Arch. Streifenmethode + Grenzw < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Sa 28.09.2013 | | Autor: | Illa123 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie Un für die Funktion f(x)=2-x über dem Intervall I=(0:2). Welcher Grenzwert ergibt sich für [mm] n->\infty [/mm] ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Halloo.
Ich sitze jetzt bereits seit Stunden an einer Aufgabe fest...
Und zwar:
Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß was ich mit den 2en und den negativen Vorzeichen machen soll... Am besten wäre es jemand könnte mir den gesamten Rechenweg vorstellen :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Sa 28.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Illa123 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Berechnen Sie Un für die Funktion f(x)=2-x über dem
> Intervall I=(0:2). Welcher Grenzwert ergibt sich für
> [mm]n->\infty[/mm] ?
Was soll denn [mm] $U_n$ [/mm] sein? Ohne diese Angabe wird dir wohl kaum jemand weiterhelfen können...
Sorry, ich habe den Titel "archimedische Streifenmethode" übersehen...
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Sa 28.09.2013 | | Autor: | Illa123 |
Ja also eigentlich die Arch. Streifenmethode mit n Streifen :(
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> Berechnen Sie Un für die Funktion f(x)=2-x über dem
> Intervall I=(0:2). Welcher Grenzwert ergibt sich für
> [mm]n->\infty[/mm] ?
> Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß was ich mit
> den 2en und den negativen Vorzeichen machen soll... Am
> besten wäre es jemand könnte mir den gesamten Rechenweg
> vorstellen :(
Hallo,
.
Der Matheraum funktioniert so, daß Du Deine Lösungsansätze, also Dein bisherigen Tun und Deine Überlegungen, genau schilderst, und formulierst, wo genau Dein Problem liegt.
Mein Vorschlag:
rechne doch erstmal ausführlich vor, wie Du [mm] U_5 [/mm] berechnest.
Teile dazu das Intervall (0:2) in 5 gleichlange Teile.
Welche Punkte begrenzen das 1., 2., ..., 5.Intervall?
Wie geht's dann weiter?
LG Angela
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Sa 28.09.2013 | | Autor: | Illa123 |
Ich möchte aber nicht U5 berechnen sondern Un und dafür habe ich bisher die Formel aufgestellt:
Un=2/n*((2-0*2/n)+(2-1*2/n)+....+(2-(n-1)*2/n)
Nun ist mein Problem, dass ich nicht weiß. wie ich die zweien zusammenfassen kann (ich habe es mit 2n+.... versucht)
und, dass ich dann negative Vorzeichen habe... ( das habe ich versucht zu umgehen indem ich (-1) ausgeklammert habe...
2/n hätte ich dann auch ausgeklammert...
Damit hätte ich dann [mm] -4/2n^2*(2n^2+n^2-n)/2n^2
[/mm]
wenn man das allerdings vereinfacht und den grenzwert bilden will kommt keineswegs 2 heraus wie es in der Lösung steht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Sa 28.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich möchte aber nicht U5 berechnen sondern Un und dafür
> habe ich bisher die Formel aufgestellt:
> Un=2/n*((2-0*2/n)+(2-1*2/n)+....+(2-(n-1)*2/n)
Das stimmt fast, aber nicht ganz. Du bist in eine ziemlich gemeine Falle getappt... Tatsächlich ist deine Formel eine Formel für [mm] $O_n$ [/mm] anstelle von [mm] $U_n$. [/mm] Ich glaube aber, du kannst den Fehler selbst finden!
Du hast also das Intervall $[0,2]$ eingeteilt in die Intervalle
[mm] $[\underbrace{0*\bruch2n}_{=0},1*\bruch2n]$, $[1*\bruch2n,2*\bruch2n]$, [/mm] ... , [mm] $[(n-1)*\bruch2n,\underbrace{n*\bruch2n}_{=2}]$.
[/mm]
Über diese Intervalle sind die Rechtecke unterhalb des Graphen zu bilden.
Zeichne nun einmal den Graphen der Funktion $f$ auf dem Intervall $[0,2]$ (am besten im Maßstab "$1$ Längeneinheit entspricht 5cm"). Zeichne dir dann z.B. die für [mm] $U_5$ [/mm] betrachteten Rechtecke ein.
Welche Höhe hat das erste am weitesten links stehende Rechteck? Mit dem Funktionswert von $f$ an welcher Stelle stimmt die Höhe überein? Welchen Flächeninhalt hat dieses Rechteck damit?
Stelle die gleichen Überlegungen auch für das nächste Rechteck und das am weitesten rechts stehende Rechteck an.
Überlege dann, wie für beliebiges $n$ der Flächeninhalt des ersten Rechtecks (über das Intervall [mm] $[\underbrace{0*\bruch2n}_{=0},1*\bruch2n]$), [/mm] des zweiten Rechtecks (über das Intervall [mm] $[1*\bruch2n,2*\bruch2n]$) [/mm] und des letzten Rechtecks (über das Intervall [mm] $[(n-1)*\bruch2n,\underbrace{n*\bruch2n}_{=2}]$) [/mm] lauten müsste.
Findest du so selbst deinen Fehler in obiger Formel?
> Nun ist mein Problem, dass ich nicht weiß. wie ich die
> zweien zusammenfassen kann (ich habe es mit 2n+....
> versucht)
> und, dass ich dann negative Vorzeichen habe... ( das habe
> ich versucht zu umgehen indem ich (-1) ausgeklammert
> habe...
> 2/n hätte ich dann auch ausgeklammert...
> Damit hätte ich dann [mm]-4/2n^2*(2n^2+n^2-n)/2n^2[/mm]
Diese Zahl ist negativ, kann also nicht der richtige Gesamtflächeninhalt aller Rechtecke sein. Du musst dich (unabhängig von obigem Fehler) unterwegs verrechnet haben. Was hier schief gelaufen ist, weiß ich nicht. Dazu müsstest du deine komplette Rechnung posten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Sa 28.09.2013 | | Autor: | Illa123 |
Ehrlich gesagt finde ich meinen Fehler immer noch nicht :( Ich habe das mit dem Zeichnen versucht, werde daraus aber auch nicht schlauer...
Eig weiß ich auch nicht was ich falsch gemacht habe weil ich es so gemacht habe wie wir es gelernt haben:
Länge des Intervalles/ Anzahl der Streifen (n) * ( f(0)+ f(1*Länge des Intervalles durch n)+.......+f((n-1) (da Untersumme) * Länge des Intervalles/n))
Bei allem anderen was ich sonst gerechnet habe hat das heute auch funktioniert...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Sa 28.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ehrlich gesagt finde ich meinen Fehler immer noch nicht :(
> Ich habe das mit dem Zeichnen versucht,
Gut!
> werde daraus aber
> auch nicht schlauer...
Wie lauten denn Höhen und damit die Flächeninhalte vom ersten, zweiten und letzten Rechteck für [mm] $U_5$ [/mm] bzw. für beliebiges [mm] $U_n$?
[/mm]
> Eig weiß ich auch nicht was ich falsch gemacht habe weil
> ich es so gemacht habe wie wir es gelernt haben:
> Länge des Intervalles/ Anzahl der Streifen (n) * ( f(0)+
> f(1*Länge des Intervalles durch n)+.......+f((n-1) (da
> Untersumme) * Länge des Intervalles/n))
Diese Formel stimmt oft, aber nicht immer. Falls euch euer Lehrer / eure Lehrerin das als immer anwendbare Formel für [mm] $U_n$ [/mm] erklärt hat (und [mm] $U_n$ [/mm] der Gesamt-Flächeninhalt der betrachteten Rechtecke UNTERHALB des Graphen von $f$ sein soll), irrt er oder sie.
Zunächst einmal gilt diese Formel im Allgemeinen nur für Intervalle, deren linke Grenze 0 ist. Das ist ja in deiner Aufgabe der Fall.
Zum Anderen gilt sie im Allgemeinen nur, wenn $f$ monoton steigend auf dem Betrachteten Intervall ist. Das ist das $f$ aus deiner Aufgabe jedoch nicht.
Da, wo in obiger Formel bei dir $f(0)$ steht, muss die Höhe des ersten Rechtecks (in unserem Fall über dem Intervall [mm] $[0,1*\bruch2n]$) [/mm] stehen.
Diese Höhe ist der kleinste Funktionswert, den $f$ in diesem Intervall annimmt.
Wenn $f$ monoton steigend wäre, wäre $f(0)$ dieser kleinste Funktionswert.
Hier ist jedoch [mm] $f(1*\bruch2n)$ [/mm] der kleinste Funktionswert von $f$.
Mach dir das an deiner Zeichnung klar: Die kleinsten Funktionswerte nimmt diese Funktion $f$ immer am rechten Ende der Intervalle an. Bei vielen anderen Beispielen dagegen am linken Ende der Intervalle; daher kommt deine Formel zustande.
> Bei allem anderen was ich sonst gerechnet habe hat das
> heute auch funktioniert...
Ja, oft stimmt die Formel wie gesagt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Sa 28.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Bitte stelle beantwortete Fragen nicht kommentarlos auf "unbeantwortet", sondern stelle Nachfragen im gleichen Thread, wenn du weitere Hilfe benötigst.
Hat sich erübrigt, denn jetzt hast du ja gepostet, was noch unklar ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Sa 28.09.2013 | | Autor: | Illa123 |
Tut mir leid, habe das System hier noch nicht so ganz verstanden :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Sa 28.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Tut mir leid, habe das System hier noch nicht so ganz
> verstanden :D
Kein Problem! Genau so ging es mir auch, als ich hier neu war...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Sa 28.09.2013 | | Autor: | Illa123 |
Kannst du mir noch sagen was mein Fehler ist? ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Sa 28.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Kannst du mir noch sagen was mein Fehler ist? ;)
Eine Formel anzuwenden, die für dieses Beispiel nicht gültig ist...
Die Höhen der Rechtecke (=kleinster Funktionswert im jeweiligen Intervall) unterhalb des Graphen ergeben sich in diesem Beispiel durch die Funktionswerte an den RECHTEN Enden der Intervalle, nicht wie in vielen anderen Beispielen durch die Funktionswerte an den linken Enden der Intervalle. Ist dir das anhand der Zeichnung klar?
Wie lauten denn nun die Höhen und Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke (für [mm] $U_5$ [/mm] oder für [mm] $U_n$)? [/mm] Wenn dir das nicht gelingt, schildere, wo genau du nicht weiterkommst. Nur dann kann man gezielt helfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Sa 28.09.2013 | | Autor: | Illa123 |
Okay, nach langem Nachdenken ist das einleuchtend, da der Graph ja fällt... Aber müsste ich dann nicht einfach nur die Obersumme nehmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Sa 28.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Okay, nach langem Nachdenken ist das einleuchtend, da der
> Graph ja fällt... Aber müsste ich dann nicht einfach nur
> die Obersumme nehmen?
Ich glaube, du meinst exakt das Richtige:
Die Formel, die bei monoton steigenden Funktionen die Obersumme [mm] $O_n$ [/mm] liefert, liefert bei monoton fallenden Funktionen die Untersumme [mm] $U_n$.
[/mm]
Also kannst du in der Tat bei der vorliegenden Aufgabe die Untersumme [mm] $U_n$ [/mm] berechnen, indem du die Formel anwendest, die bei monoton steigenden Funktionen die Obersumme [mm] $O_n$ [/mm] liefert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Sa 28.09.2013 | | Autor: | Illa123 |
Ja nur leider habe ich dann wieder das Problem dass ich beim Einsetzen immer noch 2-...*2/n habe.... Kann ich die 2 en durch n oder 2*n ersetzten? Abe dann habe ich wieder das negative Vorzeichen...
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> Ja nur leider habe ich dann wieder das Problem dass ich
> beim Einsetzen immer noch 2-...*2/n habe.... Kann ich die 2
> en durch n oder 2*n ersetzten? Abe dann habe ich wieder das
> negative Vorzeichen...
Hallo,
ich habe gerade das Problem, daß ich im Thread die aktuelle, amtlich anerkannte Untersumme nicht sehe.
Na egal.
Ich nehme einfach mal die falsche, die Du vorhin gepostet hast - das, worauf es ankommt, kannst Du daran auch sehen und auf die richtige übertragen.
Du hattest
> [mm] U_n=2/n*((2-0*2/n)+(2-1*2/n)+....+(2-(n-1)*2/n)
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{n}[(\underbrace{2+2+...+2}_{n-mal})-(1*\bruch{2}{n}+2*\bruch{2}{n}+3*\bruch{2}{n}+...+(n-1)\bruch{2}{n})]
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{n}[\underbrace{2+2+...+2}_{n-mal}-\bruch{2}{n}(1+2+3+...+(n-1)]= [/mm] ...
Die erste Runde Klammer kannst Du deutlich kürzer schreiben, und bei der zweiten hilft die Gaußsche Summenformel.
Das Minuszeichen sollte Dich nicht nicht weiter stören.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Sa 28.09.2013 | | Autor: | Illa123 |
Ganz vielen Dank, das hat jetzt wirklich weitergeholfen und ich habe bei Grenzwertbildung als Ergebnis 2, genau wie es in der Loesung steht :D
Nochmals DANKE!!!
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