allerdings angeben, deshalb frage ich ja:O
> Zur Differenzierbarkeit von f: welche Punkte musst du aus G entfernen? Beachte dabei, dass die Wurzelfunktion in 0 nicht differenzierbar ist.
Ich würde meinen [mm] $G'=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | 3 0\right\}$ [/mm] ? Also man müsste den Punkt (x,0) entfernen, wobei x < 0 gilt.
LG
Jule
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Sa 18.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> > a) hat mit Polarkoordinaten nichts zu tun.
>
> Naja laut Aufgabenstellung soll ich diese allerdings
> angeben, deshalb frage ich ja:O
>
> > Zur Differenzierbarkeit von f: welche Punkte musst du aus
> G entfernen? Beachte dabei, dass die Wurzelfunktion in
> 0 nicht differenzierbar ist.
>
> Ich würde meinen [mm]G'=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | 3 0\right\}[/mm]
Ja, das stimmt.
> ? Also man müsste den Punkt (x,0) entfernen, wobei x < 0
> gilt.
Hä ? Was soll das ? Solche Punkte gehören doch gar nicht zu G.
>
> LG
> Jule
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