Anzahl der NST < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Mo 16.10.2006 | | Autor: | aleskos |
| Aufgabe | Geg:
[mm] fk(x)=\bruch{1}{8}x³+\bruch{1}{2}x²-\bruch{1}{4}kx²-\bruch{5}{8}kx+\bruch{3}{2}k
[/mm]
Ges: Anzahl der Nullstellen der Fkt. in Abh. vom Parameter k |
Hallo erstmal,
die Aufgabe habe ich soweit gelöst
[mm] fk(x)=\bruch{1}{8}(x+4)(x²-2kx+3k)
[/mm]
--- wenn k=3 --> NST(-4/0) NST(3/0)
k=0 --> NST (-4/0) NST (0/0)
--- wenn 0<k<3 gibt es nur eine NST
--> NST (-4/0)
--- wenn 0<k>3 drei versch. NST
so und nun kommt, dass was ich nicht ganz verstehe, wenn D>0 sein soll.
als NST bekomme ich dann
NST (-4/0)
[mm] NST(k+\wurzel{k²-3k}/0)
[/mm]
[mm] NST(k-\wurzel{k²-3k}/0)
[/mm]
d.h. es gibt Sonderfall und diesen Sonderfall muss ich also behandeln, sodass, am Schlüss drei bzw. zwei Nullstellen rauskommen mit reelen Zahlen.
Wie gehe ich da vor?
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Hey Tschau aleksos, tönt griechisch!
Du hast die Funktion bereits in diese Form gebracht:
[mm] \bruch{1}{8} [/mm] * (x + 4) * ( [mm] x^{2} [/mm] - 2 * k * x + 3 * k) = 0
Nun kann die erste Klammer Null sein oder die zweite, damit die Gleichung erfüllt ist.
Bei der ersten Klammer ist das sehr einfach:
x = - 4
[mm] N_{1} [/mm] (-4 / 0 )
Wie du bereits richtig geschrieben hast.
Nun betrachten wir die zweite Klammer:
[mm] x^{2} [/mm] - 2 * k * x + 3 * k = 0
Das ist eine quadratische Gleichung und für deren Lösungen gilt:
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{-b \pm \wurzel{b^{2} - 4 * a * c}}{2 * a}
[/mm]
In unserer Gleichung ist
a = 1
b = - 2 * k
und c = 3 * k
Wenn du eine reelle Lösung erhalten willst, muss
[mm] b^{2} [/mm] - 4 * a * c > 0
sein. Warum? Weil sonst eine negative Zahl in der Wurzel ist und im Bereich der reellen Zahlen die Wurzel einer negativen Zahl nicht existiert.
Man nennt [mm] b^{2} [/mm] - 4 * a * c auch die Diskriminante (D).
Denn sie bestimmt die Anzahl Lösungen einer quadratischen Gleichung.
Ist D < 0, gibt es im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung.
Ist D = 0, gibt es eine Lösung. Denn [mm] \pm \wurzel{0} [/mm] = 0.
Ist D > 0, gibt es zwei Lösungen.
Also zurück zu deiner Aufgabe:
Wann ist die Diskriminante überhaupt grösser als Null?
Wenn folgendes gilt:
(- 2 * [mm] k)^{2} [/mm] - 4 * 1 * 3 * k = 4 * [mm] k^{2} [/mm] - 12 * k > 0
Umformen. . .
k * ( k - 3 ) > 0
Fallunterscheidung:
wenn k > 3, ist die Gleichung erfüllt.
wenn k < 0, ist die Gleichung ebenfalls erfüllt.
wenn 0 < k < 3, ist die Gleichung nicht erfüllt. Die Diskriminante ist dann kleiner als Null und somit gibt es keine reelle Lösung.
Die zweite Klammer können wir also für k > 3 und für k < 0 untersuchen.
Bei beiden Bedingungen gilt ja:
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{-b \pm \wurzel{b^{2} - 4 * a * c}}{2 * a}
[/mm]
Setze jetzt für a, b und c die Ausdrücke mit k ein, wobei du die Diskriminante, die wir vorher bestimmt haben, direkt einsetzten kannst.
Du erhältst folgende zwei Lösungen:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{2 * k \pm \wurzel{4 * k^{2} - 12 * k}}{2} [/mm] = k + [mm] \wurzel{k^{2} - 3 * k}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = k - [mm] \wurzel{k^{2} - 3 * k}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mo 16.10.2006 | | Autor: | aleskos |
vielen dank jackiechan,
doch soweit war ich ja schon
meine Frage betraf die letzte Fallunterscheidung,
wenn es heißt:
[mm] x_{1}=k+\wurzel{k²-3k} [/mm] Die NST ist dann [mm] (k+\wurzel{k²-3k}/0)
[/mm]
[mm] x_{2}=k-\wurzel{k²-3k} [/mm] Die NST ist dann [mm] (k-\wurzel{k²-3k}/0)
[/mm]
Mit diesem Sonderfall kann man auch weiterarbeiten, aber ich weiß leider nicht wie :(
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Hi, aleskos,
> meine Frage betraf die letzte Fallunterscheidung,
> wenn es heißt:
>
> [mm]x_{1}=k+\wurzel{k²-3k}[/mm] Die NST ist dann
> [mm](k+\wurzel{k²-3k}/0)[/mm]
>
> [mm]x_{2}=k-\wurzel{k²-3k}[/mm] Die NST ist dann
> [mm](k-\wurzel{k²-3k}/0)[/mm]
Im Grunde suchst Du doch denjenigen Fall, bei dem eine dieser Lösungen (oder beide) mit der Nullstelle x=-4 zusammenfallen.
Daher der Ansatz:k [mm] \pm \wurzel{k²-3k} [/mm] = -4
[mm] \pm \wurzel{k²-3k} [/mm] = k+4 (kein Vorzeichenfehler! Ich hab' mit -1 multipliziert!)
Nun quadrieren:
[mm] k^{2} [/mm] - 3k = [mm] k^{2} [/mm] + 8k + 16
-11k = 16
k = [mm] -\bruch{16}{11}
[/mm]
Daraus ergeben sich die Nullstellen:
[mm] x_{1/2} [/mm] = -4 (doppelte NS)
und [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{12}{11}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Mo 16.10.2006 | | Autor: | aleskos |
genau das wollte ich wissen!
Habe es mir komplizierter vorgestellt :)
Vielen dank!
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