Anzahl der Bahnen eines Zykel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Gruppe [mm] A_{4} [/mm] operiert auf M={X; [mm] X\subseteq{1,2,3,4}, [/mm] |X|=2} durch die Vorschrift [mm] s\circ X:=\{s(x); x \in X\}
[/mm]
Bestimme die Anzahl [mm] |\M| [/mm] der Bahnen von <s> für jedes s [mm] \in A_{4} [/mm] |
Also [mm] A_{4}:=\{s\inS_{4}, sign(s)=+1\}
[/mm]
das heißt alle vom Typ (3) und (2)(2)
Typ 3: (123),(132),......,(143)
Typ 2 2: (12)(34),...,(14)(23)
Das Problem habe ich mit der Anzahl der Bahnen.
z.B.: (123)(12)=(13) kann ich hier sagen, dass (13):{13}{2}{4} und es deshalb 3 Bahnen sind?
(123)(14)=(1423) ist es nun hier 1 Bahn? (1423):{1423}
Mein Problem ist die Einschränkung von M auf 2 Elemente. Wenn die nicht wäre wüsste ich aus der Vorlesung (M={1,2,3,4}, dass die Anzahl der Bahnen nur vom Typ abhängt: Typ 3: 2 Bahnen, Typ 2 2: 2 Bahnen
Ich hoffe mir kann jemand helfen, da ich bald Prüfung habe und da doch etwas auf der Leitung stehe!!
DANKE!
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Hallo mathestudent3!
> Das Problem habe ich mit der Anzahl der Bahnen.
> z.B.: (123)(12)=(13) kann ich hier sagen, dass
> (13):{13}{2}{4} und es deshalb 3 Bahnen sind?
> (123)(14)=(1423) ist es nun hier 1 Bahn? (1423):{1423}
Ist $(123)(12) [mm] \in A_4$?
[/mm]
>
> Mein Problem ist die Einschränkung von M auf 2 Elemente.
> Wenn die nicht wäre wüsste ich aus der Vorlesung
> (M={1,2,3,4}, dass die Anzahl der Bahnen nur vom Typ
> abhängt: Typ 3: 2 Bahnen, Typ 2 2: 2 Bahnen
Ich gebe Dir einfach mal ein Beispiel:
Die Bahn von [mm] $\left\langle (123)\right\rangle$, [/mm] die die Menge [mm] $\{1,2\}\in [/mm] M$ enthält ist [mm] $\{\{1,2\}, \{2,3\}, \{3,1\}\}$.
[/mm]
Die Anzahl der Bahnen von [mm] $\left\langle (123)\right\rangle$ [/mm] ist $2$ (Warum?)
>
> Ich hoffe mir kann jemand helfen, da ich bald Prüfung habe
> und da doch etwas auf der Leitung stehe!!
> DANKE!
>
LG mathfunnel
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ok mal schauen ob ich das richtig verstehe:
(123)(12) ist nicht element von [mm] A_{4}, [/mm] das sollte klar sein!!
für <(123)>={(123),(132),id>}
<(123)>(12)={(13),(23),(12)} -> {1,2,3}{4} und daher 2 Bahnen
zweites bespiel
<(243)>={(243),(234),id}
<(243)>(12)={(1432),(1342),(12)} ->{1,2,3,4} und daher 1 Bahn
ist das soweit richtig?!
für die vom Typ 3 ist die länge der bahn immer 1 oder 2!
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Hallo mathestudent3,
> ok mal schauen ob ich das richtig verstehe:
> (123)(12) ist nicht element von [mm]A_{4},[/mm] das sollte klar
> sein!!
Ja, sollte! 
>
> für <(123)>={(123),(132),id>}
> <(123)>(12)={(13),(23),(12)} -> {1,2,3}{4} und daher 2
> Bahnen
Ist ' -> {1,2,3}{4}' ein Rätsel?
Die beiden Bahnen von [mm] $\left\langle (123)\right\rangle$ [/mm] sind:
[mm] $\left\langle (123)\right\rangle \circ \{1,2\} [/mm] = [mm] \{\{1,2\}, \{2,3\}, \{3,1\}\}$
[/mm]
[mm] $\left\langle (123)\right\rangle \circ \{1,4\} [/mm] = [mm] \{\{2,4\}, \{3,4\}, \{1,4\}\}$
[/mm]
>
> zweites bespiel
> <(243)>={(243),(234),id}
> <(243)>(12)={(1432),(1342),(12)} ->{1,2,3,4} und daher 1
> Bahn
???
>
> ist das soweit richtig?!
Nein.
>
> für die vom Typ 3 ist die länge der bahn immer 1 oder 2!
>
Nein, die Bahnlänge teilt die Ordnung der entsprechenden Untergruppe. (A)
Die Vereinigung sämtlicher Bahnen einer Untergruppe hat hier $6$ Elemente.
Also entspricht die Zerlegung in Bahnen der 'Zerlegung der $6$' unter Beachtung von (A).
Beipiel für [mm] $\left\langle (123)\right\rangle$:
[/mm]
$6 = 3 + 3$ ($2$ Bahnen der Länge $3$)
Beipiel für eine Untergruppe der Ordnung $2$:
$6 = 1 + 1 + 2 + 2$ ($4$ Bahnen; $1,2$ teilen $2$)
LG mathfunnel
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so jetzt versteh ich es gar nicht mehr! vielleicht hilft es, wenn ich ein beispiel aus der vorlesung aufschreibe:
wenn gilt, dass [mm] G=A_{5} [/mm] und M:={1,2,3,4,5}
hier haben wir aufgeschrieben, dass |G|=60
|<s> \ [mm] M|=\begin{cases} 3 \mbox{ für s= Typ(3) ->20 Elemente; zB (123):\{1,2,3\}\{4\}\{5\}} \\ 1 \mbox{ für s= Typ(5) ->24 Elemente; zB (12345):\{1,2,3,4,5\}} \\ 3 \mbox{ für s= Typ(2,2) ->15 Elemente; zB (12)(34):\{1,2\}\{3,4\}\{5\}} \end{cases}
[/mm]
das leuchtet mir irgendwie ein. für (123) ist (123) 1 Bahn und man hat 2 Fixpunkte! das heißt insgesamt gib es 3. das gleiche für Typ(5)
was ist zu dem der große unterschied wenn ich M einschränke, so dass die länge nur mehr 2 ist?!
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Hallo mathestudent3!
> so jetzt versteh ich es gar nicht mehr! vielleicht hilft
> es, wenn ich ein beispiel aus der vorlesung aufschreibe:
> wenn gilt, dass [mm]G=A_{5}[/mm] und M:={1,2,3,4,5}
>
> hier haben wir aufgeschrieben, dass |G|=60
>
> |<s> \ [mm]M|=\begin{cases} 3 \mbox{ für s= Typ(3) ->20 Elemente; zB (123):\{1,2,3\}\{4\}\{5\}} \\ 1 \mbox{ für s= Typ(5) ->24 Elemente; zB (12345):\{1,2,3,4,5\}} \\ 3 \mbox{ für s= Typ(2,2) ->15 Elemente; zB (12)(34):\{1,2\}\{3,4\}\{5\}} \end{cases}[/mm]
>
> das leuchtet mir irgendwie ein. für (123) ist (123) 1
> Bahn und man hat 2 Fixpunkte! das heißt insgesamt gib es
> 3. das gleiche für Typ(5)
Das leuchtet mir auch ein!
>
> was ist zu dem der große unterschied wenn ich M
> einschränke, so dass die länge nur mehr 2 ist?!
Der große Unterschied ist, dass wir hier eine völlig andere Operation [mm] '$\circ$' [/mm] von [mm] $A_4$ [/mm] auf einer völlig anderen Menge $M = [mm] \{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}\}$ [/mm] betrachten.
Wir betrachten [mm] \textbf{nicht} '$A_4$ [/mm] operiert natürlich auf [mm] $\{1,2,3,4\}$'.
[/mm]
LG mathfunnel
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das heißt die vom typen abhängige relation geht hier vollkommen verloren?! blöde sache weil dann verstehe ich es noch immer nicht :)
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Hallo mathestudent3!
wo ist die Frage?
> das heißt die vom typen abhängige relation geht hier
> vollkommen verloren?! blöde sache weil dann verstehe ich
> es noch immer nicht :)
Du solltest Dir die Grundbegriffe von Operationen von Monoiden auf Mengen klar machen.
Das Monoid ist hier die alternierende Gruppe [mm] $A_4$. [/mm] Die Menge auf der [mm] $A_4$ [/mm] operiert ist
$M := [mm] \{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}\}$. [/mm] Die Operation [mm] $\circ$ [/mm] der [mm] $A_4$ [/mm] auf $M$ ist wohldefiniert durch [mm] $s\circ [/mm] X := [mm] \{s(x); x \in X\}$ [/mm] für $X [mm] \in [/mm] M$ und [mm] $s\in A_4$, [/mm] da $s$ eine bijektive Abbildung auf [mm] $\{1,2,3,4\}$ [/mm] ist.
Die Menge [mm] $\left\langle (123)\right\rangle\circ [/mm] X := [mm] \{s\circ X\ : s \in \left\langle (123)\right\rangle\}$ [/mm] ist die Bahn von $X$ unter [mm] $\left\langle (123)\right\rangle$.
[/mm]
Für die verlorengegangenen Relationen zu Typen, findest Du neue Relationen!
Und hier nochmal die Beipiele:
[mm] $\left\langle (123)\right\rangle \circ \{1,2\} [/mm] = [mm] \{\{1,2\}, \{2,3\}, \{3,1\}\}$
[/mm]
[mm] $\left\langle (123)\right\rangle \circ \{1,4\} [/mm] = [mm] \{\{2,4\}, \{3,4\}, \{1,4\}\}$
[/mm]
Versuch einfach mal ein paar Bahnen von zyklischen Untergruppen der [mm] $A_4$ [/mm] (bezüglich der Operation [mm] $\circ$) [/mm] hinzuschreiben. Das ist wirklich leicht, wenn Du verstanden hast wie die Begriffe definiert sind.
LG mathfunnel
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also was ich bis jetzt vergessen hatte: s [mm] \circ [/mm] x = [mm] sxs^{-1} [/mm] weil sonst komm ich nicht auf dein ergebnis für [mm] \left\langle (123)\right\rangle \circ \{1,4\} [/mm] = [mm] \{\{2,4\}, \{3,4\}, \{1,4\}\}
[/mm]
hab jetzt mal ein paar angeschrieben und stelle fest, dass
[mm] \left\langle (123)\right\rangle \circ \{1,2\} [/mm] = [mm] \{\{1,2\}, \{2,3\}, \{3,1\}\}=\left\langle (123)\right\rangle \circ \{1,3\} =\left\langle (123)\right\rangle \circ \{2,3\} [/mm]
und
[mm] \left\langle (123)\right\rangle \circ \{1,4\} [/mm] = [mm] \{\{2,4\}, \{3,4\}, \{1,4\}\}=\left\langle (123)\right\rangle \circ \{2,4\} =\left\langle (123)\right\rangle \circ \{3,4\} [/mm]
deshalb gibt es nur 2 Bahnen mit Länge 3?!
für [mm] \left\langle (12)(34)\right\rangle=\{(12)(34),id\}
[/mm]
[mm] \left\langle (12)(34)\right\rangle \circ \{1,4\}=\{\{2,3\}, \{1,4\}\}= \left\langle (12)(34)\right\rangle \circ \{2,3\}
[/mm]
[mm] \left\langle (12)(34)\right\rangle \circ \{1,3\}=\{\{2,4\}, \{1,3\}\}= \left\langle (12)(34)\right\rangle \circ \{2,4\}
[/mm]
[mm] \left\langle (12)(34)\right\rangle \circ \{1,2\}=\{\{1,2\}, \{2,1\}\}
[/mm]
[mm] \left\langle (12)(34)\right\rangle \circ \{3,4\}=\{\{3,4\}, \{3,4\}\}
[/mm]
da hier aber auch die ersten 2 wohl gleich sind würde ich sagen, dass es hier 3 Bahnen sind!
ist der Versuch nun besser?!
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Hallo mathestudent3,
> also was ich bis jetzt vergessen hatte: s [mm]\circ[/mm] x =
> [mm]sxs^{-1}[/mm] weil sonst komm ich nicht auf dein ergebnis für
> [mm]\left\langle (123)\right\rangle \circ \{1,4\}[/mm] = [mm]\{\{2,4\}, \{3,4\}, \{1,4\}\}[/mm]
Verstehe ich nicht! Oder doch? Was ist $x$ und was ist [mm] $sxs^{-1}$? [/mm] $x$ ist keine Permutation! Sieh Dir die Definitionen an!
>
> hab jetzt mal ein paar angeschrieben und stelle fest, dass
>
> [mm]\left\langle (123)\right\rangle \circ \{1,2\}[/mm] = [mm]\{\{1,2\}, \{2,3\}, \{3,1\}\}=\left\langle (123)\right\rangle \circ \{1,3\} =\left\langle (123)\right\rangle \circ \{2,3\}[/mm]
> und
> [mm]\left\langle (123)\right\rangle \circ \{1,4\}[/mm] = [mm]\{\{2,4\}, \{3,4\}, \{1,4\}\}=\left\langle (123)\right\rangle \circ \{2,4\} =\left\langle (123)\right\rangle \circ \{3,4\}[/mm]
>
> deshalb gibt es nur 2 Bahnen mit Länge 3?!
Ja, es gibt genau $2$ Bahnen der Länge $3$ für [mm] $\left\langle (123)\right\rangle$. [/mm]
>
> für [mm]\left\langle (12)(34)\right\rangle=\{(12)(34),id\}[/mm]
>
> [mm]\left\langle (12)(34)\right\rangle \circ \{1,4\}=\{\{2,3\}, \{1,4\}\}= \left\langle (12)(34)\right\rangle \circ \{2,3\}[/mm]
>
> [mm]\left\langle (12)(34)\right\rangle \circ \{1,3\}=\{\{2,4\}, \{1,3\}\}= \left\langle (12)(34)\right\rangle \circ \{2,4\}[/mm]
>
> [mm]\left\langle (12)(34)\right\rangle \circ \{1,2\}=\{\{1,2\}, \{2,1\}\}[/mm]
>
> [mm]\left\langle (12)(34)\right\rangle \circ \{3,4\}=\{\{3,4\}, \{3,4\}\}[/mm]
>
> da hier aber auch die ersten 2 wohl gleich sind würde ich
Die ersten 2 sind gleich? Wieso sind die gleich????
> sagen, dass es hier 3 Bahnen sind!
Ich sehe hier $4$ Bahnen.
> ist der Versuch nun besser?!
Ich weiß nicht.
LG mathfunnel
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naja verstehen werde ich es wohl nicht bis zur prüfung aber ich bin jetzt schon zu frieden wenn ich es ausrechnen kann ;)
also ich habe noch etwas gerechnet und bin drauf gekommen, dass alle mit Typ(3) 3 Bahnen haben und alle mit Typ(2,2) haben 4!
Die identität hatt dann wohl 6.
wenn ich jetzt die Anzahl der Färbeklassen (so haben wir das in der VO genannt) berechnen will:
[mm] \bruch{1}{12}*\summe_{s\in G}^{} n^{|/M|}=\bruch{1}{12}*(n^{6}+8*n^{3}+3*n^{4})
[/mm]
das was mich jetzt noch etwas irritier ist das beispiel, dass ich selber angeführt habe.
Hier war M:={1,2,3,4,5} und somit gab es für Typ(3) 3 Bahnen!
[mm] <(123)>\circ \{1,2,3,4,5\}=\mbox [/mm] {{{2,3,1,4,5},{3,1,2,4,5},{1,2,3,4,5}}}
wie erkenne ich hier im vergleich zu vorher die Anzahl der Bahnen? Ist es hier anders weil ich zwei fixpunkte habe?!
lg
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> naja verstehen werde ich es wohl nicht bis zur prüfung
> aber ich bin jetzt schon zu frieden wenn ich es ausrechnen
> kann ;)
> also ich habe noch etwas gerechnet und bin drauf gekommen,
> dass alle mit Typ(3) 3 Bahnen haben
Ich dachte, wir hätten uns auf $2$ geeinigt?
> und alle mit Typ(2,2)
> haben 4!
> Die identität hatt dann wohl 6.
Klar!
>
> wenn ich jetzt die Anzahl der Färbeklassen (so haben wir
> das in der VO genannt) berechnen will:
> [mm]\bruch{1}{12}*\summe_{s\in G}^{} n^{|/M|}=\bruch{1}{12}*(n^{6}+8*n^{3}+3*n^{4})[/mm]
Also mit der kleinen Korrektur:
$ [mm] \frac{1}{12}\cdot{}\sum_{s\in G} n^{|/M|}=\frac{1}{12}\cdot{}(n^{6}+8\cdot{}n^{2}+3\cdot{}n^{4}) [/mm] $
Noch ein Tipp: Die [mm] $A_4$ [/mm] operiert auf der $6$-elementigen Menge $M$ und kann deshalb als Untergruppe von [mm] $S_6$ [/mm] aufgefasst werden (das muss natürlich bewiesen werden).
Bei geeigneter Nummerierung findet man, dass $(123)$ als Element der [mm] $S_6$ [/mm] so aussieht $(123)(456)$ und $(12)(34)$ als [mm] $S_6$-Element [/mm] sieht so aus: $(1)(6)(25)(34)$. Dann kann man auch 'ganz normal' Anzahl der Bahnen ablesen.
>
>
> das was mich jetzt noch etwas irritier ist das beispiel,
> dass ich selber angeführt habe.
> Hier war M:={1,2,3,4,5} und somit gab es für Typ(3) 3
> Bahnen!
> [mm]<(123)>\circ \{1,2,3,4,5\}=\mbox[/mm]
> {{{2,3,1,4,5},{3,1,2,4,5},{1,2,3,4,5}}}
>
> wie erkenne ich hier im vergleich zu vorher die Anzahl der
> Bahnen? Ist es hier anders weil ich zwei fixpunkte habe?!
Was soll das sein?
[mm] $\left\langle (123)\right\rangle$ [/mm] hat die Bahnen [mm] $\{1,2,3\}$,$\{4\}$,$\{5\}$.
[/mm]
Das kann man auch an der Darstellung [mm] $\left\langle (123)(4)(5)\right\rangle$ [/mm] ablesen!
>
> lg
LG mathfunnel
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