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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Di 22.11.2016 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | Zwei Wanderer wollen vom Punkt $ [mm] r_{0}=\vektor{0 \\ 0} [/mm] $ im Tal zu einer Hütte am Punkt $ [mm] r_{1}=\vektor{3 \\ 3a} [/mm] $ wandern. Wanderer 1 wählt den geraden Weg zwischen Tal und Hütte, $ [mm] \gamma_{1} [/mm] $. Wanderer 2 wählt einen parabolischen Weg, $ [mm] \gamma_{2} [/mm] $, über den Gipfel bei $ [mm] r_{2}=\vektor{2 \\ 4a} [/mm] $ , dem Scheitel der Parabel. Auf Sie wirkt die Schwerkraft $ [mm] F_{g}=\vektor{0 \\ -10} [/mm] $ , sowie eine höhenabhängige Windkraft, $ [mm] F_{w}=\vektor{-y^{2} \\ 0} [/mm] $.
Finden Sie die von Wanderern entlang $ [mm] \gamma_{1} [/mm] $ und $ [mm] \gamma_{2} [/mm] $ verrichtete Arbeit, $ [mm] W_{\left[\gamma_{i}\right]}=-\integral_{\gamma_{i}}{dr*F} [/mm] $, als Funktion des Parameters a. |
Hallo!
Ich wollte mal schauen, ob meine Lösung soweit stimmt.
Wanderer 1:
Da er einen geraden Weg nimmt, habe ich die geraden Gleichung genommen.
$ [mm] r_{g}(t)=\vektor{3t \\ 3at} [/mm] $
Dann gilt:
$ [mm] \bruch{dr}{dt}=\vektor{3 \\ 3a} [/mm] $
$ [mm] W_{\left[\gamma_{1}\right]}=\integral_{\gamma_{1}}{\vektor{3 \\ 3a}*\vektor{-9a^{2}t^{2} \\ -10}*dt}=-\integral_{\gamma_{1}}{(-27a^{2}t^{2}-30a) dt}=[9a^{2}t^{3}+30at]_{0}^{3}=9a(27a+10) [/mm] $
Also wäre eine Funktion des Parameters a: $ [mm] f_{1}(a)=9a(27a+10) [/mm] $
Wanderer 2:
Da er einen parabolischen Weg nimmt, habe ich wie folgt parametrisiert:
$ [mm] r_{p}(t)=\vektor{t \\ -at^{2}+4at} [/mm] $
Die untere Gleichung erhalte ich, wenn ich mit dem Scheitelpunkt [mm] r_{1} [/mm] und der Nullstelle [mm] r_{0} [/mm] die Parameter ausrechne.
$ [mm] \bruch{dr}{dt}=\vektor{1 \\ -2at+4a} [/mm] $
[mm] $w_{\left[\gamma_{2}\right]}=-\integral_{\gamma_{2}}{\vektor{1 \\ -2at+4a}*\vektor{-a^{2}t^{4}+8a^{2}t^{3}+16a^{2}t^{2} \\ -10 } dt} [/mm] $
Das Ergebnis ist aber nicht gerade sehr elegant, so dass ich da Zweifel an der Richtigkeit habe.
Danke für eure Hilfe.
Gruß
Ardbeg
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> Zwei Wanderer wollen vom Punkt [mm]r_{0}=\vektor{0 \\ 0}[/mm] im Tal
> zu einer Hütte am Punkt [mm]r_{1}=\vektor{3 \\ 3a}[/mm] wandern.
> Wanderer 1 wählt den geraden Weg zwischen Tal und Hütte,
> [mm]\gamma_{1} [/mm]. Wanderer 2 wählt einen parabolischen Weg,
> [mm]\gamma_{2} [/mm], über den Gipfel bei [mm]r_{2}=\vektor{2 \\ 4a}[/mm] ,
> dem Scheitel der Parabel. Auf Sie wirkt die Schwerkraft
> [mm]F_{g}=\vektor{0 \\ -10}[/mm] , sowie eine höhenabhängige
> Windkraft, [mm]F_{w}=\vektor{-y^{2} \\ 0} [/mm].
> Finden Sie die von Wanderern entlang [mm]\gamma_{1}[/mm] und
> [mm]\gamma_{2}[/mm] verrichtete Arbeit,
> [mm]W_{\left[\gamma_{i}\right]}=-\integral_{\gamma_{i}}{dr*F} [/mm],
> als Funktion des Parameters a.
> Hallo!
>
>
> Ich wollte mal schauen, ob meine Lösung soweit stimmt.
>
> Wanderer 1:
>
> Da er einen geraden Weg nimmt, habe ich die geraden
> Gleichung genommen.
>
> [mm]r_{g}(t)=\vektor{3t \\ 3at}[/mm]
>
> Dann gilt:
>
> [mm]\bruch{dr}{dt}=\vektor{3 \\ 3a}[/mm]
>
> [mm]W_{\left[\gamma_{1}\right]}=\integral_{\gamma_{1}}{\vektor{3 \\ 3a}*\vektor{-9a^{2}t^{2} \\ -10}*dt}=-\integral_{\gamma_{1}}{(-27a^{2}t^{2}-30a) dt}=[9a^{2}t^{3}+30at]_{0}^{3}=9a(27a+10)[/mm]
>
> Also wäre eine Funktion des Parameters a:
> [mm]f_{1}(a)=9a(27a+10)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wanderer 2:
>
> Da er einen parabolischen Weg nimmt, habe ich wie folgt
> parametrisiert:
>
> [mm]r_{p}(t)=\vektor{t \\ -at^{2}+4at}[/mm]
>
Ich habe [mm]r_{p}(t)=\vektor{t \\ -at^{2}+4at}[/mm]
> Die untere Gleichung erhalte ich, wenn ich mit dem
> Scheitelpunkt [mm]r_{1}[/mm] und der Nullstelle [mm]r_{0}[/mm] die Parameter
> ausrechne.
>
> [mm]\bruch{dr}{dt}=\vektor{1 \\ -2at+4a}[/mm]
>
> [mm]w_{\left[\gamma_{2}\right]}=-\integral_{\gamma_{2}}{\vektor{1 \\ -2at+4a}*\vektor{-a^{2}t^{4}+8a^{2}t^{3}\red{-}16a^{2}t^{2} \\ -10 } dt}[/mm]
>
> Das Ergebnis ist aber nicht gerade sehr elegant, so dass
> ich da Zweifel an der Richtigkeit habe.
Bis auf das Minuszeichen richtig. Du musst jetzt aber von 0 bis 3 integrieren, nicht nur bis 1.
>
> Danke für eure Hilfe.
>
> Gruß
> Ardbeg
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:57 Di 22.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab nur mal den ersten Teil gelesen, t läuft nicht von 0 bis 3 sondern so wie es parametrisiert ist von 0 bis 1.
also ist der erst Teil falsch (nur die Grenzen)
auf dem zweiten Weg allerdings muss t von 0 bis 3 gehen
Gruß leduart.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Di 22.11.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Danke für die Korrektur, sehr nett von dir!
Gruß
Ardbeh
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Meine Bemerkung zur oberen Integralgrenze bezog sich nur auf den zweiten Teil. Der erste Teil war ja schon richtig gelöst und von mir auch so kenntlich gemacht worden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Mi 23.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
meine Korrektur bezog sich auf Teil 1, indem die Integrationsgrenzen falsch waren.
Gruß leduart
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