Arzela-Ascoli < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 So 12.02.2006 | | Autor: | elena27 |
| Aufgabe | Nennen Sie ein Beispiel für eine Teilmenge von (C [a,b], [mm] \parallel ||_{ \infty}),
[/mm]
welche abgeschlossen und beschränkt, aber nicht kompakt ist. |
Ich denke,
man sollte hier den Satz von Arzela-Ascoli anwenden.
Wenn z.B. A [mm] \subset C^{0} [/mm] ([0,1], [mm] \IR) [/mm] oder so was in die Richtung.
Ich denke, dass mein Problem auch daran liegt, dass ich nicht ganz den Satz von Arzela-Ascoli verstehe.
Könnte mir bitte bitte jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 So 12.02.2006 | | Autor: | andreas |
> Nennen Sie ein Beispiel für eine Teilmenge von (C [a,b],
> [mm]\parallel ||_{ \infty}),[/mm]
> welche abgeschlossen und
> beschränkt, aber nicht kompakt ist.
> Ich denke,
> man sollte hier den Satz von Arzela-Ascoli anwenden.
eher nicht. der satz von arzelà-ascoli gibt ja genau ein kompaktheitskriterium und du sollst eine menge angeben, die nicht kompakt ist. dieses beispiel soll zeigen, dass das kompaktheitskriterium, welches in endlich-dimensionalen [mm] $\mathbb{R}$-vektorräumen [/mm] gilt (K kompakt enau dann, wenn K beschränkt und abgeschlossen) in unendlich dimensionalen räumen, zum beispiel in $C([a,b])$ nicht gilt. dort barucht man stärkere kriterien, wie zum beispiel den satz von arzelà-ascoli.
nun zu deiner aufgabe: hier bietet es sich an, als $A$ einfach mal die einheitskugel zu nehmen, also
[m] A := \{f \in C([a, b]): \|f\|_\infty \leq 1 \} [/m]
das sind genau die stetigen funktioen, deren betrag der funktionswert nie größer als $1$ wird.
probiere doch mal die ersten beiden geforderten eigenschaften nachzuweisen, nämlich, dass $A$ beschränkt und abgeschlossen ist. um zu ziegen, dass die menge nicht kommpakt ist musst du dann einfach eine folge suchen, aus der man keine konvergente teilfolge auswählen kann. probiere das doch auch mal, wenn du damit nicht weiterkommst hilft dir bestimmt gern wieder jemand weiter.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 So 12.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo Andreas,
vielen vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Ich versuche es dann wie Du beschrieben hast.
Und noch mal zurück zum Arzela- Ascoli-Satz:
Der gibt ein Kompaktheitskriterium für die Teilmengen des unendl.-dim. Raums? Nicht die relative Kompaktheit (also die Kompaktheit des Abschlußes der Teilmenge)?
Danke für die Hilfe!
Elena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 So 12.02.2006 | | Autor: | andreas |
hallo
> Und noch mal zurück zum Arzela- Ascoli-Satz:
> Der gibt ein Kompaktheitskriterium für die Teilmengen des
> unendl.-dim. Raums? Nicht die relative Kompaktheit (also
> die Kompaktheit des Abschlußes der Teilmenge)?
du hast recht, er gibt im allgemeinen ein kriterium für die relative kompaktheit im raum der stetigen funktionen. wenn man dann aber zum abschluss der menge übergeht, erhält man dadurch auch automatisch ein kriterium für kompaktheit.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 So 12.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Danke!
Also,
A ist beschränkt, da [mm] \|f\|_\infty [/mm] = [mm] max_{x \in [a,b]}|f(x)| \leq [/mm] 1 [mm] \
[/mm]
A ist abgeschlossen, da
[mm] \partial [/mm] A := [mm] \{f \in C([a, b]): \|f\|_\infty = 1}\
[/mm]
also Abschluß von A = A [mm] \cup \partial [/mm] A = A [mm] \gdw [/mm] A abgeschlossen
Mit der Teilfolge hab ich Schwierigkeiten :-(
Könnte mir bitte jemand weiterhelfen?
Bin im voraus sehr dankbar.
Elena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 So 12.02.2006 | | Autor: | andreas |
hallo
das ist nicht ganz so einfach eine folge zu konstruieren, die die gewünschten eigenschaften erfüllt. ich beschreibe jetzt mal eine idee, die man auf das intervall [0,1] anwenden kann. es bietet sich an eine art sägezahnfunktionenefolge zu wählen:
wenn ich mich jetzt auf die schnelle nicht verrechnet habe haben diese funktionen die zuordnungsvorschrift
[m]f_n(x) = \begin{cases} 0 & \textrm{ für } x \in [0, \frac{1}{2^n}] \cup [\frac{1}{2^{n-1}}] \\ 2^{n+1}x - 2 & \textrm{ für } x \in (\frac{1}{2^n}, \frac{3}{2^{n+1}}] \\ -2^{n+1}x + 4 & \textrm{ für } x \in (\frac{3}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^{n-1}}) \end{cases} [/m]
für $n = 1, 2, 3, ...$. das schaubild ist immer ein "zahn", die am anfang in der rechten hälfte des intervalles ist und dann immer weiter zum ursprung wandert. zeichen dir am besten mal die ersten paar funktionen für $n=1, 2, 3, ...$ auf, dann sollte das klar werden. nun kann man zeigen, dass egal welche teilfolge man auswählt, dies keine cauchy-folge, also insbesondere keine konvergente folge, sein kann.
ich hoffe damit kommst du weiter.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 So 12.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Vielen Vielen Dank!
Ich versuche mich daran.
Viele Grüße
Elena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:49 Mo 13.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> das ist nicht ganz so einfach eine folge zu konstruieren,
> die die gewünschten eigenschaften erfüllt.
Doch, ist es. Die prinzipielle Idee ist doch eine Funktionenfolge, die punktweise konvergeirt, aber nicht gegen eine stetige Funktion - jede solche Folge ist ein Gegenbeispiel, denn die konvergente Teilfolge müsste gegen diese nicht stetigeFunktion konvergieren, ein Widerpsruch. Als einfachstes Gegenbeispiel auf [m][0,1][/m] nimmt man für n die Gerade, die durch [m](0,1)[/m] und [m](\bruch{1}{n},0)[/m] geht, setzt sie aber nach [m](\bruch{1}{n},0)[/m] mit 0 fort, also [m][mm] f_n(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x > \bruch{1}{n} \\ 1-n*x, & \mbox{sonst} \end{cases}.
[/mm]
Deine Funktionenfolge stimmt auch, ist aber subtiler.
SEcki
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