Anwendungen Pythagoras < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo, mein Sohn hatte kürzlich folgende Aufgabe zu lösen. Es ging dabei um einen Bahndamm (gleichschenkliges Trapez) bei dem die Oberseite gegeben war (13 m) und die Höhe auch (6 m), gleichzeitig war der Böschungswinkel von 30 ° angegeben. Gesucht war die Länge der Unterseite </task>
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Schüler der 9. Klasse sollten diese Aufgabe mit Hilfe des Satzes des Pythagoras lösen. Natürlich weiß man, wenn man die Höhe fällt und sich das dann entstehende rechtwinklige Dreieck anschaut, die Größe aller Winkel, nämlich 30 °, 90° und 60 °, damit kann man auch die Seitenlängen bestimmen, zumal ja eine gegeben ist (6m). Aber kann man das auch mit dem Pythagoras? Winkelfunktionen hatten die Schüler der 9. ja noch nicht. Ich habe einfach keine Idee. Würde mich über Hilfe freuen, hat mir irgendwie keine Ruhe gelassen, dass ich ihm nicht helfen konnte.
freundliche Grüße und Dank im Voraus.
Heike
|
|
| |
|
Hallo!
> Hallo, mein Sohn hatte kürzlich folgende Aufgabe zu lösen.
> Es ging dabei um einen Bahndamm (gleichschenkliges Trapez)
> bei dem die Oberseite gegeben war (13 m) und die Höhe auch
> (6 m), gleichzeitig war der Böschungswinkel von 30 °
> angegeben. Gesucht war die Länge der Unterseite
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Schüler der 9. Klasse sollten diese Aufgabe mit Hilfe des
> Satzes des Pythagoras lösen. Natürlich weiß man, wenn man
> die Höhe fällt und sich das dann entstehende rechtwinklige
> Dreieck anschaut, die Größe aller Winkel, nämlich 30 °, 90°
> und 60 °, damit kann man auch die Seitenlängen bestimmen,
> zumal ja eine gegeben ist (6m). Aber kann man das auch mit
> dem Pythagoras? Winkelfunktionen hatten die Schüler der 9.
> ja noch nicht. Ich habe einfach keine Idee. Würde mich über
> Hilfe freuen, hat mir irgendwie keine Ruhe gelassen, dass
> ich ihm nicht helfen konnte.
> freundliche Grüße und Dank im Voraus.
Ich hab die Aufgabe jetzt nicht komplett gelöst, aber mal ein paar Gleichungen, daraus lässt sich bestimmt noch was machen. 
Nachdem man sämtliche Winkel bestimmt hat, bleibt doch eigentlich nur folgendes Problem:
Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck, legen wir mal den rechten Winkel nache oben, dann ist links die Seite mit Länge 6, rechts die Seite nenne ich b und auf die Hypotenuse zeichne ich die Höhe h ein (die geht also durch den Punkt, an dem der rechte Winkel liegt), dann ist der Teil der Hypotenuse, der links neben der Höhe liegt, x und der andere y (also die komplette Hypotenuse ist x+y).
Dann ergeben sich aus dem ![[]](/images/popup.gif) Kathetensatz folgende zwei Gleichungen:
[mm] 6^2=x(x+y)
[/mm]
[mm] b^2=y(x+y)
[/mm]
mit Pythagoras hat man auch noch: [mm] 6^2+b^2=(x+y)^2, [/mm] aber ich glaube, das ist quasi der gleiche, weil die Kathetensätze was mit Pythagoras zu tun haben (sind sie von diesem hergeleitet oder so?).
Nun könnte man evtl. noch mit dem Flächeninhalt dieses Dreiecks weiter machen. Einmal kann ich den Flächeninhalt ja so berechnen, indem ich sage, ich nehme als Grundfläche die bekannte Seite 6, dann ist die Höhe darauf die Seite b, also ist A=3*b. Andererseits kann ich aber auch (x+y) als Grundseite wählen, dann ist die Höhe die vorhin schon erwähnte h, als Flächeninhalt ergibt sich also [mm] A=\bruch{1}{2}(x+y)*h. [/mm] Und diese beiden Flächeninhalte müssen natürlich gleich sein.
Ob man jetzt vielleicht schon genug Gleichungen hat, um alles aufzulösen? Ansonsten könnte vielleicht noch der Höhensatz helfen!?
Was hat denn dein Sohn ansonsten zuletzt in der Schule gemacht? Nur den Satz des Pythagoras? Kathetensatz und Höhensatz sind doch bestimmt auch bekannt, oder? Und evlt. gibt es da noch etwas, was mir im Moment nicht einfällt aber zur Lösung helfen könnte?
Viele Grüße und noch viel Spaß beim Rumprobieren
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
Hi, taxusmalve,
was mich bei der Aufgabe stutzig macht, ist der - sicher nicht zufällig gewählte - Böschungswinkel von 30°.
Wenn Du die Höhe (6m) sozusagen "nach unten" verdoppelst, erhältst Du nämlich ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 2*6=12.
Und dessen Höhe h wiederum kannst Du leicht mit Pythagoras berechnen [mm] (6*\wurzel{3}).
[/mm]
Die Grundlinie des Bahndamms ist dann 13+2h.
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Mi 01.03.2006 | | Autor: | taxusmalve |
Ich möchte mich recht herzlich bedanken für die guten Lösungsvorschläge (bzw. Lösungen) mit denen sowohl ich als auch mein Sohn etwas anfangen konnten.
|
|
|
|
