Anwendungsaufgabe < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Unternehmen produziert Bauteile, von denen durchschnittlich 10% defekt sind. Der laufenden Produktion werden 20 Bauteile entnommen.
d) Wie viele Bauteile müsste man entnehmen, um mindestens ein defektes Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 99% zu erhalten? |
Hallo,
als Lösung habe ich von meinem Lehrer folgendes erhalten:
gesucht minimales n (Anzahl der Versuche) mit dieser Eigenschaft:
1-P(X=0) [mm] \le [/mm] 0,01
Ich verstehe diese Eigenschaft nicht. Die 1 steht ja für 100%, das X=0 steht dafür, dass es 0 Erfolge geben soll. Bedeutet die linke Hälfte, dass ich von allen Bauteilen nur die errechne, die defekt sind?
Vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo,
hier wird mit dem Gegenereignis gerechnet. Was ist wohl das Gegenereignis zu
mindestens ein Bauteil ist defekt?
und wenn du die Antwort weißt: beantwortet das schon deine Frage? 
Allerdings ist der Ansatz falsch. Es muss
[mm] 1-(P(X=0))^n\ge{0.99}
[/mm]
heißen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 So 08.06.2014 | | Autor: | leasarfati |
vielen Dank:) Das hat meine Frage beantwortet!
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Ich habe versucht die Aufgabe zu berechnen und anscheinend habe ich das Ganze doch noch nicht so gut verstanden...
Zuerst einmal verstehe ich nicht wieso es hoch n in der Formel heißt; könnte man nicht auch mal n rechnen?
Dann habe ich versucht das Ganze zu berechnen:
[mm] 1-(0,121576654)^n [/mm] = 0,99
<=> [mm] -0,121576654^n [/mm] = -0,01
<=> [mm] log_{-0,121576654}-0,01 [/mm] = n
und dann kommt bei mir error im Taschenrechner.
Was habe ich falsch gemacht??
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Hallo,
> Ich habe versucht die Aufgabe zu berechnen und anscheinend
> habe ich das Ganze doch noch nicht so gut verstanden...
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> Zuerst einmal verstehe ich nicht wieso es hoch n in der
> Formel heißt; könnte man nicht auch mal n rechnen?
>
> Dann habe ich versucht das Ganze zu berechnen:
>
> [mm]1-(0,121576654)^n[/mm] = 0,99
>
> <=> [mm]-0,121576654^n[/mm] = -0,01
> <=> [mm]log_{-0,121576654}-0,01[/mm] = n
>
> und dann kommt bei mir error im Taschenrechner.
>
> Was habe ich falsch gemacht??
Einiges. Zum einen solltest du nach wie vor eine Ungleichung betrachten. Dieses ersatzweise Betrachten von Gleichugen wirkt immer ziemlich hilflos, in der Tat wird es jedoch in der Schule teilweise auch so gemacht. Man muss dann jedoch unheimlich aufpassen, dass man aus dem Ergebnis die richtigen Schlüsse für die Antwort zieht!
Als nächstes ist deine Wahrscheinlichkeit in Form dieser beachtlichen Dezimalzahl völlig falsch. Das müssten die 0.9 aus dem Themenstart sein!
Und der Kardinalfehler schließlich ist der, dass du bereits logarithmierst, wo noch negative Zahlen stehen. Du musst zunächst mit (-1) multiplizieren, dann sollte es klappen.
Gruß, Diophant
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Wieso ist meine Wahrscheinlichkeit falsch? Ich habe das Ganze in den Taschenrechner eingegeben und der hat das ausgespuckt...
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Hallo,
> Wieso ist meine Wahrscheinlichkeit falsch? Ich habe das
> Ganze in den Taschenrechner eingegeben und der hat das
> ausgespuckt...
Was hast du einegegeben? So ist die Frage doch völlig sinnlos...
Im Themenstart steht, dass die Bauteile mit einer Wahrscheinlichkeit von P=0.1 ausfallen. Daraus ergibt sich, dass sie mit einer Wahrscheinlichkeit von P=0.9 nicht ausfallen. Weitere Aufgabenteile hast du ausgelassen, so dass für uns hier die einzig plausible Möglichkeit eben P(X=0)=0.9 ist.
Auch an dich die Bitte, deine Fragen und Rückfragen gründlicher vorzubereiten. Es ist halt hier, man muss sich wiederholen, kein Chatroom sondern ein Forum.
Gruß, Diophant
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Ich habe folgendes berechnet:
P(X=0)= [mm] \vektor{20 \\ 0}* \bruch{1}{10}^0 *(1-\bruch{1}{10})^20-0
[/mm]
Das musste man schon in der Teilaufgabe davor berechnen. Wahrscheinlich ist das aber falsch, da ich hier n=20 festgelegt habe, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Mo 09.06.2014 | | Autor: | leasarfati |
Tut mir leid:
nach der Klammer muss es heißen: hoch 20 minus 0
Ich habe also die Binomialverteilung benutzt.
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Hallo,
> Ich habe folgendes berechnet:
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> P(X=0)= [mm]\vektor{20 \\ 0}* \bruch{1}{10}^0 *(1-\bruch{1}{10})^20-0[/mm]
>
> Das musste man schon in der Teilaufgabe davor berechnen.
> Wahrscheinlich ist das aber falsch, da ich hier n=20
> festgelegt habe, oder?
Ja es ist falsch: und den Grund hast du jetzt selbst erkannt. Vielleicht war es auch von mir ein wenig verunglückt, die Benennung P(X=0) von dir zu übernehmen. Irgendwas wie
[mm] P(\overline{D})
[/mm]
für 'nicht defekt' wäre hier passender gewesen.
Dann hätte sich das ja geklärt. Wie gesagt: du musst vor dem Logarithmieren noch mit -1 durchmultiplizieren und wegen der Vorgehensweise (Vermeidung einer Ungleichung) ein wenig aufpassen, wie deine Antort lautet. Wobei es hier nicht schwierig ist zu sehen, ob ab- oder aufgerundet werden muss...
Gruß, Diophant
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Wenn ich bei [mm] P\overline{D} [/mm] 1-0,1 habe, was ja 0,9 ergibt, habe ich ja alle Bauteile berechnet, die nicht defekt sind. Aber ich suche doch mindestens ein defektes Bauteil... Ich verstehe die Gleichung an dieser Stelle nicht.
Auch das "hoch n" verwirrt mich etwas. Kann mir jemand die Gleichung erklären??
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Hallo,
> Wenn ich bei [mm]P\overline{D}[/mm] 1-0,1 habe, was ja 0,9 ergibt,
> habe ich ja alle Bauteile berechnet, die nicht defekt sind.
> Aber ich suche doch mindestens ein defektes Bauteil... Ich
> verstehe die Gleichung an dieser Stelle nicht.
>
> Auch das "hoch n" verwirrt mich etwas. Kann mir jemand die
> Gleichung erklären??
Hm, wieso schreibst du erst, du hättest es verstanden, wenn dem nicht so ist? 
Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Zug ein funktionsfähiges Bauteil zu ziehen:
P=0.9
Wahrscheinlichkeit dafür, bei n Zügen ausschließlich funktionsfähige Bauteile zu ziehen:
[mm] P=0.9^n
[/mm]
Gesuchte Wahrscheinlichkeit: die Gegenwahrscheinlichkeit hierzu. Diese Wahrscheinlichkeit soll größer als 99% sein und ein passendes n ist zu finden, so dass dies eben gerade der Fall ist. Unter allen möglichen n ist also das kleinstmögliche gesucht.
Und das leistet eben die Ungleichung
[mm] 1-0.9^n\ge{0.99}
[/mm]
Aber das war doch alles längst besprochen?
Gruß, Diophant
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Tut mir leid; ich stand gerade wohl oder übel auf dem Schlauch.
So, meine Rechnung lautet wie folgt:
[mm] 1-0,9^{n} \ge [/mm] 0,99
<=> [mm] -0,9^{n} \ge [/mm] -0,01
<=> [mm] 0,9^{n} \le [/mm] 0,01
<=> [mm] log_{0,9}(0,01) \le [/mm] n
<=> 43,71 [mm] \le [/mm] n
Bedeutet das, dass mindestens 44 Bauteile entnommen werden müssen, um mindestens ein defektes Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 99% zu erhalten?
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Hallo,
jetzt ist alles richtig. Insbesondere hast du die Ungleichung inkl. der beiden notwendigen Umkehrungen der Ungleichheit richtig gelöst.
Sehr gut! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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