Argumentbestimmung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Di 27.07.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | | [mm] \;z=-3i [/mm] |
Hallo, wie kann ich denn hier den Winkel nach [mm] tan\;\varphi=\bruch{y}{x} [/mm] bestimmen, wenn mein x=0 ist? Habe leider keinen Tschenrechner zur Hand. Habt ihr eine Idee?
Gruß Lzaman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\;z=-3i[/mm]
> Hallo, wie kann ich denn hier den Winkel nach
> [mm]tan\;\varphi=\bruch{y}{x}[/mm] bestimmen, wenn mein x=0 ist?
> Habe leider keinen Tschenrechner zur Hand. Habt ihr eine
> Idee?
Ja. Sicher hast Du Papier zur Hand. Einen Stift auch ? Prima. Dann malen wir: ein Koordinatensystem, reeelle Achse, imaginäre Achse und wir markieren darin den Punkt [mm]-3i[/mm]. Hast Du das ? Schön.
Jetzt hängt es davon ab, wie Ihr das Argument (Hauptwert) einer komplexen Zahl def. habt.
Fall 1: Ihr hattet Argument [mm] \in [/mm] $[0, 2 [mm] \pi]$. [/mm] Kannst Du nun an der Zeichnung das Argument von [mm]\;z=-3i[/mm] ablesen ?
Fall 1: Ihr hattet Argument [mm] \in$[- \pi, \pi]$. [/mm] Kannst Du nun an der Zeichnung das Argument von [mm]\;z=-3i[/mm] ablesen ?
FRED
>
> Gruß Lzaman
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Di 27.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Das habe ich mir auch schon in etwa so gedacht. Ich bin zum Entschluß gekommen, dass es nur zwei unterschiedliche Winkel geben kann, wenn eine komplexe Zahl keinen reellen Teil besitzt. Nämlich
bei [mm] \;z=yi [/mm] müsste [mm] \varphi=\bruch{\pi}{2} [/mm] sein.
und bei [mm] \;z=-yi [/mm] müsste [mm] \varphi=\bruch{3}{2}\pi [/mm] sein.
Für beides gilt [mm] y\not=0
[/mm]
Habe ich da recht???
Würde mir das dann gerne so merken wollen...
LG Lzaman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Das habe ich mir auch schon in etwa so gedacht. Ich bin zum
> Entschluß gekommen, dass es nur zwei unterschiedliche
> Winkel geben kann, wenn eine komplexe Zahl keinen reellen
> Teil besitzt. Nämlich
>
> bei [mm]\;z=yi[/mm] müsste [mm]\varphi=\bruch{\pi}{2}[/mm] sein.
falls y>0 !!!!
>
> und bei [mm]\;z=-yi[/mm] müsste [mm]\varphi=\bruch{3}{2}\pi[/mm] sein.
falls y>0 !!!!
>
> Für beides gilt [mm]y\not=0[/mm]
>
>
> Habe ich da recht???
Für [mm]\;z=yi[/mm] gilt:
Arg(z)= [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] falls y>0
und
Arg(z)= [mm] \bruch{3*\pi}{2}, [/mm] falls y<0
FRED
>
> Würde mir das dann gerne so merken wollen...
>
> LG Lzaman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Di 27.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Danke ist mathematisch besser beschrieben von dir, aber doch das gleiche.
Mit der Erkenntnis habe ich eine Beispielaufgabe so gelöst:
Bestimme [mm] v\in\IC, [/mm] die im 2. Quadranten liegen und folgende Gleichung lösen:
[mm] v^4=81i [/mm]
nach Betragsvergleich: [mm] \;r=3
[/mm]
nach Argumentenvergleich: [mm] 4\varphi=\bruch{\pi}{2}+2k\pi \Rightarrow\;\varphi=\bruch{\pi}{8}+\bruch{1}{2}k\pi [/mm]
nach Einsetzen für [mm] \;k=0...3 [/mm] ist bei [mm] \;k=0;\;k=1 [/mm] die Bedingung [mm] \bruch{\pi}{2}\le\varphi\le\pi [/mm] erfüllt.
Somit liegen die Gleichungen [mm] \underbrace{v=3*e^{j\bruch{5}{8}\pi}}_{k=1}
[/mm]
und [mm] \underbrace{v=3*e^{j\bruch{\pi}{2}}}_{k=0} [/mm] im 2. Quadranten.
Könntet ihr das noch überprüfen?
LG Lzaman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke ist mathematisch besser beschrieben von dir, aber
> doch das gleiche.
Na ja. Du redest oben von $ [mm] \;z=yi [/mm] $ und $ [mm] \;z=-yi [/mm] $. Nur weil ein "-" -Zeichen vor dem y ist bedeutet das noch lange nicht, dass Im(z)<0 ist.
FRED
>
> Mit der Erkenntnis habe ich eine Beispielaufgabe so
> gelöst:
>
> Bestimme [mm]v\in\IC,[/mm] die im 2. Quadranten liegen und folgende
> Gleichung lösen:
>
> [mm]v^4=81i[/mm]
>
> nach Betragsvergleich: [mm]\;r=3[/mm]
> nach Argumentenvergleich: [mm]4\varphi=\bruch{\pi}{2}+2k\pi \Rightarrow\;\varphi=\bruch{\pi}{8}+\bruch{1}{2}k\pi[/mm]
>
> nach Einsetzen für [mm]\;k=0...3[/mm] ist bei [mm]\;k=0;\;k=1[/mm] die
> Bedingung [mm]\bruch{\pi}{2}\le\varphi\le\pi[/mm] erfüllt.
>
> Somit liegen die Gleichungen
> [mm]\underbrace{v=3*e^{j\bruch{5}{8}\pi}}_{k=1}[/mm]
> und [mm]\underbrace{v=3*e^{j\bruch{\pi}{2}}}_{k=0}[/mm] im 2.
> Quadranten.
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> Könntet ihr das noch überprüfen?
>
> LG Lzaman
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