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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Sa 23.07.2011 | | Autor: | yuppi |
Hallo zusammen,
Der Grenzwert von arctan(x) gegen unendlich ist doch pi/2
Wieso kommt allerdings eine große Zahl im Taschenrechner raus, wenn ich dort 100000000000000000000000000 einsetze.
Gruß yuppi
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Hallo yuppi,
> Der Grenzwert von arctan(x) gegen unendlich ist doch pi/2
Ja.
> Wieso kommt allerdings eine große Zahl im Taschenrechner
> raus, wenn ich dort 100000000000000000000000000 einsetze.
Gute Frage. Die solltest Du dem Hersteller stellen. Egal, ob Dein TR auf Bogenmaß oder Grad eingestellt ist, sollte keine "große" Zahl herauskommen, sondern etwas nahe an [mm] \pi/2 [/mm] bwz. nahe an 90°.
Das Ergebnis hängt davon ab, welchen Algorithmus der TR verwendet, um den [mm] \arctan [/mm] zu bestimmen. Normalerweise wird eine schnell konvergierende Reihendarstellung gewählt. Für viele Funktionen ist das einfach die Entwicklung der Taylorreihe um einen bestimmten Punkt, z.B. x=0.
Falls das hier beim [mm] \arctan [/mm] auch so gemacht ist, ist allerdings der beobachtete Fehler geradezu zu erwarten. Schau Dir mal die typische ![[]](/images/popup.gif) Reihenentwicklung an. Für große x konvergiert das numerisch nicht, weil die einzelnen Glieder zu groß werden und im TR nicht mehr richtig dargestellt werden.
Das ist aber eigentlich ein bekanntes Problem.
Im TR, der bei Windows mitgeliefert wird, taucht es auch nicht auf; die haben also einen anderen Weg, um den [mm] \arctan{(x)} [/mm] zu bestimmen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Mi 27.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Der Grenzwert von arctan(x) gegen unendlich ist doch pi/2
> > Wieso kommt allerdings eine große Zahl im Taschenrechner
> > raus, wenn ich dort 100000000000000000000000000 einsetze.
was kommt denn fuer eine Zahl heraus?
LG Felix
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> Hallo yuppi,
>
> > Der Grenzwert von arctan(x) gegen unendlich ist doch pi/2
>
> Ja.
>
> > Wieso kommt allerdings eine große Zahl im Taschenrechner
> > raus, wenn ich dort 100000000000000000000000000 einsetze.
>
> Gute Frage. Die solltest Du dem Hersteller stellen. Egal,
> ob Dein TR auf Bogenmaß oder Grad eingestellt ist, sollte
> keine "große" Zahl herauskommen, sondern etwas nahe an
> [mm]\pi/2[/mm] bwz. nahe an 90°.
>
> Das Ergebnis hängt davon ab, welchen Algorithmus der TR
> verwendet, um den [mm]\arctan[/mm] zu bestimmen. Normalerweise wird
> eine schnell konvergierende Reihendarstellung gewählt.
> Für viele Funktionen ist das einfach die Entwicklung der
> Taylorreihe um einen bestimmten Punkt, z.B. x=0.
>
> Falls das hier beim [mm]\arctan[/mm] auch so gemacht ist, ist
> allerdings der beobachtete Fehler geradezu zu erwarten.
> Schau Dir mal die typische
> Reihenentwicklung
> an. Für große x konvergiert das numerisch nicht, weil die
> einzelnen Glieder zu groß werden und im TR nicht mehr
> richtig dargestellt werden.
>
> Das ist aber eigentlich ein bekanntes Problem.
> Im TR, der bei Windows mitgeliefert wird, taucht es auch
> nicht auf; die haben also einen anderen Weg, um den
> [mm]\arctan{(x)}[/mm] zu bestimmen.
>
> Grüße
> reverend
Hallo reverend,
du meinst offenbar die Reihe
[mm] $\arctan [/mm] x\ =\ [mm] \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1}\ [/mm] =\ x - [mm] \frac{1}{3}\, x^3 [/mm] + [mm] \frac{1}{5}\, x^5 [/mm] - [mm] \frac{1}{7}\, x^7 [/mm] + [mm] \cdots$ [/mm]
Natürlich wäre es unsinnig, diese Reihe für eine Implementation der arctan-Funktion in einem Rechner zu benützen, denn sie hat miserable Konvergenzeigenschaften außer im Fall |x|<<1.
Die in Taschenrechnern üblicherweise eingebauten Alchwarythmen sind viel raffinierter. Sie basieren auf der CORDIC-Methode.
Ein paar urls dazu:
http://de.wikipedia.org/wiki/CORDIC
www.weblearn.hs-bremen.de/risse/papers/NdtKolloq04/9CORDIC.pdf
www3.informatik.uni-erlangen.de/Lehre/VHDL-RA/SS2011/lectures/02-cordic.pdf
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Mi 10.08.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
ich war im fast vollständig internetfreien Urlaub, sonst hätte ich gewiss schneller reagiert. Vielen Dank für die sachkundige Ergänzung samt hilfreichen Links!
> Hallo reverend,
>
> du meinst offenbar die Reihe
>
> [mm]\arctan x\ =\ \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1}\ =\ x - \frac{1}{3}\, x^3 + \frac{1}{5}\, x^5 - \frac{1}{7}\, x^7 + \cdots[/mm]
Ja, genau.
> Natürlich wäre es unsinnig, diese Reihe für eine
> Implementation der arctan-Funktion in einem Rechner zu
> benützen, denn sie hat miserable Konvergenzeigenschaften
> außer im Fall |x|<<1.
Eben.
> Die in Taschenrechnern üblicherweise eingebauten
> Alchwarythmen
> sind viel raffinierter. Sie basieren auf der
> CORDIC-Methode.
Ich hatte keine Lust zu suchen und kam auch nicht drauf. Gerade deswegen vielen Dank für Deine Mühe!
> Ein paar urls dazu:
>
> wikipedia
>
> Hochschule Bremen, pdf
>
> Uni Erlangen, pdf
Die Links habe ich mal klickbar gemacht und dabei mit kurzen Herkunftsnamen versehen.
Herzliche Grüße
reverend
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