Approximation Binomialverteil. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 So 05.09.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Sei X Bi(n,p) mit n=100.
(a) Sei p=0.01. Finden Sie eine Approximation zur Wahrscheinlichkeit P (X >= 3). Wie kann man den Approximationsfehler durch n und p bestimmen?
(b) Sei p=0.2. Finden Sie eine Approximation zur Wahrscheinlichkeit P(X>=30). |
Hallo,
a) Die Aufgabe (a) habe ich bereits bewältigt. Ich bin folgendermassen vorgegangen:
P(X>=3)= 1-P(X<3)
Also existiert c=n*p=1 und Y poissonverteilt Poi(c)
Ich rechne also 1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2) aus und erhalte [mm] 1-5/2e^{-1}.
[/mm]
Den Approximationsfehler erhält man, indem man 2np² berechnet: ich erhalte 0.02. Stimmt das etwa so?
b) Hier habe ich grössere Probleme, und hatte auch schon welche bei ähnlichen Aufgaben. Ich gehe bis jetzt folgendermassen vor:
P (X >= 30) = 1 - P(X < 30)
P(X < 30) = [mm] \bruch{1}{n*p*q*\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{(k-n*p)^{2}}{2*n*p*q}}
[/mm]
und erhalte somit 0.00109.
Ich rechne dann 1-0.00109 = 0.9989. Kann das so stimmen?
Vielen Dank im Voraus!!
Liebe Grüsse,
Natascha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 So 05.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Sei X Bi(n,p) mit n=100.
> (a) Sei p=0.01. Finden Sie eine Approximation zur
> Wahrscheinlichkeit P (X >= 3). Wie kann man den
> Approximationsfehler durch n und p bestimmen?
> (b) Sei p=0.2. Finden Sie eine Approximation zur
> Wahrscheinlichkeit P(X>=30).
> Hallo,
>
> a) Die Aufgabe (a) habe ich bereits bewältigt. Ich bin
> folgendermassen vorgegangen:
> P(X>=3)= 1-P(X<3)
> Also existiert c=n*p=1 und Y poissonverteilt Poi(c)
> Ich rechne also 1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2) aus und erhalte
> [mm]1-5/2e^{-1}.[/mm]
> Den Approximationsfehler erhält man, indem man 2np²
> berechnet: ich erhalte 0.02. Stimmt das etwa so?
>
> b) Hier habe ich grössere Probleme, und hatte auch schon
> welche bei ähnlichen Aufgaben. Ich gehe bis jetzt
> folgendermassen vor:
> P (X >= 30) = 1 - P(X < 30)
>
> P(X < 30) =
> [mm]\bruch{1}{n*p*q*\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{(k-n*p)^{2}}{2*n*p*q}}[/mm]
> und erhalte somit 0.00109.
> Ich rechne dann 1-0.00109 = 0.9989. Kann das so stimmen?
>
> Vielen Dank im Voraus!!
>
> Liebe Grüsse,
>
> Natascha
Hallo,
zu den konkreten Rechnungen habe ich nichts nachgeprüft.
Ich möchte dich nur auf ein Manko aufmerksam machen.
Die Aufgabenstellung ist immer: "Finden Sie eine Approximation...".
Du hast dich (kommentarlos) einmal für eine Poisson- und einmal für eine Normalverteilung entschieden.
Zur Lösung gehört dann auch eine Begründung, warum im konkreten Fall gerade diese und nicht die andere Variante gewählt wurde.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 So 05.09.2010 | | Autor: | natascha |
Hallo,
Ja, da hast du Recht, ich habe das zu wenig deutlich geschrieben, und auch hätte ich noch sagen können, wann diese Approximationen Sinn machen (bezüglich der Grösse p und n). Vielen Dank für die Anmerkung!
Liebe Grüsse,
Natascha
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:21 Mo 06.09.2010 | | Autor: | natascha |
> b) Hier habe ich grössere Probleme, und hatte auch schon
> welche bei ähnlichen Aufgaben. Ich gehe bis jetzt
> folgendermassen vor:
> P (X >= 30) = 1 - P(X < 30)
>
> P(X < 30) =
> [mm]\bruch{1}{n*p*q*\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{(k-n*p)^{2}}{2*n*p*q}}[/mm]
> und erhalte somit 0.00109.
> Ich rechne dann 1-0.00109 = 0.9989. Kann das so stimmen?
Hallöchen,
Ich wäre froh, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte. Stimmt mein Vorgehen so?
Vielen Dank!
Liebe Grüsse,
Natascha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Di 07.09.2010 | | Autor: | Disap |
Hallo Natascha.
Trotzdem ein Kommentar zu Aufgabe a)
Wo hast du die Formeln eigentlich her, d. h.
> Den Approximationsfehler erhält man, indem man 2np² berechnet
?
Dieses Ergebnis ist für mich nicht offensichtlich und diese Approximationsabschätzung kenne ich auch nicht. Im übrigen war ich etwas faul und habe die Werte nicht eingesetzt.
> > b) Hier habe ich grössere Probleme, und hatte auch schon
> > welche bei ähnlichen Aufgaben. Ich gehe bis jetzt
> > folgendermassen vor:
> > P (X >= 30) = 1 - P(X < 30)
> >
> > P(X < 30) =
> >
> [mm]\bruch{1}{n*p*q*\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{(k-n*p)^{2}}{2*n*p*q}}[/mm]
> > und erhalte somit 0.00109.
> > Ich rechne dann 1-0.00109 = 0.9989. Kann das so
> stimmen?
Ich glaube, du verwechselst hier etwas. Das Ergebnis ist purer Zufall.
1. abakus' Mitteilung war ziemlich hilfreich, dass du dich hier auf die Normalverteilung beziehst.
2. Du verwendest ANSCHEINEND die Dichte der Normalverteilung, die lautet aber anders (wenn auch ähnlich)
2.1. Die Varianz der Binomialverteilung ist [mm] $\sigma^2 [/mm] = nqp$; der Erwartungswert offensichtlich [mm] $\mu=n*p$
[/mm]
2.2. Die Dichte der Normalverteilung f(t) sieht wie folgt aus:
$f(t) = [mm] \frac{1}{\sqrt{2*\pi*\sigma^2}}*exp(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2})$
[/mm]
In dem Vorfaktor (also vor dem exp) steht unter der Wurzel das [mm] \sigma^2, [/mm] du vergisst bei dir aber die Wurzel. Siehst du den Unterschied?
3. Die Dichte f(t) ist im stetigen Fall doch gerade die Ableitung der Verteilungsfunktion [mm] $F_X(t)$, [/mm] X Zufallsvariable.
Und jetzt kommts!
4. Es gilt [mm] $F_X(t) [/mm] = [mm] P(X\le [/mm] t) = [mm] \int [/mm] f(x) dx$
Entsprechend hättest du über die Dichte integrieren müssen.
> Hallöchen,
>
> Ich wäre froh, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen
> könnte. Stimmt mein Vorgehen so?
> Vielen Dank!
>
> Liebe Grüsse,
>
> Natascha
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:33 Di 07.09.2010 | | Autor: | natascha |
Ich habe mich jetzt noch ein wenig mit dem Thema auseinandergesetzt und gehe die Approximation nun wie folgt an:
P(X >= 30) = 1-P(X<30) = 1- P(X<=29)
Umwandlung in z: [mm] Z=\bruch{X-E(X)}{\wurzel{Var(X)}} [/mm] = 9/4 = 2.25
Also schaue ich in der Tabelle nach
1 - P(X <= 29) = 1 - P(Z <= 2.25) = 1 - 0.9878 = 0.0122
Stimmt das jedoch so? Weil ist ja schon gerade das Gegenteil von meinem anderen Ansatz... :S :S
Viele Grüsse,
Natascha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Di 07.09.2010 | | Autor: | Disap |
> Ich habe mich jetzt noch ein wenig mit dem Thema
> auseinandergesetzt und gehe die Approximation nun wie folgt
> an:
> P(X >= 30) = 1-P(X<30) = 1- P(X<=29)
> Umwandlung in z: [mm]Z=\bruch{X-E(X)}{\wurzel{Var(X)}}[/mm] = 9/4 =
> 2.25
> Also schaue ich in der Tabelle nach
> 1 - P(X <= 29) = 1 - P(Z <= 2.25) = 1 - 0.9878 = 0.0122
> Stimmt das jedoch so? Weil ist ja schon gerade das
> Gegenteil von meinem anderen Ansatz... :S :S
Diesen Ansatz halte ich für korrekt, das Ergebnis ist mit 0.0122 auch nicht zu hoch. Wie du der Tabelle für Standardnormalverteilung schon entnehmen konntest, ist $P(X [mm] \le [/mm] 30)$ schon ziemlich nahe bei 1. Dass es dann also [mm] \ge [/mm] 30 ist, sollte in der Nähe bei 0 liegen.
Disap
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Di 07.09.2010 | | Autor: | natascha |
Vielen Dank für die Erklärungen!
Liebe Grüsse,
Natascha
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