Anzahl von Elementen in Mengen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Sa 10.01.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo zusammen.
Ich habe da ein Problem bei meinen Multiple-Choice Aufgaben.
Man muss hier die Anzal von Elemneten bestimmen. Das habe ich auch versucht. Nur bei mir kamen ziemlich komische und hohe Werte herraus.
Ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
Also bei allen gilt stets:
Es sei K ein Körper mit q Elementen und A[mm]\in[/mm]Knx1
a) Es sei q=5 und n=5. Dann ist die Anzahl der v1[mm]\in[/mm] Knx1, die als erster Vektor einer Basisfolge von Knx1 gewählt werden können, gleich...
Ich habe hier 124 heraus, da
v1 [mm]\in[/mm]K3x1 somit gibt es 5*5*5=53=125 Möglichkeiten v1 zu bilden und 125-1=124 Möglichkeiten, dass v1 erster Vektor der Basis von K3x1Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
b) Ist n=2 und q=3,so ist
|{v1,v2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
)}|{v1,v2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}ist eine Basis von K2x1Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}| gleich...
Ich habe 480 herraus,da
5*5-1=52-1= 24 Möglichkeiten v1 zu bilden.
Für den 2. Vektor haben wir 24-|<v1>|=24-5=19 Möglichkeiten.
Dann ergibt sich 24*(25-5)=24*20=480 Basisfolgen
Somit 480 Elemente dieser Menge.
c) Es sei n=3 und q=5. Dann ist die Anzahl der Basisfolgen (v1,...,vn) von Knx1 gleich....
d) Für q=3 ist die Anzahl der Elemente von GL3(K) gleich ...
Bei den letzten beiden habe ich so hohe Zahlen herraus,die einfach nicht stimmen können.
Also was meint ihr dazu?
Vielen Dank schon im vorraus
Jessica.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 So 11.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
unbeantwortete Fragen sind unschön, deswegen schreibe ich noch was dazu, auch wenn es für eine rechtzeitige Antwort bereits zu spät ist.
> Ich habe da ein Problem bei meinen Multiple-Choice
> Aufgaben.
Hat man bei Mutiple-Choice nicht die Wahl zwischen Antwort-Möglichkeiten? Das sehe ich bei diesen Aufgaben nicht.
> Man muss hier die Anzal von Elemneten bestimmen. Das habe
> ich auch versucht. Nur bei mir kamen ziemlich komische und
> hohe Werte herraus.
> Ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
>
> Also bei allen gilt stets:
> Es sei K ein Körper mit q Elementen und
> A[mm]\in[/mm]Knx1
Das verstehe ich bereits nicht. A ist also ein (Spalten-) Vektor, mit n Zeilen und 1 Spalte. [mm] K^{n\times 1} [/mm] ist einfach ein 1-dim Vektorraum.
Dann macht es für mich aber keinen Sinn, von einer Basisfolge zu sprechen, da bereits jeder von [mm] \vec 0 [/mm] verschiedene Vektor eine Basis bildet.
> a) Es sei q=5 und n=5. Dann ist die Anzahl der
> v1[mm]\in[/mm] Knx1, die als erster Vektor
> einer Basisfolge von Knx1 gewählt werden können,
> gleich...
>
> Ich habe hier 124 heraus, da
> v1 [mm]\in[/mm]K3x1 somit gibt es
> 5*5*5=53=125 Möglichkeiten v1 zu
> bilden und 125-1=124 Möglichkeiten, dass v1
> erster Vektor der Basis von K3x1.
Ja, es gibt 124 von [mm] \vec 0 [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
verschiedene Vektoren.
> b) Ist n=2 und q=3,so ist
>
> |{v1,v2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
)}|{v1,v2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}ist
> eine Basis von K2x1Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}| gleich...
Das verstehe ich zusätzlich nicht. [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind jetzt nicht mehr Vektoren aus [mm] K^{n\times 1} [/mm], sondern die Komponenten des Vektors [mm] (v_1,v_2) \in K^{n\times 1} [/mm]?
> Ich habe 480 herraus,da
> 5*5-1=52-1= 24 Möglichkeiten v1 zu
Wieso 5*5? Wegen q=3 müsste es doch 3*3 sein...
Ich denke, ich breche meine Antwort hier ab, das macht alles keinen Sinn für mich. Vielleicht für jemand anderen hier?
Oder vielleicht kannst du mir sagen, was Ihr unter [mm] K^{n\times 1} [/mm] versteht?
Alles Gute,
Marc.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 So 11.01.2004 | | Autor: | Jessica |
Entschuldige ich habe mich da leider verschrieben.
Es gilt K ein Körper mit q Elementen und A[mm]\in[/mm]Knxn
Vielleicht wird das jetzt klarer.
Jessica
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 So 11.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
also lautet die Aufgabenstellung so (bitte zur Sicherheit vergleichen; ich habe an einigen Stellen verbessert):
Es sei K ein Körper mit q Elementen und [mm]A \in K^{n\times n} [/mm]
a) Es sei q=5 und n=5. Dann ist die Anzahl der [mm] v_1 \in K^{n\times 1}[/mm], die als erster Vektor einer Basisfolge von [mm] K^{n \times n} [/mm] gewählt werden können, gleich...
b) Ist n=2 und q=3,so ist
[mm] |\{(v_1,v_2)|\{v_1,v_2\} \;\; \mbox{ist eine Basis von} \; \; K^{2x2}\}| [/mm] gleich...
c) Es sei n=3 und q=5. Dann ist die Anzahl der Basisfolgen [mm] (v_1,\ldots,v_n)[/mm] von [mm] K^{n \times n} [/mm] gleich....
d) Für q=3 ist die Anzahl der Elemente von [mm] GL_3(K) [/mm] gleich ...
Alles Gute,
Marc.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 So 11.01.2004 | | Autor: | Jessica |
also da sind noch ein paar Feler und lautet die Aufgabenstellung so:
Es sei K ein Körper mit q Elementen und K nxn
a) Es sei q=5 und n=3. Dann ist die Anzahl der [mm] v_1 \in K^{n\times 1} [/mm] , die als erster Vektor einer Basisfolge von K nx1 gewählt werden können, gleich...
b) Ist n=2 und q=3,so ist [mm] |\{(v_1,v_2)|\{v_1,v_2\} \;\; \mbox{ist eine Basis von} \; \; K^{2x1}\}| [/mm]
gleich...
c) Es sei n=3 und q=5. Dann ist die Anzahl der Basisfolgen [mm] (v_1,\ldots,v_n) [/mm] von [mm] K^{n \times 1} [/mm] gleich....
d) Für q=3 ist die Anzahl der Elemente von [mm] GL_3(K) [/mm]
gleich ...
Das ist jetzt die richtige Aufgabenstellung
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 So 11.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
sorry, dann ist es ja wieder die alte Aufgabenstellung, nur zu Beginn steht zusammenhangslos Kn x n.
Ich denke, ich werde aus dieser Aufgabe nicht schlau, denn ich habe dann damit die gleichen Probleme wie zuvor.
Vielleicht kann jemand anderes einspringen?
Marc.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 So 11.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jessica,
> Es sei K ein Körper mit q Elementen und K nxn
Dieser Satz macht keinen Sinn. Kannst du mir bitte erklären, was hier gemeint ist?
> a) Es sei q=5 und n=3. Dann ist die Anzahl der [mm]v_1 \in K^{n\times 1}[/mm]
> , die als erster Vektor einer Basisfolge von K
> nx1 gewählt werden können, gleich...
Es kommen alle Vektoren außer dem Nullvektor in Frage. Davon gibt es (es gibt drei Felder mit jeweils fünf möglichen skalaren Einträgen):
[mm]5^3-1= 5^3-5^0= 125 - 1 = 124[/mm] Stück.
> b) Ist n=2 und q=3,so ist [mm]|\{(v_1,v_2)|\{v_1,v_2\} \;\; \mbox{ist eine Basis von} \; \; K^{2x1}\}|[/mm]
>
> gleich...
Für [mm]v_1[/mm] gibt es (analog zu a)) [mm]3^2-3^0=9-1 =8[/mm] Möglichkeiten, für [mm]v_2[/mm] verbleiben dann jeweils noch [mm]3^2 - 3^1=6[/mm] Vektoren (alle bis auf die Vielfachen von [mm]v_1[/mm]).
Daher gibt es
[mm]8 \cdot 6 = 48[/mm] Basen.
> c) Es sei n=3 und q=5. Dann ist die Anzahl der Basisfolgen
> [mm](v_1,\ldots,v_n)[/mm] von [mm]K^{n \times 1}[/mm] gleich....
Für [mm]v_1[/mm] gibt es [mm]5^3-5^0=124[/mm] Möglichkeiten (siehe a)), für [mm]v_2[/mm] gibt es jeweils
[mm]5^3 - 5^1 = 120[/mm] mögliche Vekoren (analog zu b))
und für [mm]v_3[/mm] verbleiben noch
[mm]5^3 - 5^2 = 100[/mm] Möglichkeiten (alle bis auf die Linearkombinationen von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm]).
Insgesamt gibt es also:
[mm]124 \cdot 120 \cdot 100 = 1488000[/mm]
mögliche Basen.
> d) Für q=3 ist die Anzahl der Elemente von [mm]GL_3(K)[/mm]
> gleich ...
Eien Matrix ist genau Element von [mm]GL_3(K)[/mm], wenn die Spaltenvektoren eine Basis von [mm]K^3[/mm] bilden.
Daher gibt es (analog zu c))
[mm](3^3-3^0)\cdot(3^3-3^1)\cdot(3^3-3^2) = 26 \cdot 24 \cdot 18 = 11232[/mm]
Elemente in [mm]GL_3(K)[/mm].
Alles klar?
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Mo 12.01.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo Stefan,
danke nochmal mir ist alles klar geworden. Hatte bei a) c) und d) die selben Ergebnisse heraus. Dachte nur weil sie so hoch waren, das sie falsch seien.
>Es sei K ein Körper mit q Elementen und K nxn.
Dieser Satz macht keinen Sinn. Kannst du mir bitte erklären, was hier gemeint ist?
Also dieser Satz stand über diesen Multiple-Choice Aufgaben. Da fehlt aber, dass A "Element von" Knxn war. Hatte ich das vergessen? Wenn ja tut mir leid.
Also der satz sagt dann aus, das K ein Körper mit q Elementen ist und A "Element von" Knxn ist.
Jessica
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Mo 12.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jessica,
Danke für deine Nachricht.
> danke nochmal mir ist alles klar geworden. Hatte bei a) c)
> und d) die selben Ergebnisse heraus. Dachte nur weil sie so
> hoch waren, das sie falsch seien.
Was hattest du denn bei b) raus?
> >Es sei K ein Körper mit q Elementen und K nxn.
> Dieser Satz macht keinen Sinn. Kannst du mir bitte
> erklären, was hier gemeint ist?
>
> Also dieser Satz stand über diesen Multiple-Choice
> Aufgaben. Da fehlt aber, dass A "Element von"
> Knxn war. Hatte ich das vergessen? Wenn ja tut
> mir leid.
Okay, dann macht der Satz zumindestens grammatikalisch Sinn.  Mathematisch allerdings nicht, denn [mm]A[/mm] kommt ja später bei den Teilaufgaben nicht ein einziges Mal vor. (??)
> Also der satz sagt dann aus, das K ein Körper mit q
> Elementen ist und A "Element von" Knxn ist.
Ja, das ist mir dann schon klar, wenn man [mm]A[/mm] ergänzt..
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Mo 12.01.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo Stefan,
bei b) hatte ich 480 Möglichkeiten herraus, aber ich glaube das hatte ich auch schon geschrieben. wie genau ich da drauf gekommen bin, steht in meiner ersten frage hier zu.
>Okay, dann macht der Satz zumindestens grammatikalisch Sinn. Mathematisch allerdings nicht, denn kommt ja später bei den Teilaufgaben nicht ein einziges Mal vor. (??)
Das ist schon richtig aber ich hatte noch eine andere Frage die damit zu tun hatte. Und in der kam dann A auch vor. Aber zu der wusste ich die richtige Antwort.
Also danke nochmals für eure Hilfe gestern.
Jessica
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 So 11.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jessica,
ich habe die Aufgabe gelöst und könnte dir die Lösungen auch erklären. Nur würde ich vorher ganz gerne wissen, ob sie auch richtig sind. Da es Multiple-Choice-Aufgaben sind, kannst du mir ja mal die möglichen Antworten nennen. Wenn meine Zahlen dann dabei sind, dann wird es wohl richtig sein. In diesem Fall schreibe ich dir meine Lösungen auf und erkläre sie dir.
Melde dich mal, dann geht es weiter...
Alles Gute
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 So 11.01.2004 | | Autor: | Jessica |
Also bei diesen Multipul Choice Aufgaben sind keine ANtwortmöglichkeiten angegeben. Hier gibt es nur ein freies Feld wo man das Ergebnis eintargen kann. Deswegen kann ich euch keine möglichen Ergebnisse angeben.
Gruß
Jessica
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 So 11.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jessica,
dann sind es also keine Multiple-Choice-Aufgaben, denn so hätte man ja -wie der Name schon sagt- mehrere Antwortmöglichkeiten vorgegeben, aus denen man einige (im Fall deiner Aufgabe eine) auswählen kann.
Nun ja, meine Antwortversuche kommen heute noch.
Stefan
|
|
|
|
