Anwendung der Kongruenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Sa 21.01.2012 | | Autor: | sarah89 |
| Aufgabe | Aufgabe 2 (Anwendung der Kongruenz)
c) Auf welche Ziffer endet jeweils die Darstellung von [mm] 6^6 [/mm] und [mm] 7^7 [/mm] im Zehnersystem?
d) Welchen Rest erhält man bei der Division von 13^13 durch 11? |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich komme bei den Aufgaben überhaupt nicht weiter.
Bei Aufgabe 2c) ist bestimmt nicht folgendes gemeint (oder?):
[mm] 6^6= [/mm] 46656 (10) , somit endet [mm] 6^6 [/mm] im Zehnersystem auf der Ziffer 6!
[mm] 7^7= [/mm] 823543 (10), " " [mm] 7^7 [/mm] " " " " " 3!
Das kommt mir etw. zu einfach vor. Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen.
Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Sa 21.01.2012 | | Autor: | abakus |
> Aufgabe 2 (Anwendung der Kongruenz)
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> c) Auf welche Ziffer endet jeweils die Darstellung von [mm]6^6[/mm]
> und [mm]7^7[/mm] im Zehnersystem?
> d) Welchen Rest erhält man bei der Division von 13^13
> durch 11?
> Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich komme bei den Aufgaben überhaupt nicht weiter.
> Bei Aufgabe 2c) ist bestimmt nicht folgendes gemeint
> (oder?):
>
> [mm]6^6=[/mm] 46656 (10) , somit endet [mm]6^6[/mm] im Zehnersystem auf der
> Ziffer 6!
> [mm]7^7=[/mm] 823543 (10), " " [mm]7^7[/mm] " "
> " " " 3!
>
> Das kommt mir etw. zu einfach vor. Ich würde mich über
> eure Hilfe sehr freuen.
Hallo,
das ist nicht zu einfach, sondern viel zu kompliziert.
Wer um Himmels Willen macht sich die unnötige Arbeit, [mm]7^7[/mm] auszurechnen?
Es ist [mm]7^2=49\equiv 9 \equiv -1 mod 10[/mm].
Aus [mm]7^2\equiv -1 mod 10[/mm] folgt [mm](7^2)^3\equiv (-1)^3 mod 10[/mm],
also [mm]7^6\equiv -1 mod 10[/mm].
Wenn man diese Kongruenz mit 7 multipliziert, erhält man [mm]7^7\equiv-7\equiv3mod 10[/mm]
Gruß Abakus
>
> Danke im Voraus!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Sa 21.01.2012 | | Autor: | sarah89 |
wärst du auch so lieb mir diesen Rechenweg genauer zu erklären,denn davon verstehe ich leider gleich 0. warum beginnt man bspw. bei [mm] 7^2?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Sa 21.01.2012 | | Autor: | abakus |
> wärst du auch so lieb mir diesen Rechenweg genauer zu
> erklären,denn davon verstehe ich leider gleich 0. warum
> beginnt man bspw. bei [mm]7^2?[/mm]
Hallo,
fangen wir von vorn an.
[mm]7^1\equiv 7 mod 10[/mm] ist tivial.
Beidseitige Multiplation mit 7 führt auf
[mm]7^2\equiv 7*7 \equiv 9 mod 10[/mm].
Beidseitige Multiplation mit 7 führt auf
[mm]7^3\equiv 9*7 \equiv 3 mod 10[/mm] usw.
Nach 7 Schritten ist man am Ziel.
Nun kann man diesen Weg wesentlich vereinfachen.
Wenn zum ersten Mal der Rest 1 oder der Rest -1 auftaucht, kommt dieses periodisch wieder.
Deshalb habe ich 9 durch -1 ersetzt.
Aus [mm]7^2\equiv -1 mod 10[/mm] folgt [mm]7^4\equiv 1 mod 10[/mm], [mm]7^6\equiv -1 mod 10[/mm], [mm]7^8\equiv 1 mod 10[/mm] usw.
Ich habe das nur bis [mm]7^6[/mm] gemacht, weil ich damit unmittelbar "vor [mm]7^7[/mm] angekommen bin".
Bei [mm]13^{13}[/mm] wirst du auch schon beim Zwischenschritt [mm]13^2\equiv...mod 10[/mm] eine Abkürzung finden, die dir den Rest von [mm]13^{12}[/mm] mod 10 verrät.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Sa 21.01.2012 | | Autor: | sarah89 |
alles klar, danke für die Hilfe!
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