Atlas Karten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:16 Mi 09.01.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Sphäre [mm] S^{n-1}=\{x\in\IR^n, \parallel x \parallel=1\} [/mm] einen Atlas aus zwei Karten besitzt. |
Ich kann leider nicht so viel mit der Aufgabe anfangen, da ich nicht verstanden habe was ein Atlas und Karten sind.
Eine Karte soll doch das Paar Mannigfaltigkeit M und f sein, oder?
Und ein Atlas ist die minimale Menge der Karten die die Menge abdecken.
Habe ich das richtig verstanden?
Ich kann das leider nicht in die Praxis umsetzen. Mir fehlt da die Vorstellungen davon. Will ich die Menge in einer anderen Dimension darstellen?
Und wenn ich jetzt zwei Karten habe, heißt das dann dass ich ins zweidimensionale gehe oder heißt das dass ich zwei Funktionen habe die in tiefere Dimensionen gehen?
Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:43 Mi 09.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass die Sphäre [mm]S^{n-1}=\{x\in\IR^n, \parallel x \parallel=1\}[/mm]
> einen Atlas aus zwei Karten besitzt.
> Ich kann leider nicht so viel mit der Aufgabe anfangen, da
> ich nicht verstanden habe was ein Atlas und Karten sind.
>
> Eine Karte soll doch das Paar Mannigfaltigkeit M und f
> sein, oder?
> Und ein Atlas ist die minimale Menge der Karten die die
> Menge abdecken.
> Habe ich das richtig verstanden?
Eine Karte ist eine bijektive stetige (bei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten: stetig differenzierbare) Abbildung zwischen einer Teilmenge von M und einer Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm]. Ein Atlas ist eine Menge von Karten, sodass alle Teilmengen zusammen die gesamte Mannigfaltigkeit ergeben.
> Ich kann das leider nicht in die Praxis umsetzen. Mir fehlt
> da die Vorstellungen davon. Will ich die Menge in einer
> anderen Dimension darstellen?
Nein. Nimm den Fall n=3, also eine Kugeloberfläche. Die Kugeloberfläche selbst ist zweidimensional, daher werden Abbildungen zwischen der Mannigfaltigkeit und dem [mm]\IR^2[/mm] betrachtet. Eine Karte ist anschaulich genau das, was auch ein Geograph darunter versteht: eine Darstellung eines Teils der Kugeloberfläche auf einer ebenen Fläche. Ein Atlas ist eine Kartensammlung, die die gesamte Kugeloberfläche abdeckt.
Man kann sich eine Karte auch so vorstellen, dass man die Mannigfaltigkeit als Gummituch ansieht und versucht, ein stück dieses Tuches über eine ebene Fläche zu ziehen. Bei einem Luftballon geht das nicht, erst wenn man ein Loch reinpiekt, hat man etwas, was man glattziehen kann.
Ebenso sehen wir bei der Erdkugel, dass es keine Karte gibt, die die gesamte Erdkugel darstellt: eine solche Karte hat immer mindestens eine singuläre Stelle, typisch an den Polen, wo der Längengrad keine Bedeutung hat.
> Und wenn ich jetzt zwei Karten habe, heißt das dann dass
> ich ins zweidimensionale gehe oder heißt das dass ich zwei
> Funktionen habe die in tiefere Dimensionen gehen?
Das heisst, dass du zwei Teilmengen der Kugeloberfläche hast, die beide jeweils auf einen Ausschnitt des [mm]\IR^2[/mm] abgebildet werden. Anschaulich: Nord- und Südhalbkugel. Jede für sich lässt sich als ebene Karte darstellen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mi 09.01.2008 | | Autor: | jumape |
Vielen Dank erstmal für die Erklärung.
Ich muss also bei meiner Aufgabe die Sphäre in ,,Nord- und Südhalbkugel'' aufteilen. Dafür brauche ich eine Vorschrift, richtig?
Also brauche ich zwei Vorschriften, die jeweils einen Teil und gemeinsam alles abdecken. Aber sind die Kugelkoordinaten nicht schon ausreichend?
[mm] r\in [0,\infty) \phi_1\in[0,2\pi] [/mm] und [mm] \phi_2,\phi_3,...\phi_{n-1} \in [0,\pi)
[/mm]
[mm] \vektor{x_1\\ x_2\\ x_3\\ .\\.\\.\\x_{n-2}\\x_{n-1}\\x_{n}} [/mm] = [mm] \vektor{rsin\phi_1sin\phi_2.......sin\phi_{n-1}\\rcos\phi_1sin\phi_2......sin\phi_{n-1}\\rcos\phi_2sin\phi_3....sin\phi_{n-1}\\.\\.\\.\\rcos\phi_{n-3}sin\phi_{n-2}sin\phi_{n-1}\\rcos\phi_{n-2}sin\phi_{n-1}\\rcos\phi_{n-1}}
[/mm]
Oder brauche ich die Zylinderkoordinaten, weil ich ja nur die Oberfläche berechnen will?
Ich habe die folgende Lösung im Skript gefunden: [mm] \bruch{n\pi^{\bruch{n}{2}}}{\Gamma(1+\bruch{n}{2})}
[/mm]
Stimmt das? Ich habe leider keinen Ansatz wie man darauf kommt.
Es wäre nett wenn mir da nochmal jemand helfen könnte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mi 09.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich muss also bei meiner Aufgabe die Sphäre in ,,Nord- und
> Südhalbkugel'' aufteilen. Dafür brauche ich eine
> Vorschrift, richtig?
> Also brauche ich zwei Vorschriften, die jeweils einen Teil
> und gemeinsam alles abdecken. Aber sind die
> Kugelkoordinaten nicht schon ausreichend?
Nein, denn Kugelkoordinaten decken nicht die gesamte Sphäre ab; in mindestens einem Punkt ist die Abbildung nicht bijektiv.
> [mm]r\in [0,\infty) \phi_1\in[0,2\pi][/mm] und [mm]\phi_2,\phi_3,...\phi_{n-1} \in [0,\pi)[/mm]
>
> [mm]\vektor{x_1\\ x_2\\ x_3\\ .\\.\\.\\x_{n-2}\\x_{n-1}\\x_{n}}[/mm] =[mm]\vektor{rsin\phi_1sin\phi_2.......sin\phi_{n-1}\\rcos\phi_1sin\phi_2......sin\phi_{n-1}\\rcos\phi_2sin\phi_3....sin\phi_{n-1}\\.\\.\\.\\rcos\phi_{n-3}sin\phi_{n-2}sin\phi_{n-1}\\rcos\phi_{n-2}sin\phi_{n-1}\\rcos\phi_{n-1}}[/mm]
In dieser Parametrisierung ist die Abbildung im Punkt mit [mm]\phi_{n-1}=0[/mm], also am Nordpol nicht bijektiv.
Du musst also eine andere wählen, zum Beispiel in der der Südpol nicht Teil der Karte ist.
Ich weiß nicht, wie weit du den Beweis treiben musst; also ob du wirklich ausrechnen musst, wie der Kartenwechsel in Formeln aussieht (das macht keinen Spaß  ).
> Oder brauche ich die Zylinderkoordinaten, weil ich ja nur
> die Oberfläche berechnen will?
Wieso willst du die Oberfläche berechnen? Ich dachte, du sollst nur zeigen, dass ein einen Atlas mit zwei Karten gibt und keinen mit nur einer Karte?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Fr 11.01.2008 | | Autor: | maddhe |
Hi! Ich sitz grad auch dran..
Die Idee hinter der Sache hab ich verstanden, nur haben wir das in der Vorlesung mim [mm] \IR^{3} [/mm] gemacht und da konnte man mit nem Trick die Umkehrfunktion zur Stereographischen Projektion (von Süd- und Nordpol auf die Ebenen [mm] x_3=-1 [/mm] und [mm] x_3=1: \varphi_1\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{\bruch{x_1}{1-x_3} \\ \bruch{x_2}{1-x_3} \\ -1} [/mm] bzw. [mm] \varphi_2\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{\bruch{x_1}{1+x_3} \\ \bruch{x_2}{1+x_3} \\ 1} [/mm] )
anwenden, sodass man die explizit ausrechnen konnte: [mm] y_1^{2}+y_2^{2}=\bruch{x_1^{2}+x_2^{2}}{(1-x_3)^{2}}=...=-1+\bruch{2}{1-x_3}\Rightarrow x_3=1-\bruch{2}{1+y_1^{2}+y_2^{2}} [/mm] Das Problem: im [mm] \IR^{n} [/mm] geht das nicht mehr so leicht: [mm] \summe_{i=1}^{n-1}y_i=\bruch{\summe_{i=1}^{n-1}x_i}{1-x_n}=\bruch{1-x_n^{2}}{(1-x_n)^{n}}=...?
[/mm]
Und das bekomme ich einfach nicht nach [mm] x_n [/mm] aufgelöst...
Oder muss ich das gar nicht? Der Prof meinte, sei genau dasselbe wie in der Vorlesung, man müsse nur durchhalten und es ausrechnen...
Grüße
M
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Blueman |
Hi maddhe,
Ich finde es geht schon genauso wie im Fall [mm] S^2.
[/mm]
Bei dir haben sich ein paar Fehler eingeschlichen. Es müsste lauten:
[mm] y_{1}^2+...+y_{n-1}^2 [/mm] = [mm] \bruch{x_{1}^2+....+x_{n-1}^2}{(1-x_{n})^2} [/mm] = [mm] \bruch{1-x_{n}^2}{(1-x_{n})^2} [/mm] = [mm] \bruch{1+x_{n}}{1-x_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{1-x_{n}}-1
[/mm]
Dürfte doch stimmen, oder?
Viele Grüße,
Blueman
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Fr 11.01.2008 | | Autor: | maddhe |
autsch^^ ja hast recht... dann funktionierts auch
|
|
|
|
