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Arbeitsintegral: "Korrektur"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Di 22.11.2016
Autor: Ardbeg

Aufgabe
Zwei Wanderer wollen vom Punkt $ [mm] r_{0}=\vektor{0 \\ 0} [/mm] $ im Tal zu einer Hütte am Punkt $ [mm] r_{1}=\vektor{3 \\ 3a} [/mm] $ wandern. Wanderer 1 wählt den geraden Weg zwischen Tal und Hütte, $ [mm] \gamma_{1} [/mm] $. Wanderer 2 wählt einen parabolischen Weg, $ [mm] \gamma_{2} [/mm] $, über den Gipfel bei $ [mm] r_{2}=\vektor{2 \\ 4a} [/mm] $ , dem Scheitel der Parabel. Auf Sie wirkt die Schwerkraft $ [mm] F_{g}=\vektor{0 \\ -10} [/mm] $ , sowie eine höhenabhängige Windkraft, $ [mm] F_{w}=\vektor{-y^{2} \\ 0} [/mm] $.
Finden Sie die von Wanderern entlang $ [mm] \gamma_{1} [/mm] $ und $ [mm] \gamma_{2} [/mm] $ verrichtete Arbeit, $ [mm] W_{\left[\gamma_{i}\right]}=-\integral_{\gamma_{i}}{dr*F} [/mm] $, als Funktion des Parameters a.

Hallo!


Ich wollte mal schauen, ob meine Lösung soweit stimmt.

Wanderer 1:

Da er einen geraden Weg nimmt, habe ich die geraden Gleichung genommen.

$ [mm] r_{g}(t)=\vektor{3t \\ 3at} [/mm] $

Dann gilt:

$ [mm] \bruch{dr}{dt}=\vektor{3 \\ 3a} [/mm] $

$ [mm] W_{\left[\gamma_{1}\right]}=\integral_{\gamma_{1}}{\vektor{3 \\ 3a}*\vektor{-9a^{2}t^{2} \\ -10}*dt}=-\integral_{\gamma_{1}}{(-27a^{2}t^{2}-30a) dt}=[9a^{2}t^{3}+30at]_{0}^{3}=9a(27a+10) [/mm] $

Also wäre eine Funktion des Parameters a: $ [mm] f_{1}(a)=9a(27a+10) [/mm] $

Wanderer 2:

Da er einen parabolischen Weg nimmt, habe ich wie folgt parametrisiert:

$ [mm] r_{p}(t)=\vektor{t \\ -at^{2}+4at} [/mm] $

Die untere Gleichung erhalte ich, wenn ich mit dem Scheitelpunkt [mm] r_{1} [/mm] und der Nullstelle [mm] r_{0} [/mm] die Parameter ausrechne.

$ [mm] \bruch{dr}{dt}=\vektor{1 \\ -2at+4a} [/mm] $

[mm] $w_{\left[\gamma_{2}\right]}=-\integral_{\gamma_{2}}{\vektor{1 \\ -2at+4a}*\vektor{-a^{2}t^{4}+8a^{2}t^{3}+16a^{2}t^{2} \\ -10 } dt} [/mm] $

Das Ergebnis ist aber nicht gerade sehr elegant, so dass ich da Zweifel an der Richtigkeit habe.

Danke für eure Hilfe.

Gruß
Ardbeg

        
Bezug
Arbeitsintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Di 22.11.2016
Autor: HJKweseleit


> Zwei Wanderer wollen vom Punkt [mm]r_{0}=\vektor{0 \\ 0}[/mm] im Tal
> zu einer Hütte am Punkt [mm]r_{1}=\vektor{3 \\ 3a}[/mm] wandern.
> Wanderer 1 wählt den geraden Weg zwischen Tal und Hütte,
> [mm]\gamma_{1} [/mm]. Wanderer 2 wählt einen parabolischen Weg,
> [mm]\gamma_{2} [/mm], über den Gipfel bei [mm]r_{2}=\vektor{2 \\ 4a}[/mm] ,
> dem Scheitel der Parabel. Auf Sie wirkt die Schwerkraft
> [mm]F_{g}=\vektor{0 \\ -10}[/mm] , sowie eine höhenabhängige
> Windkraft, [mm]F_{w}=\vektor{-y^{2} \\ 0} [/mm].
> Finden Sie die von Wanderern entlang [mm]\gamma_{1}[/mm] und
> [mm]\gamma_{2}[/mm] verrichtete Arbeit,
> [mm]W_{\left[\gamma_{i}\right]}=-\integral_{\gamma_{i}}{dr*F} [/mm],
> als Funktion des Parameters a.
>  Hallo!
>  
>
> Ich wollte mal schauen, ob meine Lösung soweit stimmt.
>
> Wanderer 1:
>  
> Da er einen geraden Weg nimmt, habe ich die geraden
> Gleichung genommen.
>
> [mm]r_{g}(t)=\vektor{3t \\ 3at}[/mm]
>  
> Dann gilt:
>
> [mm]\bruch{dr}{dt}=\vektor{3 \\ 3a}[/mm]
>  
> [mm]W_{\left[\gamma_{1}\right]}=\integral_{\gamma_{1}}{\vektor{3 \\ 3a}*\vektor{-9a^{2}t^{2} \\ -10}*dt}=-\integral_{\gamma_{1}}{(-27a^{2}t^{2}-30a) dt}=[9a^{2}t^{3}+30at]_{0}^{3}=9a(27a+10)[/mm]
>
> Also wäre eine Funktion des Parameters a:
> [mm]f_{1}(a)=9a(27a+10)[/mm]

[ok]

>  
> Wanderer 2:
>  
> Da er einen parabolischen Weg nimmt, habe ich wie folgt
> parametrisiert:
>  
> [mm]r_{p}(t)=\vektor{t \\ -at^{2}+4at}[/mm]
>

[ok]

Ich habe [mm]r_{p}(t)=\vektor{t \\ -at^{2}+4at}[/mm]


> Die untere Gleichung erhalte ich, wenn ich mit dem
> Scheitelpunkt [mm]r_{1}[/mm] und der Nullstelle [mm]r_{0}[/mm] die Parameter
> ausrechne.
>  
> [mm]\bruch{dr}{dt}=\vektor{1 \\ -2at+4a}[/mm]
>  
> [mm]w_{\left[\gamma_{2}\right]}=-\integral_{\gamma_{2}}{\vektor{1 \\ -2at+4a}*\vektor{-a^{2}t^{4}+8a^{2}t^{3}\red{-}16a^{2}t^{2} \\ -10 } dt}[/mm]
>  
> Das Ergebnis ist aber nicht gerade sehr elegant, so dass
> ich da Zweifel an der Richtigkeit habe.

Bis auf das Minuszeichen richtig. Du musst jetzt aber von 0 bis 3 integrieren, nicht nur bis 1.

>
> Danke für eure Hilfe.
>  
> Gruß
>  Ardbeg


Bezug
                
Bezug
Arbeitsintegral: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 19:57 Di 22.11.2016
Autor: leduart

Hallo
ich hab nur mal den ersten Teil gelesen, t läuft nicht von 0 bis 3 sondern so wie es parametrisiert ist von 0 bis 1.
also ist der erst Teil falsch (nur die Grenzen)
auf dem zweiten Weg  allerdings muss t  von 0 bis 3 gehen
Gruß leduart.

Bezug
        
Bezug
Arbeitsintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:28 Di 22.11.2016
Autor: Ardbeg

Danke für die Korrektur, sehr nett von dir!

Gruß
Ardbeh

Bezug
                
Bezug
Arbeitsintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:19 Mi 23.11.2016
Autor: HJKweseleit

Meine Bemerkung zur oberen Integralgrenze bezog sich nur auf den zweiten Teil. Der erste Teil war ja schon richtig gelöst und von mir auch so kenntlich gemacht worden.

Bezug
                        
Bezug
Arbeitsintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:49 Mi 23.11.2016
Autor: leduart

Hallo
meine Korrektur bezog sich auf Teil 1, indem die Integrationsgrenzen falsch waren.
Gruß leduart

Bezug
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