Approximation m. Skalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Im Raum [mm] L_{2}(1,2) [/mm] ist die Funktion f(x)= [mm] x^{-3}, [/mm] x element [1,2] mglst. gut (i.Sinne der durch das Skalarprodukt [mm] =\integral_{1}^{2}{f(x)g(x) dx} [/mm] erzeugten Norm) durch ein lineare Polynom zu approximieren. |
Hallo, ehrlich gesagt, die Formulierung ist mir sehr schwer verständlcih...Könnt ihr mich auf die richtige Bahn schubsen?
Und zwar dachte ihc bisher:
(Vorneweg, ich versuche die ganze Zeit, mir das PRoblem nicht mit Polynomen sondern mit Vektoren vorzustellen, bitte korrigiert micht, wenn ich diesbzgl. schmarrn schreibe!!)
Die gegebene Funktion ist höheren Grades, sie soll "approximiert" werden (vergleichbar mit einem Vektor des R3, in die xy ebene projieziert werden soll?)
Aber ist den "möglichst gut approximieren"= "projiezieren" (sind das die äquivalenten ausdrücke bei polynomen und vektoren??)
hat eigtl ein projiezierter vektor die gleiche länge wie vorher?? dann wäre es mir logisch, aber ich dachte immer, das ist wie so ein "schattenbild", dann wäre es laut meiner zeichnung aber nicht gleichlang...
ich denke, ich bin noch nicht s ganz firm in der sache...
ich danke für aufklärung
LZ
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Do 18.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Aufgabe in Projektionen zu übersetzen ist recht kompliziert und hilft nicht. du suchst eine lineare fkt l(x)=ax+b so dass d(f.l) definiert durch die Norm minimal wird.
also mit [mm] d(l,f)=\integral_{1}^{2}{(f(x)-l(x))^2 dx}=F(a,b) [/mm] suchst du das Min von F(a,b)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Do 18.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hallo
> die Aufgabe in Projektionen zu übersetzen ist recht
> kompliziert und hilft nicht.
Also erstens hilft es (denn die Lösung ist dann Standard-LinAlg), und zweitens scheint mir Gram-Schmidt auf 1,x angewendet hier ziemlich einfach zu sein. Die Berechnung der Koeffizizenten dann auch einfachere Berechnungen als das Integral mit den Konstanten a, b zu lösen und dann die eregeben Funktion zu minimieren. YMMV.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Do 18.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
Also, da ich mich wirklich gerade total aufhänge an der Aufgabe wäre es wohl wirklich toll, auf beiden Wegen zum Ziel zu kommen....Man weiß nie, was einem in ner Klausur einfällt....Außerdem lernt der Mensch nie aus, und ich habe bei diesen Vektorräumen, also eben dieser Polynomschreibweise meine ECHTEN Probleme....Wenn also jemand nochmal einhaken möchte...Ich bin dabei 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Do 18.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Außerdem lernt der Mensch nie aus, und ich
> habe bei diesen Vektorräumen, also eben dieser
> Polynomschreibweise meine ECHTEN Probleme....Wenn also
> jemand nochmal einhaken möchte...Ich bin dabei
Willst du nicht lieber deine Lösungsversuche posten? Also zB auch das ganze mit Gram-Schmidt und orthogonaler Projektion?
SEcki
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Tut mir leid, aber ich verstehe zwei Dinge immer noch nicht:
1. Wieso berechnet man jetzt eigentlich nicht den Abstand zwischen f und l, indem man den Betrag ihrer Differenz berechnet? Ich dachte, so war der Abstand bei diesem Skalarprodukt definiert? Oder heißt dieses "im Sinne des skalarprodukts" nur, dass ich einfach diese definition anwende, und da "beste" Näherung(!) ja nur heißen kann, dass dieser Ausdruck so klein wie möglich werden muss?
Und ich wollte jetzt das Skalarprodukt einfach ausrechnen, was dann F(a,b) ergibt (wieso eigentlich nicht von x abhg, ich dachte, dass wäre unsere Variable?). Jedoch scheitere ich iwie, weil ich da sowas rausbekomme:
[mm] 31/(5*32)-(2/3)a^{2}-4ab+7b+2b^{2}...aber [/mm] egal was ich sonst noch mit der funktion anstellen würde...ich komm doch da nie auf
p= 3/2+x(3/4)????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Do 18.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> 1. Wieso berechnet man jetzt eigentlich nicht den Abstand
> zwischen f und l, indem man den Betrag ihrer Differenz
> berechnet?
Das tut man auch ...
> Ich dachte, so war der Abstand bei diesem
> Skalarprodukt definiert? Oder heißt dieses "im Sinne des
> skalarprodukts" nur, dass ich einfach diese definition
> anwende, und da "beste" Näherung(!) ja nur heißen kann,
> dass dieser Ausdruck so klein wie möglich werden muss?
Das heißt es. Was gemeint ist: du bracuhst zum Minimeiren des Abstands eine Norm. Und wleche nimsmt du? Die Norm, die von dem angegeben SKP induziert ist. Und es gibt mehrere natürliche Normen auf dem Raum, daher muss man sie angeben.
> Und ich wollte jetzt das Skalarprodukt einfach ausrechnen,
> was dann F(a,b) ergibt (wieso eigentlich nicht von x abhg,
> ich dachte, dass wäre unsere Variable?)
Nein, das ist die Integr.variable bzw. als Abkürzung für die Funktion der Identität.
> [mm]31/(5*32)-(2/3)a^{2}-4ab+7b+2b^{2}...aber[/mm] egal was ich
> sonst noch mit der funktion anstellen würde...ich komm
> doch da nie auf
> p= 3/2+x(3/4)????
Ach, du kennst das Ergebnis? Obiges ist eine Funktion in zwei Variablen. Das kannst du mit Analysis-Methoden (Gradient bilden, 0 setzen etc pp) auf Minima untersuchen.
SEcki
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Ja, es tut mir leid, ich habe wohl im Eifer des Gefechts die Lösung nicht mit eingestellt...Das war natürlich nicht meine Absicht, euch hier noch mehr extra Mühe zu machen :-(
Aber sollte ich nun mein Ergebnis auf Nullstellen untersuchen...also a und b sind die variabeln...mir ist es zwar immer noch nicht klar, warum die VORFAKTOREN meiner Grundgleichung a+bx nun meine Variabeln sind, aber vllt muss ich da nochmal im google wühlen...
ehrlich gesagt: ich habe von gradient noch niemals was gehört...was ich jetzt gefunden habe: scheint so, als ob den "gradient bestimmen" heißt, ich soll F partiell ableiten nach a und nach b? Diese Gleichungen dann jew. Null gesetzt und dort die Nullstellen finden...Das wäre das, was in die Gleichung a+bx rein kommt?
Vllt versteh ich wenigstens noch den Rechenweg, wenn ich heute schon nicht mehr schnall, was es nun heißt "zum minimieren eine norm brauchen"...heißt also was ich hier gerade mache, ist die "strecke" zwischen f und l zu "normieren", weil sonst nicht klar ist, dass die nullstellen, die ich dann finde, auch wirklich die werte sind, für die a+bx "optimal" (am besten approximiert) ist??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Do 18.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
um einen Abstand klein zu machen, muss man einen haben!
für den Abstand von Funktionen gibt es mehrere Möglichkeiten. Wenn man ein Skalarprodukt hat, definiert es immer auch einen Abstand, bzw eine Länge=Norm.
also ist, bei gegebenem Skalarprodukt, d(a,b)=<a-b,a-b>
Wenn du nun damit den Abstand F(a,b) ausgerechnet hast , musst du [mm] F_a=0, F_b [/mm] =0 setzen. und daraus a und b bestimmen. nach deiner Lösung a=3/4 b=3/2
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Fr 19.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
okay, geht jetzt klar
Es dankt sehr
LZ!
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| Aufgabe | Wie groß ist der Abstand von v zu span{u1,u2}
[mm] v=\vektor{4\\ 3\\ 2\\ 1}
[/mm]
[mm] u1=\vektor{1\\ 1\\ 1\\ 1}
[/mm]
[mm] u2=\vektor{1\\ -1\\ 1\\ -1} [/mm] |
Lösung:
Abstand =2
Hallo, da wär ich nochmal:
Ich denke, dass diese Aufgabe gut an mein Verständisproblem mit der Norm anknüpft:
IM R3 wie gesagt kann ich mir das gut vorstellen, aber ich bin mir unsicher, ob ich die Rechenoperationen, die ich im R3 durchführen würde, im R4 und allen anderen Räumen genau die gleiche "Wirkung" haben...
Also, ich hätte im R3 gesagt: Der Abstand eines (Punkt-)Vektors von einem span von zwei Vektoren ist der kürzeste Weg, und somit die Länge der senkrechten Linie auf die Ebene aus den zwei Vektoren.
Jetzt seh ich grad im Merziger die Formeln für den Winkel ( Skalarprodukt zweier Vektoren durch ihr Betrags-Produkt ist cos des Winkels zwischen ihnen) und die Eigenschaft, dass zwei Vektoren a,b senkrecht sind, wenn ihr skalarprodukt Null ist...Allerdings steht da keine Einschränkung, dass das nur "bis" R3 gilt...
Gelten denn diese zwei Regeln also IMMER (egal wie viele Dimensionen oder besser gesagt Spalteneintragungen mein Vektor hat)? Und genauso diese Angaben wie man von der einen Ebenendarstellung in die andere (Parameter- zu Koordinaten-Form) umrechnet? Denn ich dachte, EBENEN gibt es nur im R3? Gibt es denn ühaupt eine EBENEN?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 So 21.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
2 lin unabhängige Vektoren im [mm] \IR^n [/mm] spannen immer eine Ebene auf. deshalb gibt es zwischen ihnen auch einen wohldefinierten Winkel. mit der elben Formel wie in [mm] R^3
[/mm]
deine 2 sind ja schon orthogonal, also mach sie nur noch zu eEinheitsvektoren, dann kannst du v auf e1 und e2 projizieren, kennst damit die Projektion in der Ebene, und dann auch den senkrechten Anteil. Also im Prinzip dasselbe wie in [mm] R^3.
[/mm]
Die übliche Norm im [mm] R^n [/mm] ist dabei die über das übliche Skalarprodukt implizierte.
Gruss leduart
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