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| Aufgabe | Es sei M eine Menge und [mm] \equiv [/mm] eine Äquivalenzrelation auf M. Für ein Element m [mm] \in [/mm] M setzen wir
[m] := [m][mm] _\equiv [/mm] := { [mm] n\in [/mm] M | M [mm] \equiv [/mm] n } und nennen dies die Äquivalenzklasse von m (in M bzgl. [mm] \equiv). [/mm] Weiter bezeichne [mm] M/\equiv [/mm] := ( [m] | m [mm] \in [/mm] M ) die Menge der Äquivalenzklassen in M bzgl. [mm] \equiv. [/mm] Zeigen Sie:
a) Für alle m [mm] \in [/mm] M ist m [mm] \in[/mm] [m]
b) Für alle m,n [mm] \in [/mm] M ist [m] = [n] genau dann, wenn m [mm] \equiv [/mm] n ist.
c) Die Abbildung p := [mm] p_\equiv [/mm] : M [mm] \to M/\equiv [/mm] , m [mm] \mapsto[/mm] [m] , ist surjektiv. Sie heißt kanonische Projektion zur Äquivalenzrelation [mm] \equiv [/mm] |
Hallo, ich hab die größten Verständnisprobleme bei dieser Aufgabe, mein Problem ist vor allem, dass ich gerade mal so die Äquivalenzrelationen verstanden habe und dann ist hier die Rede von Klassen. Wär super wenn mir hier jemand einen Ansatz geben könnte.
Besten Dank im Voraus.
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> Es sei M eine Menge und [mm] \equivine [/mm] Äquivalenzrelation auf
> M. Für ein Element m [mm] \inM [/mm] setzen wir
> [m]:= [m][mm] _\equiv [/mm] := [mm] {n\in M | m \equiv n } [/mm] und nennen dies die Äquivalenzklasse von m (in M bzgl. [mm] \equiv). [/mm] Weiter bezeichne [mm] M/\equiv [/mm] := ( [m]| m [mm] \in[M [/mm] ) die Menge der Äquivalenzklassen in M bzgl. [mm] \equiv.Zeigen [/mm] Sie:
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> a) Für alle m [mm] \inM [/mm] ist m [mm] \in[/mm] [m]
> b) Für alle m,n [mm] \inM [/mm] ist [m]= [n] genau dann, wenn m [mm] \equiv [/mm] n ist.
> c) Die Abbildung p := [mm] p_\equiv [/mm] : M [mm] \to M/\equiv [/mm] , m [mm] \mapsto[/mm] [m], ist surjektiv. Sie heißt kanonische Projektion zur Äquivalenzrelation [mm] \equiv
[/mm]
> Hallo, ich hab die größten Verständnisprobleme bei dieser Aufgabe, mein Problem ist vor allem, dass ich gerade mal so die Äquivalenzrelationen verstanden habe und dann ist hier die Rede von Klassen.
Hallo,
wir versuchen am besten erstmal die "Äquivalenzklassen" zu klären.
Du hast eine Äquivalenzrelation [mm] \equiv [/mm] auf M.
Nun definiert man eine neue Menge:
Sei [mm] m\in [/mm] M, dann ist [m] die Menge, die alle Elemente aus M enthält, welche zu m äquivalent sind.
Genau das erzählt Dir
> [m] := [mm] \{ n \in M | m \equiv n \} [/mm]
Solch eine Äquivalenzklasse kann man natürlich zu jedem Element aufstellen,
Man erhält die Menge
> M / [mm] \equiv [/mm] := ( [m] | m [mm] \in [/mm] M ), welche alle Äquivalenzklassen v. M (bzgl. [mm] \equiv [/mm] ) enthält.
Diese Menge (es ist eine Menge v. Mengen) sieht nur auf den ersten Blick so aus, als würde sie genausoviel Elemente wie M enthalten. Tatsächlich stimmen aber i.d.R. einige dieser Äquivalenzklassen überein, das wirst Du in b) zeigen.
Klasse: durch die Äquivalenzklassen erhält man eine "Aufteilung" von M in Teilmengen, welche paarweise elementfremd sind, und deren Vereinigung M ergibt. Wie bei den Schulklassen.
zu a) das bekommst Du, indem Du eine Eigenschaft der Äquivalenzrelation verwendest.
zu b)
Tip: [m]=[n] bedeutet [m]subseteq [n] und [n]subseteq [m]
Tip: Denke an die Eigenschaften der Äquivalenzrelation
c) Wenn man weiß, welche Elemente in [mm] M/\equiv [/mm] sind, ist das eigentlich offensichtlich...
Gruß v. Angela
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Hallo, vielen Dank erstmal für die Antwort. Hier mal meine Ideen:
a)
Da [mm] \equiv [/mm] als Äquivalenzrelation reflexiv ist, gilt m [mm] \equiv [/mm] m und daher auch m [mm] \in[/mm] [m] für alle m [mm] \in [/mm] M.
b)
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei [m] = [n] also [m] = {x [mm] \in [/mm] M | m [mm] \equiv [/mm] x} = {x [mm] \in [/mm] M | n [mm] \equiv [/mm] x} = [n] und sei z [mm] \in[/mm] [m]. Dann gilt z [mm] \equiv [/mm] m, da [m] = [n] gilt auch z [mm] \in [/mm] [n], also z [mm] \equiv [/mm] n, also z [mm] \equiv [/mm] n, aus der Transitivität von [mm] \equiv [/mm] folgt m [mm] \equiv [/mm] n.
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Sei m [mm] \equiv [/mm] n.
"[m] [mm] \subseteq [/mm] [n]": Sei x [mm] \in[/mm] [m], dann gilt x [mm] \equiv [/mm] m, aus der Voraussetzung m [mm] \equiv [/mm] n und der Transitivität von [mm] \equiv [/mm] folgt x [mm] \equiv [/mm] n, also x [mm] \in [/mm] [n]. Da x beliebig war gilt [m] [mm] \subseteq [/mm] [n].
"[n] [mm] \subseteq[/mm] [m]": Analog
c)
Tja ich habs mal so versucht: Nach a) ist m [mm] \in[/mm] [m] für alle m [mm] \in [/mm] M, also gibt es zu jeder Äquivalenzklasse [m] [mm] \in M/_\equiv [/mm] mindestens ein Urbild m unter p mit p(m) = [m].
Wäre nett wenn sich das nochmal jemand ansehen könnte, vor allem bei der c bin ich mir unsicher...
Danke im Voraus
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> Hallo, vielen Dank erstmal für die Antwort. Hier mal meine
> Ideen:
>
> a)
> Da [mm]\equiv[/mm] als Äquivalenzrelation reflexiv ist, gilt m
> [mm]\equiv[/mm] m und daher auch m [mm]\in[/mm] [m]für alle m [mm]\in[/mm] M.
>
> b)
> [mm]"\Rightarrow":[/mm] Sei [m]= [n] also [m]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {x [mm]\in[/mm] M | m [mm]\equiv[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x} = {x [mm]\in[/mm] M | n [mm]\equiv[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x} = [n] und sei z [mm]\in[/mm] [m]. Dann gilt z [mm]\equiv[/mm] m, da [m]= [n] gilt auch z [mm]\in[/mm] [n], also z [mm]\equiv[/mm] n, also z [mm]\equiv[/mm] n, aus der Transitivität von [mm]\equiv[/mm] folgt m [mm]\equiv[/mm] n.
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm] Sei m [mm]\equiv[/mm] n.
> "[m] [mm]\subseteq[/mm] [n]": Sei x [mm]\in[/mm] [m], dann gilt x [mm]\equiv[/mm] m, aus der Voraussetzung m [mm]\equiv[/mm] n und der Transitivität von [mm]\equiv[/mm] folgt x [mm]\equiv[/mm] n, also x [mm]\in[/mm] [n]. Da x beliebig war gilt [m][mm]\subseteq[/mm] [n].
> "[n] [mm]\subseteq[/mm] [m]": Analog
>
> c)
> Tja ich habs mal so versucht: Nach a) ist m [mm]\in[/mm] [m]für alle m [mm]\in[/mm] M, also gibt es zu jeder Äquivalenzklasse [m][mm]\in M/_\equiv[/mm] mindestens ein Urbild m unter p mit p(m) = [m].
>
> Wäre nett wenn sich das nochmal jemand ansehen könnte, vor allem bei der c bin ich mir unsicher...
Hallo,
ja, das sieht alles sehr richtig aus.
Bei der c) finde ich auch keinen Haken - doch!!! Man noch dieses schreiben:
da m [mm] \equiv [/mm] m, gibt es zu jedem m [mm] \in [/mm] M eine Aquivalenzklasse [m]. Die Abbildung ist also wohldefiniert.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 So 18.11.2007 | | Autor: | rainman_do |
Sehr schön. Vielen Dank
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