Anzahl Möglichkeiten < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | Gegeben ist ein Rechteck von 2 x n cm Kantenlänge. Sei f(n) die Anzahl Möglichkeiten, dieses Rechteck mit Dominosteinen der Kantenlänge 2x1 cm auszulegen.
Zeige mit Hilfe von Induktion, dass
f(n) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} ((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1})
[/mm]
gilt |
Hallo Mathematiker,
auch hier habe ich keine Ahnung wie ich diese Aufgabe angehen soll.
Irgendjemand einen super Tipp?
Vielen dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Fr 26.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist ein Rechteck von 2 x n cm Kantenlänge. Sei f(n)
> die Anzahl Möglichkeiten, dieses Rechteck mit Dominosteinen
> der Kantenlänge 2x1 cm auszulegen.
>
> Zeige mit Hilfe von Induktion, dass
> f(n) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}} ((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1}[/mm]
> - [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1})[/mm]
>
> gilt
> Hallo Mathematiker,
>
> auch hier habe ich keine Ahnung wie ich diese Aufgabe
> angehen soll.
>
> Irgendjemand einen super Tipp?
Ja.
Mache den Induktionsanfang und formuliere die Induktionsvoraussetzung.
(So viel sollte als Vorleistung von dir schon kommen).
Wenn du dann n um 1 erhöhst, erhältst du:
1) alle bisherigen Möglichkeiten der Breite n (du kannst nur die neu entstandene Lücke durch Einlegen eines weiteren Dominosteins füllen
2) alle bisherigen Möglichkeiten der Breite n-1 (und die 4 neuen Felder wenden durch 2 Steine quer gefüllt).
Google mal nach der expliziten Form der Fibonacci Folge. Du wirst erstaunt sein.
Gruß Abakus
>
> Vielen dank
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 So 28.09.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Habe folgendes gemacht: ist das korrekt?
Induktionsanfang:
n=1, somit f(1) ist wahr (schreibe nicht mehr die ganze formel hin, aber ich habs ausgerechnet!)
Induktionsschritt:
Voraussetzung: f(1)
Behauptung: f(n+1) = Formel die bei der Aufgabenstellung steht
Beweis:
f(1) + f(n) = 2 * die Formel von f(1)
Ausgerechnet erhält man die Behauptung.
Was meinst Du?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 So 28.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Habe folgendes gemacht: ist das korrekt?
>
> Induktionsanfang:
>
> n=1, somit f(1) ist wahr (schreibe nicht mehr die ganze
> formel hin, aber ich habs ausgerechnet!)
>
> Induktionsschritt:
>
> Voraussetzung: f(1)
> Behauptung: f(n+1) = Formel die bei der Aufgabenstellung
> steht
>
>
> Beweis:
>
> f(1) + f(n) = 2 * die Formel von f(1)
>
> Ausgerechnet erhält man die Behauptung.
>
> Was meinst Du?
>
> Danke
Das war leider nix.
Um bei deiner Schreibweise zu bleiben:
Induktionsvoraussetzung: f(n)= Formel aus der Aufgabenstellung
Induktionsbehauptung: f(n+1)= Formel aus der Aufgabenstellung, wobei jedes vorkommende n durch (n+1) ersetzt wird.
Der Beweis besteht darun zu zeigen, dass die durch Erweiterung des Dominofelds zur Anzahl f(n) so viele neue Möglichkeiten hinzukommen, dass daraus die Anzahl f(n+1) entsteht.
Gruß Abakus
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