Anwendung des Satzes von Stoke < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $ [mm] \omega [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}x_i^2 dx_1 \wedge \dots \wedge \widehat{dx_i} \wedge \dots dx_n [/mm] $
Zeige, dass: [mm] $\int_{S^{n-1}} \omega [/mm] = 0 $ |
Hallo,
Kann ich hier den Satz von Stokes anwenden?
Wenn [mm] $\omega$ [/mm] exakt wäre, dann könnte ich Stokes anwenden. Aber [mm] $\omega$ [/mm] ist ja nicht mal geschlossen, denn [mm] $d\omega \neq [/mm] 0$.
Für die [mm] $S^1$ [/mm] bzw. [mm] $S^2$ [/mm] könnte ich es einfach ausrechnen mit Polarkoordinaten. Aber wie kann ich es allgemein für die [mm] $S^{n-1}$ [/mm] machen?
Geht es vielleicht irgendwie so:
Ich brauche eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit, also eine offene Menge $U$ und eine kompakte Teilmenge $K [mm] \subset [/mm] U$, für die gilt: [mm] $\partial [/mm] K = [mm] S^{n-1}$, [/mm] denn dann würde mit Stokes gelten:
[mm] $\int_K d\omega [/mm] = [mm] \int_{\partial K} \omega [/mm] = [mm] \int_{S^{n-1}} \omega [/mm] $
Dann müsste ich aber zeigen, dass [mm] $\int_K d\omega [/mm] = 0$ gilt.
lg
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Ok ich habe ein bisschen weiter gemacht.
Und zwar wenn ich $ K := [mm] B_1(0) \subset \mathbb{R}^n [/mm] $, als die geschlossene Kugel um 0 mit Radius 1 definiere, dann gilt: $ [mm] \partial B_1(0) [/mm] = [mm] S^{n-1} [/mm] $
Also foglt mit Stokes:
$ [mm] \int_{S^{n-1}} \omega [/mm] = [mm] \int_{ \partial B_1(0)} \omega [/mm] = [mm] \int_{B_1(0)} [/mm] d [mm] \omega [/mm] = [mm] \int_{B_1(0)} \sum_{i=1}^n 2x_i dx_1 \wedge \dots \wedge dx_n [/mm] = 2 [mm] \sum_{i=1}^n \int_{B_1(0)} x_i dx_1 \wedge \dots \wedge dx_n [/mm] $
Wie kann ich nun zeigen dass das letzte Integral gleich Null ist?
lg
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Die Hyperebene [mm]x_i = 0[/mm] zerlegt [mm]K[/mm] in zwei zueinander symmetrische Hälften:
[mm]K = K^+ \cup K^- \ \ \text{mit} \ \ K^+ = \left\{ \, (x_1, \ldots , x_n) \in K \, \left| \ x_i \geq 0 \, \right. \right\} \, , \ K^- = \left\{ \, (x_1, \ldots, x_n) \in K \, \left| \ x_i \leq 0 \, \right. \right\}[/mm]
Dabei schneiden sich [mm]K^+[/mm] und [mm]K^-[/mm] nur in einer [mm]n[/mm]-dimensionalen Nullmenge. Daher gilt:
[mm]\int_K x_i ~ \mathrm{d}(x_1, \ldots, x_n) \ = \ \int_{K^+} x_i ~ \mathrm{d}(x_1, \ldots, x_n) \ + \ \int_{K^-} x_i ~ \mathrm{d}(x_1, \ldots, x_n)[/mm]
Die Summe rechts ist 0. Denn bei der Spiegelung an der Hyperebene [mm]x_i = 0[/mm] ändert [mm]x_i[/mm] das Vorzeichen. Wenn du das etwas formaler haben willst, so führe im zweiten Summanden die Substitution
[mm](x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n) \mapsto (y_1,\ldots,y_i,\ldots,y_n) = (x_1,\ldots,-x_i,\ldots,x_n)[/mm]
durch (Vorzeichenänderung in der [mm]i[/mm]-ten Koordinate, die anderen Koordinaten bleiben).
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