Assoziativität endl. Produkte < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 21:10 Di 23.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
sei $M$ eine Menge und $*$ eine assoziative Verknüpfung auf $M$, bzgl. der $M$ ein neutrales Element besitze. (Kurz: $(M,*)$ sei ein Monoid.)
Nun wird häufig als "offensichtlich" vorausgesetzt, dass in Produkten mit endlich vielen Faktoren aus $M$ alle "Klammerungen" zum gleichen Ergebnis führen.
Z.B. wird die Rechenregel
[mm] $(\prod_{i=1}^ma_i)*(\prod_{i=m+1}^na_i)=\prod_{i=1}^na_i$
[/mm]
für alle [mm] $0\le m\le [/mm] n$ und alle [mm] $a_1,\ldots,a_n\in [/mm] M$ damit begründet.
Aber mir erscheint es noch nicht einmal klar, wie sich die allgemeine Aussage über Klammerungen formalisieren lässt. Was ist eigentlich ein (irgendwie geklammertes) Produkt mit endlich vielen Faktoren? Was ist eine Klammerung?
Hat jemand eine Idee? Kennt jemand Literatur, in der dieses Problem nicht übergangen wird?
Viele Grüße
Tobias
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Hey tobit,
das ist ein kleiner, feiner Induktionsbeweis, dass dieses sogenannte allgemeine Assoziativitätsgesetz gilt.
Wollen wir zeigen, dass im Produkt [mm] $a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n$ [/mm] die Klammerung egal ist, so wissen wir dies für $n=3$ bereits aus dem normalen Assoziativitätsgesetz.
Für eine schöne Version des Induktionsschlusses gucke mal zum Beispiel hier: ![[]](/images/popup.gif) Link
Ansonsten liefert Google beim Stichwort "allgemeines Assoziativgesetz" durchaus brauchbare Ergebnisse zu diesem Thema, unter anderem auch etwas aus dem Matheraum: klick 
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 Mi 24.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Schadowmaster,
danke besonders für deinen Hinweis auf den Namen "allgemeines Assoziativgesetz"!
Mit Google fand ich da zwei interessante Ansätze.
Am vielversprechendsten erscheint mir dieser hier (Aufgabe 3; Vorsicht: Aufgabe 3a) ist falsch gelöst, tatächlich hängt K(n) von M und der Verknüpfung darauf ab. Ist diese z.B. assoziativ, so besagt das allgemeine Assoziativgesetz gerade [mm] $K(n)\le [/mm] 1$ (also $K(n)=1$).)
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Tobias,
> Hallo Schadowmaster,
>
>
> danke besonders für deinen Hinweis auf den Namen
> "allgemeines Assoziativgesetz"!
ich weiß nicht, ob das viele weitere oder abweichende Ergebnisse liefert:
Du kannst auch nach "verallgemeinertes Assoziativgesetz" suchen!
Und, wie ich gerade gesehen habe, nennen das manche wohl auch "erweitertes
Assoziativgesetz"!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias,
> Hallo zusammen,
>
>
> sei [mm]M[/mm] eine Menge und [mm]*[/mm] eine assoziative Verknüpfung auf [mm]M[/mm],
> bzgl. der [mm]M[/mm] ein neutrales Element besitze. (Kurz: [mm](M,*)[/mm] sei
> ein Monoid.)
>
> Nun wird häufig als "offensichtlich" vorausgesetzt, dass
> in Produkten mit endlich vielen Faktoren aus [mm]M[/mm] alle
> "Klammerungen" zum gleichen Ergebnis führen.
>
> Z.B. wird die Rechenregel
>
> [mm](\prod_{i=1}^ma_i)*(\prod_{i=m+1}^na_i)=\prod_{i=1}^na_i[/mm]
>
> für alle [mm]0\le m\le n[/mm] und alle [mm]a_1,\ldots,a_n\in M[/mm] damit
> begründet.
>
> Aber mir erscheint es noch nicht einmal klar, wie sich die
> allgemeine Aussage über Klammerungen formalisieren lässt.
> Was ist eigentlich ein (irgendwie geklammertes) Produkt mit
> endlich vielen Faktoren? Was ist eine Klammerung?
>
> Hat jemand eine Idee? Kennt jemand Literatur, in der dieses
> Problem nicht übergangen wird?
Algebra von Meyberg, Karpfinger:
http://www.springer.com/springer+spektrum/mathematik/algebra/book/978-3-8274-2018-3
Klicke rechts auf "Lösungen der Aufgaben"! Aufgabe 1.5
P.S. Betrachte mal [mm] $\cdot$ [/mm] in üblicher Notation:
[mm] $$\blue{\cdot=:f} \colon [/mm] M [mm] \times [/mm] M [mm] \to M\,.$$ [/mm]
Dann besagt das Assoziativgesetz
$f((f(a,b),c))=f((a,f(b,c)))$ (beachte auch: $f(a,b) [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] (f(a,b),c) [mm] \in [/mm] M [mm] \times [/mm] M$!)
bzw. in Klammern sparender Notation
[mm] $$f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))\,,$$
[/mm]
wobei natürlich $a,b,c [mm] \in [/mm] M$ sein sollen!
Da erkennt man auch eher, dass da wirklich "ein Inhalt" im Assoziativgesetz
steckt, der keineswegs selbstverständlich ist!
P.P.S. Bei Aufgabe 1.6 geht's um "das allgemeine Kommutativgesetz!"
Und noch zu guter Letzt: Für was brauchst Du eigentlich die Eins? Die
Aussage von Dir gilt schon in Halbgruppen - also nur, wenn das Assoziativ-
gesetz gültig ist!
[mm] ($(M,\cdot)$ [/mm] ist Halbgruppe, wenn [mm] $\cdot\colon [/mm] M [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] M$ das Assoziativgesetz erfüllt.
Eine Halbgruppe mit neutralem Element heißt Monoid. Ein Monoid, für den [mm] $M=M^\times$
[/mm]
gilt, wobei [mm] $M^{\times}=\{m \in M:\;m \text{ ist }invertierbar\}$ [/mm] gilt, heißt Gruppe!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Mi 24.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
auch dir vielen Dank für deinen Beitrag!
Im Meyberg-Karpfinger vermisse ich genau wie bei Schadowmasters Links eine präzise Formulierung, was eigentlich bewiesen werden soll. Dafür ist der Beweis erstaunlich kurz.
Die Existenz eines neutralen Elements brauche ich, wenn ich auch leere Produkte nicht ausschließen möchte. Ansonsten ist die Forderung natürlich überflüssig.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias,
> Hallo Marcel,
>
>
> auch dir vielen Dank für deinen Beitrag!
>
> Im Meyberg-Karpfinger vermisse ich genau wie bei
> Schadowmasters Links eine präzise Formulierung, was
> eigentlich bewiesen werden soll. Dafür ist der Beweis
> erstaunlich kurz.
grob gesagt: "Die Klammerung ist egal" oder "auf Klammern kann
verzichtet werden". Hast Du das Buch? Dann schau' mal in die Aufgabe,
bzw. ich glaube, in der Formulierung der Aufgabe steht ein Bezug zu der
Aussage, die man in dem Kapitel irgendwo formuliert findet. Wie "formal"
die nun da steht, weiß ich nicht. Aber wenn ich mich recht erinnere, habe
ich die in einigen Informatikskripten mal gesehen - irgendwo da sollte das
penibelst notiert aufzufinden sein!
> Die Existenz eines neutralen Elements brauche ich, wenn ich
> auch leere Produkte nicht ausschließen möchte. Ansonsten
> ist die Forderung natürlich überflüssig.
Macht Sinn, das habe ich nicht bedacht! Danke!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias,
wenn Du das kapierst, was da steht (ich habe es mir gerade angeguckt,
auf die Schnelle kapiere ich das nicht):
http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~herrmann/alg/alg.pdf
1.2.3
Ich schau' nachher aber mal, ob ich nicht ein Informatik (Logik) Skript
finde, wo das in etwa so formuliert wird, wie ich es schonmal gesehen
habe! (Ich will's mir nicht selbst zusammenbasteln, denn da kann man
schonmal schnell Fehler machen, und die Behauptung mit reinformulieren;
dann entsteht natürlich nur noch eine Ringschlussaussage...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Do 25.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Danke für deine weiteren Hinweise!
Dieses Skript geht sehr in die Richtung, wie ich es auch gemacht hätte. Man muss sich bei der Formulierung des allgemeinen Assoziativgesetzes wohl entscheiden zwischen Anschaulichkeit und Präzision.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Do 25.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias,
> Danke für deine weiteren Hinweise!
>
> Dieses Skript geht sehr in die Richtung, wie ich es auch
> gemacht hätte. Man muss sich bei der Formulierung des
> allgemeinen Assoziativgesetzes wohl entscheiden zwischen
> Anschaulichkeit und Präzision.
naja, ich hatte gestern den Gedanken im Kopf rumschwirren,
dass man es vielleicht auch so machen könnte, dass man
formuliert, an welchen Stellen zwischen den [mm] $n\,$ [/mm] Elementen
Klammern geöffnet und geschlossen werden. Ich glaube, der
Punkt beim Induktionsbeweis ist eigentlich nur der, dass man
im Induktionsschritt durch "Hinzunahme eines neuen Elements"
halt dann 'nicht zu viele Klammernpaare' erhält (ansonsten könnte
man die Induktionsvoraussetzung nicht anwenden). Das ganze
kann man sicher sogar kombinatorisch(er) formulieren, wobei ich
diesen Gedanken noch nicht zu Ende gedacht habe.
Mal grob, was ich meine:
Wenn Du [mm] $abcd\,$ [/mm] hast, dann kannst Du das als
[mm] $$((ab)c)d\,$$
[/mm]
oder
[mm] $$(a(bc))d\,$$
[/mm]
oder
[mm] $$a((bc)d)\,$$
[/mm]
oder
[mm] $$a(b(cd))\,$$
[/mm]
oder halt
[mm] $$(ab)(cd)\,$$
[/mm]
auffassen (ich hoffe, ich habe nichts vergessen, aber falls doch kann
man das ergänzen; ich will ja eh nur demonstrieren, was ich meine).
Wenn ich nun
[mm] $$[1]a[2]b[3]c[4]d[5]\,$$
[/mm]
schreibe (ich nummeriere "Lücken für Klammern"), dann entspricht das
$$((ab)c)d$$
einfach
[mm] $$[1]=(\ell_1,\;\ell_2)\,,$$
[/mm]
[mm] $$[3]=r_2$$
[/mm]
und [mm] $[4]=r_1\,.$ [/mm] Für nichtbesetzte Stellen schreibe ich etwa [mm] $\emptyset$ [/mm] (oder [mm] $\infty$ [/mm] oder
...), also hier etwa [mm] $[2]=\emptyset=[5]\,.$
[/mm]
Wobei [mm] $\ell$ [/mm] quasi "linksöffnende Klammer" - ( - und [mm] $r\,$ [/mm] "rechtsschließende Klammer" - ) -
bedeutet. Der Index deutet an, dass das Klammernpaar zusammengehört.
Aber wir gesagt: Ich habe das nicht zu Ende gedacht, und es ist halt auch die Frage,
ob man mit solch' einer Formulierung wirklich viel mehr gewinnt, als wenn man es
einfach in Worten ausdrückt!
Gruß,
Marcel
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> Was ist eigentlich ein (irgendwie geklammertes) Produkt mit
> endlich vielen Faktoren? Was ist eine Klammerung?
Hallo Tobias,
ich hab mir mal kurz überlegt, auf welche Weise
man eine "Klammerung" alchwarythmisch  beschreiben
könnte.
Mal zwei unterschiedliche Arten, die Beklammerung
$\ ((a*b)*((c*d)*e))$
des Produktes $\ a*b*c*d*e$ aus 5 Faktoren zu
interpretieren:
1.) $\ [mm] a*b*c\underset{\red{\uparrow}}{*}d*e\ [/mm] =\ [mm] a\underset{\red{\uparrow}}{*}b*cd*e\ [/mm] =\ [mm] ab*cd\underset{\red{\uparrow}}{*}e\ [/mm] =\ [mm] ab\underset{\red{\uparrow}}{*}cde\ [/mm] =\ abcde$
oder z.B. auch so:
2.) $\ [mm] a\underset{\red{\uparrow}}{*}b*c*d*e\ [/mm] =\ [mm] ab*c\underset{\red{\uparrow}}{*}d*e\ [/mm] =\ [mm] ab*cd\underset{\red{\uparrow}}{*}e\ [/mm] =\ [mm] ab\underset{\red{\uparrow}}{*}cde\ [/mm] =\ abcde$
Die roten Pfeilchen deuten an, welche der elementaren
Multiplikationen jeweils als nächste durchgeführt
werden soll.
Nun sind für das komplette Ausmultiplizieren des
Produkts $\ a*b*c*d*e$ aus 5 Faktoren insgesamt
5-1=4 elementare Multiplikationen nötig. Um eine
bestimmte Reihenfolge dieser Multiplikationen zu
beschreiben, genügt es natürlich, deren Reihenfolge
exakt festzulegen. Im allerersten Schritt, wo noch
4 Multiplikationen ausstehen, dürfen wir irgendeine
davon wählen, also die erste, zweite, dritte oder
vierte noch ausstehende (von links nach rechts
gezählt). Setzen wir für die gewählte Position
also einen Index [mm] f_1\in\{1,2,3,4\} [/mm] . Für das obige Beispiel
haben wir im ersten Fall [mm] f_1=3 [/mm] und im zweiten Fall [mm] f_1=1 [/mm] .
Da nun eine erste Multiplikation ausgeführt ist,
bleiben für den nächsten Multiplikationsschritt nur
noch 3 Möglichkeiten zur Auswahl des Index [mm] f_2\in\{1,2,3\}
[/mm]
übrig, etc.
Insgesamt würde ich etwa im im obigen Beispiel
die beiden gezeigten Beklammerungsprozesse
durch die Indexfolgen
$\ [mm] I_1\ [/mm] =\ <3,1,2,1>$
bzw. $\ [mm] I_2\ [/mm] =\ <1,2,2,1>$
charakterisieren.
Für die Beklammerung eines Produktes von 5
Faktoren gibt es also (wenn wir die Reihenfolge
der Klammersetzungen mit berücksichtigen)
insgesamt $\ 4*3*2*1\ =\ [mm] 4\,!$ [/mm] Möglichkeiten.
Bei einem Produkt aus n Faktoren wäre die Anzahl
gleich $\ [mm] (n-1)\,!$
[/mm]
Dabei legt jeder dieser $\ [mm] (n-1)\, [/mm] ! $ Beklammerungs-
prozesse eindeutig eine Beklammerung fest.
Eine bestimmte Beklammerung kann aber unter
Umständen (wie obiges Beispiel ja zeigt) durch
unterschiedliche Beklammerungsprozesse (bei
denen die Reihenfolge der Klammersetzungen mit
berücksichtigt wird) entstehen.
Für einen Beweis des allgemeinen Assoziativge-
setzes könnte man nun sicher so vorgehen, dass
man zeigt, dass für jeden Beklammerungs-
prozess das Ergebnis unabhängig von der Wahl der
Reihenfolge der Klammersetzungen ist.
LG , Al-Chw.
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Bemerkung:
Auf zusätzliche (überflüssige) Klammern, zwischen
denen gar kein oder nur ein einziger Operand sitzt,
habe ich natürlich bewusst verzichtet, auch schon
weil damit ein Induktionsbeweis illusorisch würde,
denn man könnte sonst ja ein endliches Produkt mit
unendlich vielen sinnlosen Klammern ausgarnieren !
Gruß , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Do 25.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Al,
> > Was ist eigentlich ein (irgendwie geklammertes) Produkt mit
> > endlich vielen Faktoren? Was ist eine Klammerung?
>
>
> Hallo Tobias,
>
> ich hab mir mal kurz überlegt, auf welche Weise
> man eine "Klammerung" alchwarythmisch beschreiben
> könnte.
> Mal zwei unterschiedliche Arten, die Beklammerung
>
> [mm]\ ((a*b)*((c*d)*e))[/mm]
>
> des Produktes [mm]\ a*b*c*d*e[/mm] aus 5 Faktoren zu
> interpretieren:
>
> 1.) [mm]\ a*b*c\underset{\red{\uparrow}}{*}d*e\ =\ a\underset{\red{\uparrow}}{*}b*cd*e\ =\ ab*cd\underset{\red{\uparrow}}{*}e\ =\ ab\underset{\red{\uparrow}}{*}cde\ =\ abcde[/mm]
>
> oder z.B. auch so:
>
> 2.) [mm]\ a\underset{\red{\uparrow}}{*}b*c*d*e\ =\ ab*c\underset{\red{\uparrow}}{*}d*e\ =\ ab*cd\underset{\red{\uparrow}}{*}e\ =\ ab\underset{\red{\uparrow}}{*}cde\ =\ abcde[/mm]
>
> Die roten Pfeilchen deuten an, welche der elementaren
> Multiplikationen jeweils als nächste durchgeführt
> werden soll.
also irgendwie ähnlich dem, was ich hier vorschlug?
So nebenbei:
Eigentlich bedeutet hier ein Klammernpaar [mm] $()\,,$ [/mm] dass da zwischen Elementen
aus [mm] $G\,$ [/mm] die zugehörige Verknüpfung operiert:
$$(ab)$$
ist in diesem Sinne auch "ein Paar", also würde man am Besten sowas wie
[mm] $(,)\,$ [/mm] für [mm] $()\,$ [/mm] schreiben:
$$(ab)=(a [mm] \circ b)=\circ(a,b)=f(a,b)\,,$$
[/mm]
indem Sinne, wie ich es anfangs geschrieben hatte:
Würde man anstatt [mm] $\cdot$ [/mm] oder [mm] $\circ$ [/mm] halt etwa [mm] $f\,$ [/mm] schreiben und dann, wie sonst,
auch $f(a,b)$ anstatt $a [mm] \cdot b\,,$ [/mm] so ist dann klar, dass Du hier nicht in diesem
Sinne unendlich viele KLAMMERNPAARE benutzen kannst.
Z.B. ist $a*(b*c)$ dann [mm] $=f(a,f(b,c))\,.$ $a=(a)\,$ [/mm] hat dann mit [mm] "$f\,$" [/mm] in diesem
Sinne nichts mehr zu tun. Klammernpaare haben hier immer etwas mit der
Verknüpfung zu tun. Und bei $(a)$ gibt's halt keine (okay, in einem Monoid
könnte man wieder sagen [mm] $(a)=(e\circ a)\,,$ [/mm] aber das ist dann wirklich künstlich
erzeugt. Außerdem würden wir im Induktionsschritt dann auch "noch dann
zusätzlich das Element [mm] $e\,$" [/mm] einbringen)! In diesem Sinne brauchst Du,
meines Erachtens nach, auch nicht irgendwie zu begründen, dass Du
"unnötige Klammern" gar nicht erst erwähnst. Diese, wie Du sie erwähnen
würdest, wären nicht im Sinne der Funktion [mm] $f=\circ$ [/mm] gemeint!
Gruß,
Marcel
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> Hi Al,
>
> > > Was ist eigentlich ein (irgendwie geklammertes) Produkt mit
> > > endlich vielen Faktoren? Was ist eine Klammerung?
> >
> >
> > Hallo Tobias,
> >
> > ich hab mir mal kurz überlegt, auf welche Weise
> > man eine "Klammerung" alchwarythmisch beschreiben
> > könnte.
> > Mal zwei unterschiedliche Arten, die Beklammerung
> >
> > [mm]\ ((a*b)*((c*d)*e))[/mm]
> >
> > des Produktes [mm]\ a*b*c*d*e[/mm] aus 5 Faktoren zu
> > interpretieren:
> >
> > 1.) [mm]\ a*b*c\underset{\red{\uparrow}}{*}d*e\ =\ a\underset{\red{\uparrow}}{*}b*cd*e\ =\ ab*cd\underset{\red{\uparrow}}{*}e\ =\ ab\underset{\red{\uparrow}}{*}cde\ =\ abcde[/mm]
>
> >
> > oder z.B. auch so:
> >
> > 2.) [mm]\ a\underset{\red{\uparrow}}{*}b*c*d*e\ =\ ab*c\underset{\red{\uparrow}}{*}d*e\ =\ ab*cd\underset{\red{\uparrow}}{*}e\ =\ ab\underset{\red{\uparrow}}{*}cde\ =\ abcde[/mm]
>
> >
> > Die roten Pfeilchen deuten an, welche der elementaren
> > Multiplikationen jeweils als nächste durchgeführt
> > werden soll.
>
> also irgendwie ähnlich dem, was ich
> hier vorschlug?
Ja, vermutlich schon. Dies dachte ich auch, als ich
kurz nach dem Absenden meines Beitrags deinen sah.
Ich fand es aber nützlicher und vor allem über-
sichtlicher, den Gesichtspunkt nicht auf die Klammern
oder Klammerpaare zu lenken, sondern auf die
einzelnen Operationen (Elementarmultiplikationen),
welche sie andeuten sollen. Damit habe ich es jeweils
nicht mit zwei Klammern (einer öffnenden und einer
schließenden) zu tun, sondern mit einer einzigen
Multiplikation.
Besonders dann, wenn insgesamt eine Klammernfolge
wie etwa (...(...(...))((...(...)((...(...))...) etc.
entsteht, schien mir das übersichtlicher und irgendwie
geschickter ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:58 Fr 26.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Hi Al,
> >
> > > > Was ist eigentlich ein (irgendwie geklammertes) Produkt mit
> > > > endlich vielen Faktoren? Was ist eine Klammerung?
> > >
> > >
> > > Hallo Tobias,
> > >
> > > ich hab mir mal kurz überlegt, auf welche Weise
> > > man eine "Klammerung" alchwarythmisch
> beschreiben
> > > könnte.
> > > Mal zwei unterschiedliche Arten, die Beklammerung
> > >
> > > [mm]\ ((a*b)*((c*d)*e))[/mm]
> > >
> > > des Produktes [mm]\ a*b*c*d*e[/mm] aus 5 Faktoren zu
> > > interpretieren:
> > >
> > > 1.) [mm]\ a*b*c\underset{\red{\uparrow}}{*}d*e\ =\ a\underset{\red{\uparrow}}{*}b*cd*e\ =\ ab*cd\underset{\red{\uparrow}}{*}e\ =\ ab\underset{\red{\uparrow}}{*}cde\ =\ abcde[/mm]
>
> >
> > >
> > > oder z.B. auch so:
> > >
> > > 2.) [mm]\ a\underset{\red{\uparrow}}{*}b*c*d*e\ =\ ab*c\underset{\red{\uparrow}}{*}d*e\ =\ ab*cd\underset{\red{\uparrow}}{*}e\ =\ ab\underset{\red{\uparrow}}{*}cde\ =\ abcde[/mm]
>
> >
> > >
> > > Die roten Pfeilchen deuten an, welche der elementaren
> > > Multiplikationen jeweils als nächste durchgeführt
> > > werden soll.
> >
> > also irgendwie ähnlich dem, was ich
> > hier vorschlug?
>
> Ja, vermutlich schon. Dies dachte ich auch, als ich
> kurz nach dem Absenden meines Beitrags deinen sah.
> Ich fand es aber nützlicher und vor allem über-
> sichtlicher, den Gesichtspunkt nicht auf die Klammern
> oder Klammerpaare zu lenken, sondern auf die
> einzelnen Operationen (Elementarmultiplikationen),
> welche sie andeuten sollen. Damit habe ich es jeweils
> nicht mit zwei Klammern (einer öffnenden und einer
> schließenden) zu tun, sondern mit einer einzigen
> Multiplikation.
okay - das erinnert mich ja gerade an den Sinn, warum man
$a [mm] \circ [/mm] b$ schreibt und nicht [mm] $\circ(a,b)\,.$ [/mm] Es ist einfach "Ersparnis"
und sorgt für Übersichtlichkeit!
> Besonders dann, wenn insgesamt eine Klammernfolge
> wie etwa (...(...(...))((...(...)((...(...))...) etc.
> entsteht, schien mir das übersichtlicher und irgendwie
> geschickter ...
Das kann durchaus sein bzw. finde ich irgendwie auch, wenn
ich genauer drüber nachdenke. Ich hab' halt ganz naiv elementar
drüber nachgedacht.
Was ich übrigens stets gerne "Anfängern" sage, ist wirklich, dass sie
sich mal das Assoziativgesetz in "üblicher Funktionennotation"
hinschreiben sollen. (Manch' "alter Hase" hat das sogar noch nie gemacht,
jedenfalls kommt es mir manchmal so vor. Ich spreche hier aber von etwa
ehemaligen Kommilitonen oder Nachhilfestudenten/innen nach dem
Vordiplom - nicht, dass sich hier irgendjemand dahingehend angesprochen
fühlt ^^ Das ist kein dezenter Hinweis an irgendjemanden hier, zumal ich
da auch nicht dezent wäre. )
Denn "Klammern schieben" bei [mm] $(a\circ b)\circ [/mm] c$ - das machen die einfach
und glauben die auch sofort (Assoziativgesetz wird oft ja einfach als
selbstverständlich hingenommen, egal, wo es angewendet werden soll.
Da denken viele nicht drüber nach, die sagen einfach nur "Klammern
schieben darf ich doch immer").
Wenn ich denen dann, wie ich's hier auch schon andeutete, sage "Ich
schreibe, wie's üblich wäre, $f(a,b)=a [mm] \circ [/mm] b$", wenn wir [mm] $f=\circ$ [/mm] auffassen, und dann bedeutet
das Assoziativgesetz
$$f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))$$
das Gleiche wie
$$(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c=a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ c)\,.$$
[/mm]
Dann starren die erstmal ungläubig auf die Gleichung $f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))$
und prüfen erstmal, ob das wirklich so ist. Danach denken die drüber nach,
was da eigentlich steht, und wenn sie das kapiert haben, verstehen sie
tatsächlich "die 'starke' inhaltliche Aussage des Assoziativgesetzes" anhand
der ersten Gleichung besser.
Deswegen würde ich fast dafür plädieren, dass man diese einfache
Aufgaben - einfach mal umschreiben des Assoziativgesetzes oder auch des
Kommutativgesetzes - wenigstens mal als Übungsaufgabe stellen sollte ^^
Aber das ist natürlich auch nur mein Erfahrungswert. Manch' anderer sagt
vielleicht genau das Gegenteil, dass $(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c=a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c)$ besser verstanden
werde.
Allerdings kenne ich es so, dass es da schon etwa anfängt, dass jemand
sagt:
"Bei $(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c$ rechne ich zuerst $a [mm] \circ [/mm] b$ aus, und das Ergebnis wird dann
durch [mm] $\circ$ [/mm] mit [mm] $c\,$ [/mm] wieder verknüpft."
Wenn dann jemand nicht aufpasst, kann das so missverstanden werden:
Man sollte nämlich auch sagen, dass das Ergebnis von $(a [mm] \circ [/mm] b)$ dann auf
der linken Seite von [mm] $\circ$ [/mm] steht, wenn es mit [mm] $c\,$ [/mm] und [mm] $\circ$ [/mm] "weitergerechnet"
wird...
Okay, einiges an Wiederholungen - und einiges auch etwas "schwammig"
ausgedrückt. Aber ich wollte es dennoch mal hier erwähnt haben. Wenn
wir schon Überlegungen mit "elementaren Aussagen" anstellen.
(@Tobi: Mit dem Ausdruck "elementare Aussagen"meine ich keineswegs
etwas böse. Mir ist bisher noch keine formale Formulierung dieses
allgemeinen Assoziativgesetzes gelungen, von der ich sagen würde, dass
sie relativ leicht verständlich und dennoch wenigstens 'relativ präzise' ist.
Das wäre wirklich schön, denn ich finde, dass man sowas dann in den
Büchern, in denen das nur "mit Worten" beschrieben wird, ergänzen
könnte. Es hilft dann auch, "Formales" mit "Sprachlischem" zu verbinden.
Wobei das ja, wie ich denke, eher auch umgekehrt besser geht: Wenn
man etwas hat, dass man "formal" gut ausformuliert und verstanden hat,
dann hat man oft ein paar gute Ideen, wie man das in "in die Sprache
einbauen" kann. Jedenfalls geht es mir meist so, denke ich jedenfalls...)
Gruß,
Marcel
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> Moin Al,
>
> > ich hab mir mal kurz überlegt, auf welche Weise
> > man eine "Klammerung" alchwarythmisch beschreiben
> > könnte.
>
> ich wuerde Klammerungen als binaere Baeume (mit Wurzel und
> Unterscheidung zwischen linkem und rechtem Kind)
> darstellen. Das wuerde ich auch als die "natuerlichste"
> mathematische Interpretation eines Ausdrucks (mit nur
> binaeren Operatoren) sehen.
Hallo Felix !
An eine solche Baumdarstellung dachte ich natürlich
ebenfalls. Mit meiner Darstellungsweise gehe ich
eigentlich schon einen kleinen Schritt weiter, nämlich
zu einer einfachen linearen Codierungsmöglichkeit
eines solchen Binärbaums ...
Good night !
Al
Zusatz:
Für diesen Fall zum Thema Assoziativgesetz (ohne
gleich auch etwa das Kommutativgesetz einzubeziehen !!)
brauchen wir natürlich gar nicht etwa beliebige
binäre Bäume mit den "Endknoten" bzw. "Blättern"
Nr. 1 bis n , sondern nur Bäume, die in dem Sinne
geordnet sind, dass die "Blätter" in der natürlichen
Reihenfolge (von Blatt Nr.1 bis Blatt Nr. n) angeordnet
nebeneinander stehen und dass keine Zweige des
Baumes (in der Ebene dargestellt) sich überkreuzen
dürfen. Ich kann also z.B. das Produkt a*b*c*d*e
nicht etwa umordnen zu dem beklammerten Ausdruck
((a*d)*c)*(e*b) , welcher auch durch einen Binärbaum
darstellbar wäre !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Fr 26.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Danke für die weiteren Vorschläge und Beiträge!
Wie gut der eine oder andere Ansatz für meinen Geschmack ist, entscheidet sich daran, ob man mit ihm gut die Rechenregeln für Produkte, die man im Alltag so benötigt, ableiten kann.
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