Anwendung des Morera theorems? < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige: wenn m != -1, dann gilt:
[mm] z^m [/mm] hat eine Stammfunktion in [mm] C\setminus\{0\} [/mm] |
Hallo! Wie gehe ich hier vor? Ich dachte zuerst an das Morera Theorem.
Ich wuerde so vorgehen: Ich beweise, dass wenn m != -1 jedes Integral ueber eine geschlossene Kurve (ein Kreis mit Radius R) in [mm] C\setminus\{0\} [/mm] null ist (fuer beliebiges R != 0). (dies erreiche ich ueber Parametrisierung des geschlossenen Integrals).Demzufolge folgt mit dem Morera Theorem, dass [mm] z^m [/mm] holomorf in [mm] C\setminus\{0\} [/mm] ist und damit eine Stammfunktion in [mm] C\setminus\{0\} [/mm] zulaesst.
Allerdings habe ich hier 3 kProbleme:
1: Reicht es zu zeigen, dass das geschlossene Integral fuer jeden beliebigen, in 0 zentrierten KREIS 0 ist???(solange R != 0)
2: Habe ich hier alle Vorraussetzungen fuer das Morera-Theorem erfuellt? Also kann ich so schlussfolgern wie ich das tue? Das ganze gilt soviel ich weiss nur in einer einfach verbundenen Teilmenge, aber [mm] C\setminus\{0\} [/mm] ist nicht einfach verbunden, oder?
3: Eine Version des Morera-theorems besagt ja, dass wenn das geschlossene Integral der Funktion ueber jedes DREIECK in der gefragten (offenen) Teilmenge von C null ist, dann ist die Funktion holomorf. Kann ich dasselbe schlussfolgern, wenn das geschlossene Integral der Funkton ueber jeden KREIS in der gefragten Teilmente null ist?
(damit erspare ich mir meine Kurve in 3 Kurven aufzusplitten)
Schliesslich noch was ganz anderes: Kann ich das nicht viel einfacher machen?
Mei Zweiter Anlauf waere der folgende:
Ich koennte zum Beispiel beweisen, dass fuer m != -1 gilt: Die Stammfunktion von [mm] z^m [/mm] ist stetig in [mm] C\setminus\{0\}...oder [/mm] nicht?
Ich koennte dann so vorgehen: Wir wissen, dass die funktion [mm] z^m [/mm] fuer alle [mm] m\ge [/mm] 0 in ganz C stetig ist. Wenn m [mm] \ge [/mm] 0, dann hat die Stammfunktion von [mm] z^m [/mm] die form: [mm] c*z^n, [/mm] wobei n [mm] \ge [/mm] 0, damit ist sie stetig in ganz C.
Wenn m<-1, dann ist [mm] z^m [/mm] der Form: [mm] 1/z^n [/mm] (wobei n [mm] \ge [/mm] 1). Wir wissen, dass die konstante funktion f(z) = 1 stetig ist in ganz C, und dass f(z) = [mm] z^n [/mm] stetig ist in ganz C. Damit ist [mm] 1/z^n [/mm] stetig in [mm] C\setminus\{0\}. [/mm] Nun, wenn m<-1, dann hat die Stammfunktion die form: [mm] c*1/z^n, [/mm] wobei n<-1, und damit ist die Stammfunktion stetig in [mm] C\setminus\{0\}, [/mm] denn es gilt [mm] c/z^n [/mm] (n [mm] \ge [/mm] 1) ist stetig in [mm] C\setminus\{0\}
[/mm]
Damit haette ich also bewiesen, dass fuer m [mm] \ge [/mm] 0 und m<-1 (also fuer m != -1) gilt: Die Stammfunktion von [mm] z^m [/mm] ist stetig auf [mm] C\setminus\{0\}. [/mm] Damit hat [mm] z^m [/mm] mit m != -1 eine Stammfunktion in der Menge [mm] C\setminus\{0\}.
[/mm]
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:00 Di 09.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeige: wenn m != -1, dann gilt:
> [mm]z^m[/mm] hat eine Stammfunktion in [mm]C\setminus\{0\}[/mm]
>
Ich gehe von m [mm] \in \IZ [/mm] aus. Und m != -1 beeutet wohl m [mm] \ne [/mm] 1.
>
> Hallo? Wie gehe ich hier vor?
Ich werfe mal [mm] \bruch{z^{m+1}}{m+1} [/mm] in den Raum. Nur mal so ...
FRED
> Ich dachte an das Morera
> Theorem.
>
> Ich wuerde so vorgehen: Ich beweise, dass wenn m != -1
> jedes Integral ueber eine geschlossene Kurve (ein Kreis mit
> Radius R) in [mm]C\setminus\{0\}[/mm] null ist (fuer beliebiges R !=
> 0). (dies erreiche ich ueber Parametrisierung des
> geschlossenen Integrals).Demzufolge folgt mit dem Morera
> Theorem, dass [mm]z^m[/mm] holomorf in [mm]C\setminus\{0\}[/mm] ist und damit
> eine Stammfunktion in [mm]C\setminus\{0\}[/mm] zulaesst.
>
> Allerdings habe ich hier 3 kleine Probleme:
> 1: Reicht es zu zeigen, dass das geschlossene Integral
> fuer jeden beliebigen, in 0 zentrierten KREIS 0
> ist???(solange R != 0)
> 2: Habe ich hier alle Vorraussetzungen fuer das
> Morera-Theorem erfuellt? Also kann ich so schlussfolgern
> wie ich das tue? Das ganze gilt soviel ich weiss nur in
> einer einfach verbundenen Teilmenge, aber [mm]C\setminus\{0\}[/mm]
> ist nicht einfach verbunden, oder?
> 3: Eine Version des Morera-theorems besagt ja, dass wenn
> das geschlossene Integral der Funktion ueber jedes DREIECK
> in der gefragten (offenen) Teilmenge von C null ist, dann
> ist die Funktion holomorf. Kann ich dasselbe
> schlussfolgern, wenn das geschlossene Integral der Funkton
> ueber jeden KREIS in der gefragten Teilmente null ist?
> (damit erspare ich mir meine Kurve in 3 Kurven
> aufzusplitten)
>
>
> Schliesslich noch was ganz anderes: Kann ich das nicht viel
> einfacher machen? Ich koennte doch zum Beispiel beweisen,
> dass fuer m != 1 gilt: Die Stammfunktion von [mm]z^m[/mm] ist stetig
> in [mm]C\setminus\{0\}...oder[/mm] nicht?
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Also doch einfacher als gedacht?
(Ich hatte erst meine Frage etwas bearbeitet und am Ende den zweiten, hoffentlich besseren, Loesungsvorschlag angegeben)
gehe ich richtig, dass die Loesung einfach lautet:
wenn m [mm] \not= [/mm] -1, dann ist die Stammfunktion von [mm] z^m: \bruch{z^{m+1}}{m+1}. [/mm] Diese Stammfunktion ist stetig in C [mm] \setminus\{0\}, [/mm] denn [mm] \bruch{z^{m+1}}{m+1} [/mm] ist stetig, solange Zaehler und Nenner stetig sind und der Nenner ungleich 0 ist.
Zaehler und Nenner sind offensichtlich stetig in C [mm] \setminus\{0\}, [/mm] denn [mm] z^m [/mm] ist stetig in C [mm] \setminus\{0\} [/mm] fuer alle m [mm] \in \IZ [/mm] und (m+1) ist stetig in ganz C fuer alle m [mm] \in \IZ [/mm] (denn es ist eine konstante Funktion). Der Nenner wird nur 0 wenn z = 1. Daraus folgt: [mm] \bruch{z^{m+1}}{m+1} [/mm] (und damit die Stammfunktion fuer [mm] z^m, [/mm] m [mm] \not= [/mm] -1) ist stetig in C [mm] \setminus\{0\}
[/mm]
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:23 Di 09.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Stetigkeit reicht nicht !
Zeige: ist m [mm] \ne [/mm] 1, [mm] f(z)=z^m [/mm] und [mm] F(z)=\bruch{z^{m+1}}{m+1} [/mm] für z [mm] \in \IC \setminus \{0\}, [/mm] so ist
F holomorph auf [mm] \IC \setminus \{0\} [/mm] und $F'=f$ auf [mm] \IC \setminus \{0\}
[/mm]
FRED
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Aber ich musste doch nur zeigen, dass [mm] z^m [/mm] eine Stammfunktion auf C [mm] \setminus\{0\} [/mm] hat, oder? Reicht es da nicht zu zeigen, dass die Stammfunktion stetig auf diesem Interval ist?
So oder so, der Beweis, dass die Stammfunktion holomorf ist laeuft im Endeffekt aehnlich: [mm] \bruch{z^{m+1}}{m+1} [/mm] ist holomorf, solange Zaehler und Nenner holomorf sind und der Nenner nicht null wird. [mm] z^{m+1} [/mm] ist holomorf auf C [mm] \setminus\{0\} [/mm] , das wissen wir und (m+1) ist auch holomorf (auf ganz C), denn es ist eine konstante FUnktion. Der Nenner wird nie 0 (das hatte ich vorher falsch behauptet). Damit ist [mm] \bruch{z^{m+1}}{m+1} [/mm] holomorf.
Aber nochmal (nur fuers Verstaendnis): Wenn ich beweisen will, dass eine Funktion auf einer komplexen Menge "eine Stammfuntion zulaesst", muss ich wirklich zeigen, dass die Stammfunktion holomorf ist oder reicht es zu zeigen, dass die Stammfunktion stetig ist??
///Edit:
Ich hab nochmal drueber nachgedacht. Geh ich richtig in der Annahme, dass Stetigkeit nicht ausreicht aus dem folgenden Grund:
In den reelen Zahlen, um zu zeigen, dass f(x) eine Stammfunktion auf einer Menge hat, muss ich zeigen dass die Stammfunktion auf dieser Menge ABLEITBAR ist (nicht nur stetig).
In den komplexen Zahlen muss ich prinzipiell dasselbe machen, nur dass in den komplexen Zahlen "ableitbar auf einer Menge" im Endeffekt "holomorf auf einer Menge" bedeutet.
Stimmts?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:33 Di 09.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Machen wirs kurz ( das folgende findest Du sicher auch in Deinen Aufzeichnungen zum Thema "Stammfunktion"):
Sei D eine offene Teilmenge von [mm] \IC [/mm] und $f:D [mm] \to \IC$ [/mm] eine Funktion.
f hat auf D eine Stammfunktion, wenn es eine Funktion $F:D [mm] \to \IC$ [/mm] gibt mit:
1. F ist auf D holomorph
und
2. $F'=f$ auf D.
In diesem Fall nennt man F eine Stammfunktion von f auf D.
FRED
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Ah ok, vielen Dank!
Geh ich dann richtig in der Annahme, dass nicht-holomorfe Funktionen ueber einer Menge auch keine Stammfunktion ueber dieser Menge haben koenen? Denn wenn sie eine Stammfunktion haetten, dann waere diese holomorf und es wuerde gelten: F'(z) = f(z). Dann waere allerdings auch f(z) holomorf, denn eine holomorfe Funktion ist holomorf in all ihren Ableitungen. Ein Widerspruch.
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Hiho,
> Geh ich dann richtig in der Annahme, dass nicht-holomorfe
> Funktionen ueber einer Menge auch keine Stammfunktion ueber
> dieser Menge haben koenen? Denn wenn sie eine Stammfunktion
> haetten, dann waere diese holomorf und es wuerde gelten:
> F'(z) = f(z). Dann waere allerdings auch f(z) holomorf,
> denn eine holomorfe Funktion ist holomorf in all ihren
> Ableitungen. Ein Widerspruch.
korrekt.
Aber schreibe bitte "holomorph", nicht "holomorf"-
Gruß,
Gono
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Haha, sorry.
Das ist weil ich auf spanisch studiere (holomorph = holomorfa)...deswegen verwende ich auch ab und zu komische Bezeichnungen. Zum Beispiel "einfach verbundene Menge". Gibt es diese Bezeichnung? Auf spanisch ist es "conjunto simplemente conexo".
Fast haette ichs vergessen: Vielen Dank fuer die Hilfe :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Di 09.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Haha, sorry.
> Das ist weil ich auf spanisch studiere (holomorph =
> holomorfa)...deswegen verwende ich auch ab und zu komische
> Bezeichnungen. Zum Beispiel "einfach verbundene Menge".
> Gibt es diese Bezeichnung? Auf
spanisch ist es "conjunto
> simplemente conexo".
" einfach zusammenhängend "
Fred
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> Fast haette ichs vergessen: Vielen Dank fuer die Hilfe :)
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