Auf Ebene liegen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
Ich habe ein Problem die komplanerität oder wie man das schreibt nachzuweisen.
Wenn ich drei Vektoren habe
kann ich einfach 0 = [mm] s\overrightarrow{a} [/mm] + [mm] s\overrightarrow{b} [/mm] + [mm] z\overrightarrow{c} [/mm] = 0
Nun wenn ich drei Punkte habe.
Dann gilt doch [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] + [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = 0
Also spielt hier die Reihenfolge eine Rolle?
Oder wenn ich drei Punkte habe A, B, C
Kann ich [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] + [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = 0
Aber ich muss noch ein Parameter einführen?
Kann ich a [mm] \overrightarrow [/mm] {AB} + b [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] + c [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = 0
Danke
Gruss Dinker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Oder wenn ich mit dem Spatprodukt operiere, brauche ich kein Parameter bei den Vektoren zu setzen, um zu schauen, ob Sie in einer Ebene liegen?
Danke
Gruss Dinker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 So 25.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Wie willst du denn mit dem Spatprodukt prüfen, ob zwei Vektoren in einer Ebene liegen?
Zwei Vektoren (nicht parallel) an einem Punkt angesetzt spannen sogar eine Ebene auf, also kannst du zu aus zwei gegebenen Vektoren immer eine Ebene aufspannen, die beide enthält
Marius
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> Guten Abend
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> Ich habe ein Problem die komplanerität oder wie man das
> schreibt nachzuweisen.
Adjektiv: komplanar
Substantiv: Komplanarität
> Wenn ich drei  Vektoren habe
>
> kann ich einfach 0 = [mm]s\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}[/mm] = 0 ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
( ...... und dann ?? )
Drei Vektoren [mm] \vec{a},\vec{b},\vec{c} [/mm] sind ((komplanar)), falls sie linear
abhängig sind, d.h. falls es drei reelle Zahlen r,s,t
mit [mm] (r,s,t)\not=(0,0,0) [/mm] gibt mit
$\ [mm] r*\vec{a}+s*\vec{b}+t*\vec{c}=\vec{0}$ [/mm]
> Nun wenn ich drei Punkte habe.
> Dann gilt doch [mm]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}[/mm] = 0
Dies stimmt im Allgemeinen nicht. Es kommt sehr
wohl auf die Reihenfolge an:
[mm] \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec0
[/mm]
> Oder wenn ich drei Punkte habe A, B, C
>
> Kann ich [mm]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}[/mm] = 0
das habe ich grad schon irgendwo gelesen ....
Was genau soll denn das Ziel der Aufgabe sein ?
Drei Punkte im Raum sind immer komplanar
(in dem Sinne, dass es mind. eine Ebene gibt, die
alle 3 Punkte enthält). Da gibt's gar nichts nachzu-
rechnen.
[edit: informix]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Mal eine andere Frage.
Gilt nicht auch: Drei Vektoren sind komplenar, wenn keine der drei Vektoren zueinander kollinear liegen?
Danke
Gruss DInker
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> Gilt nicht auch: Drei Vektoren sind komplanar, wenn keine
> der drei Vektoren zueinander kollinear liegen?
Nein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Ich habe ein Viereck, also 4 Punkte. A, B, C, D
Nun muss ich überprüfen, ob das Viereck komplanar ist. Muss ich wissen wie das Vierreck gebildet wird? z. B. ob A mit B verbunden ist oder A mit C?
Gibt es da nicht mehrere Möglichkeiten?
Denn es müsste doch sein
0 = [mm] \overline{AB} [/mm] + [mm] \overline{BC} [/mm] + [mm] \overline{CD} [/mm] + [mm] \overline{DA}
[/mm]
Danke
Gruss DInker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Dinker |
Sofern das Viereck entsprechend der üblichen Nummerierung gebildet wird
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> Hallo
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> Ich habe ein Viereck, also 4 Punkte. A, B, C, D
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> Nun muss ich überprüfen, ob das Viereck komplanar ist.
> Muss ich wissen wie das Viereck gebildet wird? z. B. ob A
> mit B verbunden ist oder A mit C?
>
> Gibt es da nicht mehrere Möglichkeiten?
O.K. , im Gegensatz zum Dreieck liegt ein Viereck
in [mm] \IR^3 [/mm] nicht zwangsläufig in einer Ebene, also
gibt es da echt was zu überprüfen.
Um zu prüfen, ob ein Viereck mit den Eckpunkten
A,B,C,D eben ist, spielt es keine Rolle, ob es das
Viereck ABCD oder etwa das Viereck ABDC ist.
Der Test kann so erfolgen: Nimm die Vektoren
[mm] \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} [/mm] und prüfe, ob diese linear abhängig sind.
Wenn ja, liegt das Viereck in einer Ebene, sonst
nicht.
> Denn es müsste doch sein
> 0 = [mm]\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}[/mm]
eigentlich sollten da auch Pfeile stehen, also
[mm] \blue{\backslash{overrightarrow}} [/mm] ansatt [mm] \blue{\backslash{overline}} [/mm] !
Diese Gleichung (mit den Vektoren) gilt immer und
sagt nichts darüber aus, ob das Viereck eben ist
oder nicht.
> Danke
> Gruss DInker
Nebenbei: in den Formeln kannst du mit viel
weniger [mm] und [/ mm] auskommen !
Dann werden die Formeln in Folgebeiträgen
auch nicht so verstümmelt.
LG Al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo Al-Ch.
Danke für die Antwort
"Der Test kann so erfolgen: Nimm die Vektoren
und prüfe, ob diese linear abhängig sind.
Wenn ja, liegt das Viereck in einer Ebene, sonst
nicht. "
Wenn doch die Vektoren linear abhängig wären, so wären sie doch kollinear? Irgendwie habe ich in Erinnerung, dass die Vektoren gerade nicht kollinear sein dürfen, damit sie in einer Ebene liegen?
Ginge auch:
0 = s* [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + [mm] u*\overrightarrow{AC} [/mm] + v* [mm] \overrightarrow{AD}
[/mm]
Dake
Gruss Dinker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Dinker |
Denn ich habe eine Frage die wie folgt lautet:
Welche bedingungen müssen die Vektoren [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] und [mm] \overrightarrow{OB} [/mm] erfüllen, damit durch O, A und B eine Ebene festgelegt ist?
Lösung: Sie dürfen nicht kollinear sein.
Tut mir leid, aber momentan sehe ich gerade nicht wirklich durch.
Danke
Gruss DInker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 So 25.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
> Lösung: Sie dürfen nicht kollinear sein.
Diese Lösung ist korrekt! Was ist nun Deine Frage dazu?
Wenn zwei Vektoren kollinear sind, liegen sie auf einer Geraden.
Wird dadurch eine eindeutige Ebene aufgespannt?
Gruß
Loddar
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> Hallo Al-Ch.
>
> Danke für die Antwort
>
> "Der Test kann so erfolgen: Nimm die Vektoren
> und prüfe, ob diese linear abhängig sind.
> Wenn ja, liegt das Viereck in einer Ebene, sonst
> nicht. "
>
> Wenn doch die Vektoren linear abhängig wären, so wären
> sie doch kollinear?
Wir haben drei Vektoren. Wenn sie linear abh.
sind, kann man nur schliessen, dass sie komplanar
sind. Es könnten allenfalls aber zwei davon oder sogar
alle drei kollinear sein. Für das "Viereck" würde dies
dann heißen, dass es z.B. zu einem Dreieck ausge-
artet ist oder, bisschen krass: alle 4 Ecken auf einer
Geraden. Dann gäbe es sogar viele Ebenen, welche
dieses "Viereck" enthalten.
> Irgendwie habe ich in Erinnerung, dass
> die Vektoren gerade nicht kollinear sein dürfen, damit sie
> in einer Ebene liegen?
Das ist was andres: haben wir zwei Vektoren z.B. im
[mm] \IR^3, [/mm] die kollinear sind, so spannen sie auch
zusammen höchstens eine Gerade auf, aber noch
keine Ebene.
> Ginge auch:
>
> 0 = s* [mm]\overrightarrow{AB}+u*\overrightarrow{AC}+ v*\overrightarrow{AD}[/mm]
wie du die Parameter nennst, ist natürlich
einerlei. Oder geht's um was anderes ?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Also:
a * [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + b* [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] + [mm] c*\overrightarrow{AD} [/mm] = 0
Wenn dies als "Wahre" Aussage erweisst, so liegen die 4 Punkte in einer Ebene?
Danke
Gruss Dinker
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> Hallo
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> Also:
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> a * [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] + b* [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] +
> [mm]c*\overrightarrow{AD}[/mm] = 0
>
> Wenn sich dies als "wahre" Aussage erweist, so liegen die 4
> Punkte in einer Ebene?
>
> Danke
> Gruss Dinker
Ja. Falls es reelle Zahlen a,b,c gibt (wobei nicht alle
gleich 0 sein dürfen !), für welche diese Gleichung
zutrifft, dann liegen die 4 Punkte in einer Ebene.
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