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| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes Arbeitsintegral:
In dem homogenen Kraftfeld [mm] \overrightarrow{F}=(2,6,1)^{T} [/mm] N wird ein Körper längs der Kurve [mm] \vec{r}(t)=\vec{r_{0}}+v*t*\vec{e_{x}} [/mm] mit v=1m/s von dem Punkt [mm] \vec{r}(t=0)=\vec{r_{0}} [/mm] zum Punkt [mm] \vec{r}(t=2) [/mm] gebracht. Wie groß ist die aufzuwendende Arbeit? [mm] \vec{e_{x}} [/mm] ist Einheitsvektor in x-Richtung. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe noch nie ein Arbeitsintegral gelöst und bin mir deswegen auch nicht sicher, ob mein Lösungsweg richtig ist:
Die allgemeine Formel für das Arbeitsintegral lautet doch: [mm] W=\integral_{a}^{b}{\overrightarrow{F}( \vec{r})d \vec{r}}=\integral_{a}^{b}{\overrightarrow{F}( \vec{r(t)})*\vec{r'(t)}*dt}, [/mm] wobei a und b punkte auf der kurve sind. a ist in meinem Fall [mm] \vec{r_{0}} [/mm] und b ist nach einsetzen in [mm] \vec{r}(t)=\vec{r_{0}}+v*t*\vec{e_{x}}: \vec{r_{0}}+2\vec{e_{x}}. [/mm]
Bis dahin habe ich alles verstanden, mein Problem ist jetzt aber, dass ich mir nicht sicher bin wie ich meine Werte von [mm] \overrightarrow{F} [/mm] in die Gleichung einsetzen soll... Ich habe das folgendermaßen gelöst:
[mm] W=\integral_{\vec{r_{0}}}^{\vec{r_{0}}+2\vec{e_{x}}}{\vektor{2 \\ 6 \\ 1}*(\vec{v}*\vec{e_{x}})dt}= \integral_{\vec{r_{0}}}^{\vec{r_{0}}+2\vec{e_{x}}}{(2v*\vec{e_{x}} +6*v*\vec{e_{x}} + v*\vec{e_{x}})dt}= (2v*\vec{e_{x}}*t+6v*\vec{e_{x}} [/mm] + [mm] v*\vec{e_{x}}*t)| [/mm] mit den Grenzen [mm] {\vec{r_{0}}} [/mm] unten und [mm] \vec{r_{0}}+2\vec{e_{x}} [/mm] oben...
[mm] \gdw 4v*\vec{e_{x}}^2 +12v*\vec{e_{x}}^2 [/mm] + [mm] 2v*\vec{e_{x}}^2, [/mm] weil v=1 müsste das äquivalent zu [mm] 4\vec{e_{x}}^2 +12\vec{e_{x}}^2 [/mm] + [mm] 2\vec{e_{x}}^2 [/mm] = [mm] 18\vec{e_{x}}^2 [/mm] sein.
Ist mein Ergebnis richtig? Und kann man das mathematisch auch so formulieren?
Schon mal vielen Dank für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Sa 24.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Berechnen Sie folgendes Arbeitsintegral:
> In dem homogenen Kraftfeld [mm]\overrightarrow{F}=(2,6,1)^{T}[/mm]
> N wird ein Körper längs der Kurve
> [mm]\vec{r}(t)=\vec{r_{0}}+v*t*\vec{e_{x}}[/mm] mit v=1m/s von dem
> Punkt [mm]\vec{r}(t=0)=\vec{r_{0}}[/mm] zum Punkt [mm]\vec{r}(t=2)[/mm]
> gebracht. Wie groß ist die aufzuwendende Arbeit?
> [mm]\vec{e_{x}}[/mm] ist Einheitsvektor in x-Richtung.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe noch nie ein Arbeitsintegral gelöst und bin mir
> deswegen auch nicht sicher, ob mein Lösungsweg richtig
> ist:
> Die allgemeine Formel für das Arbeitsintegral lautet
> doch: [mm]W=\integral_{a}^{b}{\overrightarrow{F}( \vec{r})d \vec{r}}=\integral_{a}^{b}{\overrightarrow{F}( \vec{r(t)})*\vec{r'(t)}*dt},[/mm]
> wobei a und b punkte auf der kurve sind. a ist in meinem
für die linke Seite der Gleichung stimmt das, aber rechts des Gleichheitszeichens ist die Integrationsvariable die Zeit (bzw. der Kurvenparameter), also können die Grenzen keine Punkte mehr sein, sondern es handelt sich um Start- und Endzeit.
> Fall [mm]\vec{r_{0}}[/mm] und b ist nach einsetzen in
> [mm]\vec{r}(t)=\vec{r_{0}}+v*t*\vec{e_{x}}: \vec{r_{0}}+2\vec{e_{x}}.[/mm]
Was ist das denn? Die Division durch Vektoren ist nicht definiert. Der Endpunkt ist:
[mm] $\vec{r}(2)=\vec{r}_0+2v\vec{e}_x$
[/mm]
> Bis dahin habe ich alles verstanden, mein Problem ist jetzt
> aber, dass ich mir nicht sicher bin wie ich meine Werte von
> [mm]\overrightarrow{F}[/mm] in die Gleichung einsetzen soll... Ich
> habe das folgendermaßen gelöst:
> [mm]W=\integral_{\vec{r_{0}}}^{\vec{r_{0}}+2\vec{e_{x}}}{\vektor{2 \\ 6 \\ 1}*(\vec{v}*\vec{e_{x}})dt}= \integral_{\vec{r_{0}}}^{\vec{r_{0}}+2\vec{e_{x}}}{(2v*\vec{e_{x}} +6*v*\vec{e_{x}} + v*\vec{e_{x}})dt}= (2v*\vec{e_{x}}*t+6v*\vec{e_{x}}[/mm]
> + [mm]v*\vec{e_{x}}*t)|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit den Grenzen
$ W=\int_{0}^{2}{\vektor{2 \\ 6 \\ 1}\cdot\vec{e}_xv\,\mathrm{d}t$
Bedenke jetzt, dass $\vec{e}_x=(1,0,0)$ und berechnen das Skalarprodukt sowie das Integral nochmal neu.
> [mm]{\vec{r_{0}}}[/mm] unten und
> [mm]\vec{r_{0}}+2\vec{e_{x}}[/mm] oben...
> [mm]\gdw 4v*\vec{e_{x}}^2 +12v*\vec{e_{x}}^2[/mm] +
> [mm]2v*\vec{e_{x}}^2,[/mm] weil v=1 müsste das äquivalent zu
> [mm]4\vec{e_{x}}^2 +12\vec{e_{x}}^2[/mm] + [mm]2\vec{e_{x}}^2[/mm] =
> [mm]18\vec{e_{x}}^2[/mm] sein.
> Ist mein Ergebnis richtig? Und kann man das mathematisch
> auch so formulieren?
>
> Schon mal vielen Dank für eure Hilfe.
Gruß,
notinX
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> > Fall [mm]\vec{r_{0}}[/mm] und b ist nach einsetzen in
> > [mm]\vec{r}(t)=\vec{r_{0}}+v*t*\vec{e_{x}}: \vec{r_{0}}+2\vec{e_{x}}.[/mm]
>
> Was ist das denn? Die Division durch Vektoren ist nicht
> definiert. Der Endpunkt ist:
> [mm]\vec{r}(2)=\vec{r}_0+2v\vec{e}_x[/mm]
Ich habe das auch so gemeint, der doppelpunkt sollte darstellen "daraus folgt" (tut mir leid ungeschickt aufgeschrieben..)
Kann man aber hier nicht schon für v=1 einsetzen oder geht das noch nicht???
> [mm]W=\int_{0}^{2}{\vektor{2 \\ 6 \\ 1}\cdot\vec{e}_xv\,\mathrm{d}t[/mm]
> Bedenke jetzt, dass [mm]\vec{e}_x=(1,0,0)[/mm] und berechnen das
> Skalarprodukt sowie das Integral nochmal neu.
Ist dann W=4???
Vielen Dank für deine Antwort notinX!!!
Hat mir sehr geholfen!
lg cypernrose
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Sa 24.11.2012 | | Autor: | notinX |
> > > Fall [mm]\vec{r_{0}}[/mm] und b ist nach einsetzen in
> > > [mm]\vec{r}(t)=\vec{r_{0}}+v*t*\vec{e_{x}}: \vec{r_{0}}+2\vec{e_{x}}.[/mm]
> >
> > Was ist das denn? Die Division durch Vektoren ist nicht
> > definiert. Der Endpunkt ist:
> > [mm]\vec{r}(2)=\vec{r}_0+2v\vec{e}_x[/mm]
>
> Ich habe das auch so gemeint, der doppelpunkt sollte
> darstellen "daraus folgt" (tut mir leid ungeschickt
> aufgeschrieben..)
> Kann man aber hier nicht schon für v=1 einsetzen oder geht
> das noch nicht???
Doch, das geht schon. Ist aber meiner persönlichen Meinung nach nicht so schön. Es ist oft hilfreich erst ganz am Schluss Zahlenwerte einzusetzen (falls das denn überhaupt erwartet wird).
>
> > [mm]W=\int_{0}^{2}{\vektor{2 \\ 6 \\ 1}\cdot\vec{e}_xv\,\mathrm{d}t[/mm]
> > Bedenke jetzt, dass [mm]\vec{e}_x=(1,0,0)[/mm] und berechnen das
> > Skalarprodukt sowie das Integral nochmal neu.
>
> Ist dann W=4???
Die Arbeit hat noch eine Einheit (wenn Du schon Zahlenwerte einsetzt), aber der Betrag stimmt.
>
> Vielen Dank für deine Antwort notinX!!!
> Hat mir sehr geholfen!
>
> lg cypernrose
Gruß,
notinX
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> > Ist dann W=4???
>
> Die Arbeit hat noch eine Einheit (wenn Du schon Zahlenwerte
> einsetzt), aber der Betrag stimmt.
Gut daran habe ich leider nicht gedacht!!!
Noch mal vielen Dank für deine schnellen Antworten!
Aber eins ist mir noch eingefallen!
ich habe bei meiner allgemeinen formel für das arbeitsintegral doch geschrieben, dass [mm]W=\integral_{a}^{b}{\overrightarrow{F}( \vec{r})d \vec{r}}=\integral_{a}^{b}{\overrightarrow{F}( \vec{r(t)})*\vec{r'(t)}*dt},[/mm] gleich sind!!! Wenn ich aber jetzt NICHT wie in dieser aufgabe zeitpunkte gegeben habe und diese aus angaben auch nicht berechnen kann , muss ich ja mit der "1. Formel" rechnen! Nur wie "berechne" ich [mm] d{\vec{r}} [/mm] ohne Abzuleiten???
vielen dank!!!
cypernrose
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Sa 24.11.2012 | | Autor: | notinX |
> > > Ist dann W=4???
> >
> > Die Arbeit hat noch eine Einheit (wenn Du schon Zahlenwerte
> > einsetzt), aber der Betrag stimmt.
>
> Gut daran habe ich leider nicht gedacht!!!
> Noch mal vielen Dank für deine schnellen Antworten!
>
> Aber eins ist mir noch eingefallen!
> ich habe bei meiner allgemeinen formel für das
> arbeitsintegral doch geschrieben, dass
> [mm]W=\integral_{a}^{b}{\overrightarrow{F}( \vec{r})d \vec{r}}=\integral_{a}^{b}{\overrightarrow{F}( \vec{r(t)})*\vec{r'(t)}*dt},[/mm]
> gleich sind!!! Wenn ich aber jetzt NICHT wie in dieser
Das ist einfach die Definition des Kurvenintegrals.
> aufgabe zeitpunkte gegeben habe und diese aus angaben auch
> nicht berechnen kann , muss ich ja mit der "1. Formel"
> rechnen! Nur wie "berechne" ich [mm]d{\vec{r}}[/mm] ohne
> Abzuleiten???
Ohne einen Weg kannst Du das Integral nicht berechnen. Eine Parametrisierung der Kurve [mm] $\vec{r}(t)$ [/mm] muss also gegeben sein.
>
> vielen dank!!!
>
> cypernrose
Gruß,
notinX
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