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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:49 Fr 19.02.2016 | | Autor: | donny3 |
| Aufgabe | (a) Sei [mm] $\{ \psi_j : j \geq 1 \} \subset L^1(\IR^d)$, [/mm] sodass für jedes $f [mm] \in L^1$ [/mm] gilt, dass $||f [mm] \* \psi_j [/mm] - [mm] f||_1 \to [/mm] 0$ für $j [mm] \to \infty$. [/mm] Zeige, dass [mm] $\int \psi_j \to [/mm] 1$ für $j [mm] \to \infty$ [/mm] und [mm] $\sup_j ||\psi_j||_1 [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
(b) Zeige, dass eine Folge [mm] $\{\psi_j\} \subset L^1(\IR^d)$ [/mm] existiert, sodass $f [mm] \* \psi_j$ [/mm] für jedes $f [mm] \in C_c(\IR^d)$ [/mm] gleichmäßig gegen $f$ konvergiert, aber nicht gilt, dass [mm] $\int_{|x|>\delta} {|\psi_j(x)| dx} \to [/mm] 0$ für $j [mm] \to \infty$ [/mm] und alle [mm] $\delta [/mm] > 0$.
(c) Zeige, dass eine Folge [mm] $\{\psi_j\} \subset L^1(\IR^d)$ [/mm] existiert, sodass für jedes $f [mm] \in L^1$ [/mm] gilt, dass $||f [mm] \* \psi_j [/mm] - [mm] f||_1 \to [/mm] 0$ für $j [mm] \to \infty$, [/mm] aber nicht gilt, dass [mm] $\int_{|x|>\delta} {|\psi_j(x)| dx} \to [/mm] 0$ für $j [mm] \to \infty$ [/mm] und alle [mm] $\delta [/mm] > 0$. |
Hallo,
zu (a): Für alle $g [mm] \in L^1$ [/mm] gilt, dass [mm] $|\hat{g}(0)| \leq \int [/mm] {|g(x)| dx} = [mm] ||g||_1$, [/mm] wobei [mm] $\hat{g}$ [/mm] die Fouriertransformierte von $g$ ist. Daher gilt [mm] $|\hat{f}(0) \hat{\psi}(0) [/mm] - [mm] \hat{f}(0)| \leq [/mm] ||f [mm] \* \psi_j [/mm] - [mm] f||_1 \to [/mm] 0$ für $j [mm] \to \infty$ [/mm] und alle $f [mm] \in L^1$. [/mm] Wähle $f = [mm] \frac{\chi_{B_1(0)}}{|B_1(0)|}$, [/mm] dann [mm] $\hat{f}(0) [/mm] = 1$ und somit [mm] $|\hat{\psi_j}(0) [/mm] - 1| [mm] \to [/mm] 0$, d.h. [mm] $\int {\psi_j(x) dx} [/mm] = [mm] \hat{\psi_j}(0) \to [/mm] 1$.
Für die gleichmäßige Beschränktheit betrachte [mm] $T_j: L^1 \to L^1$, $T_j [/mm] f = f [mm] \* \psi_j$. [/mm] Dann ist $T$ stetig, denn $||f [mm] \* \psi_j||_1 \leq ||f||_1 ||\psi_j||_1$. [/mm] Um den Satz von Banach-Steinhaus anwenden zu können, müssen wir [mm] $\sup_j ||T_j f||_1 [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] zeigen. Wenn zudem noch [mm] $||T_j|| [/mm] = [mm] ||\psi_j||_1$ [/mm] gilt, dann folgt [mm] $\sup_j ||\psi_j||_1 [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Hier komme ich nun nicht mehr weiter. Kann jemand weiterhelfen? Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 27.02.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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